3.5: Equilíbrio Termodinâmico 1

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1 3.5: Equilíbrio Termodinâmico 1
A existência de equilíbrio termodinâmico (ET) ou equilíbrio termodinâmico local (ETL) no interior estelar   grandes simplificações: »» pode-se escrever: (3.15) e (3.16) No caso do Sol, em

2 PROGRAMA DE AGA 0293 - Astrofísica Estelar
A - Conceitos Básicos de Astrofísica: 1,5 semanas Corpo Negro - Intensidade - Fluxo Espectros - Leis dos Gases B - Propriedades Físicas das Estrelas: semanas Magnitudes - Índices de Cor - Luminosidade – Temperatura Tipos Espectrais - Diagrama HR Massas - Raios Rotação - Composição Química Distâncias C - Atmosferas Estelares: ,5 semanas Equação de Transporte Radiativo Formação de Linhas Espectrais e Composição Química Modelos de Atmosferas

3 PROGRAMA DE AGA 0293 - Astrofísica Estelar (cont.)
D - Estrutura Estelar: semanas Equilíbrios Hidrostático e Termodinâmico Equilíbrio Radiativo - Equações de Estado Produção e Transporte de Energia – Convecção Equações Básicas da Estrutura Estelar Politropos E - Evolução Estelar: semanas Formação de Estrelas Evolução Anterior à Sequência Principal A Seqüência Principal – Estrelas de Baixa Massa: o Sol Evolução após a Seqüência Principal Estágios Finais da Evolução Estelar (Anãs Brancas, colapso gravitacional, Estrelas de Nêutrons, Buracos Negros)

4 »» O caminho livre médio (mean free path) para as interações (colisões) entre as partículas no interior estelar é: (3.17) onde  ≡ seção eficaz de interação.  Para colisões de elétrons ou íons com elétrons ou íons,     10−16 −10−18 cm2.  Para interações de fótons com elétrons ou íons,   10−24 cm2. »» Define-se o peso molecular médio  como o nº médio de u.m.a. / partícula de um gás (adimensional) u.m.a.  1,661 x g

5  Exemplos de valores de  :
H ionizado:  = ½ (<massa>/ part.) = ½ mH Copo d’água:   18 Atmosfera da Terra:   29 »» Define-se a Densidade Numérica média n de partículas como: onde mH é a massa do átomo de H, A densidade numérica de partículas no interior estelar é, (3.18)

6 »» Com esses valores de n,
 ~ 10-7 cm para interações entre partículas e  ~ 1 cm para interações envolvendo fótons.  Isto é, se compararmos esses valores com os gradientes de P e T (eqs. (3.15) e (3.16) )  e  variação muito pequena desses parâmetros em alguns :  no caso mais desfavorável ( ~ 1 cm), ou, e CONCLUSÃO ??

7 CONCLUSÃO:  P e T podem ser consideradas CONSTANTES
nas regiões onde acontecem as interações ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO 3.6: A Variação da Energia com r »» Seja  a taxa de produção de energia nuclear (erg g−1 s−1) na região central da ; sua luminosidade L pode ser escrita: Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura » Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura dr (figura 2.1) 

8 (3.19) (euler) , ≡ variação radial de L; ou,
 e (3.19) (euler) , ≡ variação radial de L; ou, (3.20) (lagrange) Sendo L(r) e L(r + dr) as energias/seg emitidas em r, e r + dr, e os valores locais, pode-se escrever:

9 »» Ordens de grandeza: De (3.19), com , deduz-se que: (3.21). Para o Sol, , o que permite escrever-se: para Estrelas em geral. Ex: SP 

10 »» Da forma lagrangiana da eq. da variação radial de L, 10
(3.20) , pode-se escrever: dL = є dM  FÍSICA?? »» Implementações na eq. (3.20):  inclusão dos neutrinos e  caso não-estacionário: na presença de expansão e/ou contração, ocorre U e cabe a inclusão de um termo e a eq. de variação radial de L completa será: (3.21)

11 III - CONDIÇÕES FÍSICAS NO INTERIOR ESTELAR 9 (continuação)
3.8: O Gás de Elétrons  Três simplificações importantes: ET (ETL), gás ionizado e gás perfeito* 3.8.1: Gases Perfeitos (GP): Um <energia de interação> entre partículas << energia térmica delas Quando isso ocorre? escrita: * num gás perfeito, só existem as interações colisionais entre as partículas. (isto é, não existem forças de atração/repulsão intermoleculares).

12 »» A relação entre a pressão, a temperatura e a densidade de um GP é:
 Ocorre quando a interação é pequena ou quando o gás é suficientemente rarefeito. »» A relação entre a pressão, a temperatura e a densidade de um GP é: (3.22) , sendo k a cte. de Boltzmann. » Em termos do número total de partículas N no volume V, , sendo o nº de moles, o nº. de Avogadro e R= 8,31 x 107 erg K-1 mol-1 é a constante dos gases. Como , segue que

13  o volume ocupado por uma partícula é e seja
»» INFORMAÇÃO PRÁTICA:   um gás totalmente ionizado comporta-se como um GP, mesmo a densidades relativamente altas. »» Comparação entre as Etérmica e Ec de interação coulombiana num GP: para partículas com separação média de r, (3.22), sendo  o volume ocupado por uma partícula é e seja e T ~107 no interior estelar; com isso, e ;

14  Se a condição acima não for satisfeita, 
» Por outro lado, < Et > ~ (3/2) kT ~ erg ~ 103 eV, isto é, Ec << Et  Se a condição acima não for satisfeita,   desvio clássico do GP  Outros casos de desvio: degenerescência, ioniz. Incompleta, criação de pares 3.8.2: Funções de Distribuição »» A distribuição das partículas de um gás em função de sua energia depende da estatística aplicada. a) No limite clássico, para partículas idênticas e distinguíveis, aplica-se a estatística de Maxwell-Boltzmann:

15 ≡ nº de configurações com energia E /cm3 .
(3.23), sendo o peso estatístico do nível E, ≡ ≡ nº de configurações com energia E /cm3 . é o fator de degenerescência, que é f(n) . » Para baixas densidades, e para altas, ; Para fótons, b) Para partículas idênticas e indistinguíveis de spin semi-inteiros (≡ férmions), como elétrons, prótons e neutrinos, a estatística a aplicar é a de Fermi-Dirac:

16 estatística de Bose-Einstein:
(3.24) c) Para partículas idênticas e indistinguíveis, de spin inteiro (bósons), como fótons, partículas alfa e mésons  , há que aplicar-se a estatística de Bose-Einstein: (3.25) »» Além da densidade de partículas usa-se às vezes o fator de ocupação, ou índice de ocupação f(E) = n(E)/g(E), que é ~

17 ~ A probabilidade de ocupação do estado de energia E.
Para a distribuição de MB, e se (baixas densidades) , f(E) << 1 . »» O que mais nos interessa no interior estelar? a Pg é exercida essencialmente pelos elétrons, que seguem a Estatística de FD; nesse caso, (3.26) E nas altas densidades em questão, e obtemos , O valor 1 não é novidade PORQUE??

18 » Em condições de T e n tais que (ocorre em baixas n ),
FD  MB 3.8.3: Pressão de um Gás Perfeito PRESSÃO ≡ TRANSFERÊNCIA DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO  P = F / unidade de área ≡ taxa de transferência de QM; » Seja uma partícula com QM que incide numa superfície S no gás;  Se a reflexão for especular (elástica), a QM transferida para S será: (ver Fig. 3.1)  

19 Seja o número de partículas com QM entre que incidem na
Fig. 3.1 Seja o número de partículas com QM entre que incidem na superfície unitária/unid. de tempo, vindas de direções que fazem com a normal ângulos no intervalo ; Nessas condições, a Pressão no cone d pode ser escrita: e a pressão total no interior do gás será, (3.27) ;

20 sendo a densidade de ptclas. com QM entre
» chamando a densidade de partículas movendo-se nas condições em questão, pode-se escrever (3.28) , onde é a velocidade das ptclas. de QM a componente de v ao longo da normal n . »» Em condições de ET, a distribuição de velocidades é ISOTRÓPICA  ∝ ângulo sólido  subtendido pela figura 3.1; daí,  = dS/r2 e como teremos que  =2 sin d e (3.29) sendo a densidade de ptclas. com QM entre

21  da eq. 3.30  EQUAÇÃO DE ESTADO das partículas.
(3.30), para cuja integração temos de conhecer (cf. efeitos relativísticos) e a estatística adequada.  da eq  EQUAÇÃO DE ESTADO das partículas. »» Estamos interessados no momento num gás de elétrons; Não muito próximo ao centro da , pode-se considerar que , isto é, FD → MB, e a estatística dos e- pode ser escrita: (3.31), sendo n = densidade total de ptclas./cm3 e

22 »» Assim, a Eq. de ESTADO de um gás Perfeito, Monoatômico,
não-degenerado, não-relativístico e sem radiação, será: (3.32) , sendo (mostra-se que este termo = 1, o que nos faz recuperar (3.22): P=nkT 3.8.4: O Peso Molecular Médio A equação de estado de um gás perfeito formado de partículas de diferentes espécies, pode então ser escrita na forma que  , com , sendo µ o peso molecular médio e

23 » Nessas condições, podemos definir µ como (3.33)
 ou seja, sendo n a densidade numérica (cm-3) de partículas livres, µ é a massa média das partículas do gás, em unidades de mH. >> Pode-se definir também o peso molecular médio  como o nº médio de u.m.a. / partícula de um gás (adimensional) ( u.m.a.  1,661 x g; mH  1,673 x g) Exs: gás < nº uma > / ptcla. µ H0 1 / 1 1 H+ 1 / 2 0,5 He (2+2) / 1 4 He / (1+1) 2 He / (1+2) 4/3 26Fe (26+) x 2 / (1+26)  2 ZEl(Z+) Z x 2 / (1+Z)  2 Copo d’água:   18 Atm. da Terra:   29

24 »» Chamando X, Y e Z as frações por massa de H, He e elementos pesados ("metais") , podemos obter uma relação µ(X, Y,Z) : a) parâmetros físicos em função de X : b) pode-se escrever para a densidade total, sendo Z um valor médio;

25 EXs.: H puro: µ = ½ ; He puro: µ = 4/3 ; “metais” puros: µ = 2;
» Com , resulta (3.34) e sendo , (3.35) EXs.: H puro: µ = ½ ; He puro: µ = 4/3 ; “metais” puros: µ = 2; Gás totalmente ionizado: »»» Pode-se definir também um Peso Molecular relativo à me

26 3.8.5: Degenerescência »» Cálculo de n(p) em condições de densidade elevada. Utilizando-se o o Princípio de Heisenberg, que nos diz que: e como  (3.41) ISTO É, À medida em que n  , os e- são forçados a ocupar estados de maior , pois os de menor estarão ocupados, segundo o limite estabelecido em (3.41).

27  MORAL DA HISTÓRIA?? Nesse caso, os e - de maior  contribuição importante   pressão do gás; é a chamada PRESSÃO DE DEGENERESCÊNCIA. ►► ILUSTRAÇÃO DA DITA CUJA P Deg: Façamos um corte no espaço de fase a seis dimensões (Fig. 3.2):

28 1) baixas n : é a de MB (curvas a, b) [n = f(T)]
Fig. 3.2 1) baixas n : é a de MB (curvas a, b) [n = f(T)] 2) dobrando o nº de e- para a mesma T, também dobra n(px) (curva b) 3) esse comportamento NÃO continua indefinidamente: tem um limite, devido ao Princípio de Pauli (cf. Eq. 3.41). As células de menor p são ocupadas primeiro e os e- adicionais terão de ocupar estados de > energia  curva de MB deformada, f(T) (curvas c, d, e, c/ graus de Deg. crescentes) 4) estágio de Deg. Completa: todas as células abaixo de pf ocupadas (f)

29 MBs para 106 e 107 K com n = 1026 cm−3 > n(p)max ,
►► Outra ilustração da P Deg :  Fig. 3.3 MBs para 106 e 107 K com n = 1026 cm−3 > n(p)max , (3.31) e (3.41) Na distribuição MB, pmax = (2mekT)1/2 .  Ou seja, para dada n,  MB não é mais válida para Ts suficientemente baixas. O mesmo naturalmente ocorre para uma dada temperatura, se n for suficientemente alta. Gás a 107 K: não-DG Gás a 106 K: DG

30 Em ET, a Ecinética média dos íons e e- é a mesma, e
»» A degenerescência (quando existe) nos interiores estelares, é restrita aos e- , os íons permanecendo não degenerados Em ET, a Ecinética média dos íons e e- é a mesma, e (3.42) Para um dado volume V, íons ocupam no espaço de fase um volume maior que o dos e- por um fator  para os p+, , isto é, o número de células do espaço de fase disponíveis aos p+ é maior por um fator 8 × 104 que o dos e-. Vol. do espaço de fases ocupado por partícula numa caixa de vol. V = = V d3p

31 A Pressão Total no Interior de uma :
 Ela será a resultante das contribuições de todos os componentes: (3.72) elétrons núcleos »» Balanço entre Pr e Pgás: e ; Igualando as duas expressões, obtém-se a região limite para P : fótons

32  Limite entre predominâncias de Pr e Pgás : ( em g/cm3 e T em K).
 Isso pode ser visto na Fig. 3.6 (Maciel’s): Pr domina Pgás domina não DG DG não-relativístico relativístico cristalização

33 »»a) O Frad é: (eq. 6.11) ;  P/ regiões centrais, o que dá e
◐◑ OBSERVAÇÃO 1: transportes CONVECTIVO e RADIATIVO »»a) O Frad é: (eq. 6.11) ;  P/ o , o <valor> estimado é K/cm  P/ regiões centrais, o que dá e  Mais longe do centro, o que dá "aprox. de difusão" r/RO ≈ 0,05 cf. cap. 2 [FTot(r=0,05) ~ 2,5 x 1013 c.g.s.] [FTot(r=0,80) ~ 8 x 1010 c.g.s.]

34 »»b) O Fconv é: e o fluxo TOTAL no interior da estrela é   para o ,
e o gradiente médio solar, e pode-se escrever: sendo   Pode-se mostrar que para r/R ≲ 0.3 ,  ≤ 10-7, ≡ transporte é praticamente TOTALMENTE CONVECTIVO

35 »»c) Comparação de Escalas de Tempo no interior solar,
Radiativa X Convectiva:  o tempo para um elemento do plasma percorrer um  é , onde é a aceleração do elemento; ~1010 cm, e tc ≈ 1,6x106 s ≈ 20 dias.  a escala de tempo radiativa pode ser estimada por "random walk" (cf. Reif) : no interior solar  tr >> tc  a CAMADA CONVECTIVA é misturada eficazmente nesse caso, tr ≈ 3,3x109 s , ou,

36 CÁLCULO DA equação (3.41) » Para uma distribuição contínua de estados de energia, definimos a densidade de estados = o número de estados por unidade de volume com energia entre E e E + dE. » No espaço de quantidade de movimento, definimos analogamente como o nº de estados /unidade de volume, tal que a componente do vetor esteja no intervalo , etc... » o Princípio de Heisenberg nos diz que: e a incerteza na posição associada a partículas de quantidade de movimento é: que dá um volume associado de incerteza de:

37 » Para que os estados possam ser resolvidos e identificados, cada volume deve ser associado a um estado.  portanto, o nº de estados / unidade de volume = inverso do (volume de incerteza)-1, Em ET as quantidades de movimento são isotrópicas, e como para estudar a DEGENERESCÊNCIA, devemos examinar a densidade de estados com entre , segue que: (3.39) ≡ dois graus de polarização

38 »» Como a pode ser escrita , de 3.39 →
(3.40) e sendo , pode finalmente ser escrita como: (3.41) . ►► ISTO É, À medida em que n  , os e- são forçados a ocupar estados de maior , pois os de menor estarão ocupados, segundo o limite estabelecido em (3.41).