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Técnicas de Processamento Imagens
Fourier 1D e 2D Material melhorado pelo prof. Ricardo J. Ferrari
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Agenda Motivação / Introdução Revisão de conceitos matemáticos
Série de Fourier Transformada de Fourier – 1D & 2D Contínua & discreta Principais propriedades
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Motivação Sinais são interpretados pelos nossos sentidos e enviados para o nosso sistema nervoso – percepção cor & sons Sinais são representados por funções que se caracterizam pela sua freqüência (cor vermelha, verde, azul; sons graves/agudos) Bom começo para analisar tais funções é o estudo de sua freqüência
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O que é freqüência de uma função ?
Fácil de ser entendido no caso de funções periódicas A = amplitude da função (valores max e min assumidos) = indica o número de ciclos completos de período existentes no intervalo [0, 1]
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O que é freqüência de uma função ?
b
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O que é freqüência de uma função ?
Qual a região contém mais componentes de alta freqüência ?
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Introdução Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
Teoria publicada em 1822 Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequencias, cada uma multiplicada por um coef. diferente (Série de Fourier) Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier) Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação
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Introdução: Representação de sinais complexos
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Série de Fourier Resta achar uma forma de calcular os coeficientes
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Série de Fourier – Valores médios de uma função
S = A Y <Y> = (S1-S2)/A <Y> = (S1-S2)/A = 0
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Série de Fourier – Calculando coeficientes
f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x) b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ... Vamos calcular a3. Multiplicando os dois lados por sem(3x) f(x)sen(3x) = a0 sen(3x) + a1 sen(x) sen(3x) + a2 sen(2x) sen(3x) + a3 sen2(3x) b1 cos(x) sen(3x)+ ... Tomando as médias de cada termo da equação:) < f(x)sen(3x) > = < a0 sen(3x) > + < a1 sen(x) sen(3x) > +< a2 sen(2x) sen(3x) > + < a3 sen2(3x) > < b1 cos(x) sen(3x) > + ... a0 = < f(x) > = média de f(x). an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).
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Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada
f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x) b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ... a0 = < f(x) > = média de f(x). an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx). f(x) = 1 (de 0 a ) f(x) = 0 (de a 2) a0 = 1/2
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Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada
a1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/π a3 = 2 < f(x) sen(3x) > = 2/3π a2 = 0 a0 = 1/2; an = 0 - para todo n PAR; an = 2/n π - para todo n ÍMPAR.
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Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada
f(x) = 1/2 + (2/ π) sen(x) + (2/(3 π)) sen(3x) + (2/(5 π)) sen(5x) + (2/(7 π)) sen(7x) + ... Onda quadrada: 5 termos Onda quadrada: 15 termos
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Definições matemáticas importantes
Número complexo Conjugado complexo Módulo Fase
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Definições matemáticas importantes
Fórmula de Euler Função impulso (delta de Dirac) Interpretação física: pulse de amplitude infinita e duração zero
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Definições matemáticas importantes
Função impulso (propriedades) -a/2 a/2 1/a
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Definições matemáticas importantes
Função impulso : Propriedade Sift -a/2 a/2 1/a A
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Definições matemáticas importantes
Trem de impulsos
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Série de Fourier
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Série de Fourier f(x) é periódica de período T se
f(x) = f(x +nT), para qualquer n inteiro e positivo Seja f(x) uma função periódica de período 2n. A série de Fourier para esta função é dada como: Observe que b0 não é indicado pois
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Série de Fourier Casos particulares
f(x) = função par, isto é, f(-x) = f(x), então os coeficientes bk são nulos f(x) = função ímpar, isto é, f(-x) = -f(x), então os coeficientes ak são nulos
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Série de Fourier Na prática utiliza-se um número finito de componentes (sin/cos) para a representação das funções Ex.: representação de uma onda quadrada Com apenas 5 componentes já se consegue uma boa approximação
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‘Série de Fourier
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Série de Fourier 1a. componente: constante. Se não existisse (se fosse nula), o sinal estaria centrado no zero do eixo y. Em Eng. Elétrica esse termo corresponderia a componente de corrente contínua. 2a. componente: (4sinx) tem o mesmo período ( ) do sinal. Portanto, é chamado de oscilação fundamental As demais parcelas correspondem as oscilações harmônicas do sinal Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico
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Transformada de Fourier (sinal contínuo 1D)
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Transformada de Fourier (sinal contínuo)
Onde s é a função no espectro e t no tempo Inversa Observe que estamos trabalhando com números complexos!!!
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Transformada de Fourier
Nota 1) A FT existe se f(t) for contínua e integrável e F(s) for integrável. Essas duas condições são quase sempre satisfeitas na prática Nota 2) da linearidade da integral, segue que a FT também é um operador linear, ou seja, FT(f+g) = FT(f) + T(g) ; FT(f) = FT(f) Nota 3) F(s) é uma isometria em , ou seja
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Transformada de Fourier
Como conseqüência da Nota 3, - teorema de Plancherel A energia da função é preservada na transformação.
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Transformada de Fourier
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Transformada de Fourier
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Exemplos:
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Onda quadrada - Pulso
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Algumas propriedades da FT
Linearidade x(t) + y(t) X(f) + Y(f)
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Simetria Seja h(t) e H(f) pares da transformada de Fourier então:
H(t) h(-f)
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Deslocamentos no tempo e na freqüência
Deslocamentos no tempo (fase) h(t-t0) H( f )e-j2ft0
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Deslocamentos causam mudança apenas na fase e não na mag.
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Deslocamento na freqüência
h(t) ej2f H( f -f0)
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Convolução Uma das propriedades mais importante da FT
h(t) H( f ) e g(t) G( f ) (h*g)(t) H( f )G( f ) h(t)g(t) (H * G)( f )
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Convolução
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Conservação da energia
Teorema de Parseval
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Amplitude e Fase O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária) Ou através da fase e amplitude do spectro
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Calculando a fase e a amplitude
Amplitude é determinada pelo módulo: seja z um número complexo definido como: z = x + yi z = |z| = x2 + y2 | H(f) | = Re[H(f)]2 + Im[H(f)]2 Fase é dada por:
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Transformada de Fourier (sinal contínuo 2D)
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Transformada de Fourier 2D
O par de transformada de Fourier para função f(x,y) de duas variáveis:
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Transformada de Fourier 2D
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Transformada Discreta de Fourier 1D-DFT
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Transformada Discreta de Fourier
A função contínua f(x) é discretizada numa seqüência:
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Transformada Discreta de Fourier
Onde t assume valores discretos (0,1,2,…,N-1), então A seqüência {f(0}, f(1), f(2), …, f(N-1)} denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçados de uma função contínua correspondente
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Transformada Discreta de Fourier
O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por:
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Transformada Discreta de Fourier
Para calcular F(u), substituímos u=0 no termo exponencial e somamos para todos os valores de t Repetimos para todos os N valores de u Teremos então NxN adições e multiplicações. Então a complexidade computacional é de ordem O(N2)
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DFT - shifting Quando realizado a DFT de uma onda quadrada obtemos:
Observe houve um deslocamento
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DFT – shifting, (fftshift-matlab)
A FT é centralizada na origem, mas a DFT é centralizada em N/2 É necessário realizar um deslocamento para corrigir o resultado.
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DFT – shifting, (fftshift-matlab)
Lembrando que: e fazendo h(t) ej2u H(f -u0)
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DFT – shifting, (fftshift-matlab)
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Transformada Discreta de Fourier 2D-DFT
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Transformada Discreta de Fourier
No caso de duas variáveis, o par DFT é:
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Transformada Discreta de Fourier
A amostragem de uma função contínua agora é feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura x e y nos eixos x e y, respectivamente Como no caso unidimensional, a função discreta f(x,y) representa amostras da função para x = 0,1,2,…,M-1 e y = 0,1,2, …, N-1
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Trem de pulso usado para amostragem puntual
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Aliasing fenômeno em imagem
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Ajuste da escala dinâmica do espectro de Fourier
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Compor linhas em matriz
Algoritmo 2D de 1D Compor linhas em matriz Separar em linhas Matriz A FFT 1D para cada linha Separar em colunas FFT 2D de A Matriz FFT 1D para cada coluna
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Amplitude e Fase |F(u,v)| amplitude fase original F(u,v)
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DFT aplicada na detecção de defeitos
SEM = Scanning Electron Microscope
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Transformada de Fourier discreta - 2D
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Propriedades DFT - Translação
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Propriedades DFT - Translação
|F(u,v)| F(u,v)
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Rotação
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Combinação Linear (soma)
+ = + =
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Expansão
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Relação de freqüência espaço/espectro
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Alguns pares...
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Combinando Amplitude e Fase
As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases. f(t) pode ser escrita: f(t) = Mag{f(t)} exp[ i Phase{f(t)}] Do mesmo modo, F(w) = Mag{F(w)} exp[ i Phase{F(w)}] Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.
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Combinando Amplitude e Fase
Rick Linda Pictures reconstructed using the Fourier phase of another picture Mag{Linda} Phase{Rick} Mag{Rick} Phase{Linda} The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image.
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Próxima aula: Filtragem no domínio da freqüência
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Bibliografia Digital Image Processing, 3rd. Edition, Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, 2008 Digital Image Processing, Kenneth R. Castleman, 1996 21o. Colóquio Brasileiro de Matemática, Wavelets: Teoria, Software e Aplicações, Jonas Gomes, Luiz Velho, Siome Goldenstein, 1997
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