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Sistemas de Numeração
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Por que Binário? Primeiros computadores projetados eram decimais
Mark I e ENIAC John von Neumann propôs processamento com dados binários (1945) Simplificava o projeto de computadores Usado tanto por instruções como por dados Relação natural entre comutadores on/off e cálculos com lógica Booleana On Off Verdadeiro Falso Sim Não 1
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Contagem e Aritmética Decimal ou sistema de base 10
Origem: contando nos dedos “Dígito” vem do Latim digitus, que significa “dedo” Base: o número de dígitos diferentes no sistema numérico, incluindo zero Decimal ou base 10: 10 dígitos, 0 até 9 Binário ou base 2: 2 dígitos, 0 e 1 Bit (dígito binário) Octal ou base 8: 8 dígitos, 0 até 7 Hexadecimal ou base 16: 16 dígitos, 0 até F Exemplos: = A16; 1110 = B16
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Considerando os Bits Bits são normalmente armazenados e manipulados em grupos 8 bits = 1 byte 4 bytes = 1 palavra (em sistemas de 32 bits) Número de bits usados em cálculos Afetam a precisão dos resultados Limitam o tamanho dos números manipulados pelo computador
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Números: Representação Física
Diferentes numerais, mesmo número de laranjas Homem das cavernas: IIIII Romano: V Arábico: 5 Diferentes bases, mesmo número de laranjas 510 1012 123
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Sistemas de Numeração Romanos: independentes da posição
Moderno: baseado na notação posicional (valor posicional) Decimal: sistema de notação posicional baseado em potências de 10. Binário: sistema de notação posicional baseado potências de 2 Octal : sistema de notação posicional baseado em potências de 8 Hexadecimal: sistema de notação posicional baseado em potências de 16
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Sistemas Numéricos mais Comuns
Base Símbolos Usado por humanos? Usado por computadores? Decimal 10 0, 1, … 9 Sim Não Binário 2 0, 1 Octal 8 0, 1, … 7 Hexa- decimal 16 0, 1, … 9, A, B, … F
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Quantidades / Contagem (1 de 3)
Decimal Binário Octal Hexa- decimal 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111
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Quantidades / Contagem (2 de 3)
Decimal Binário Octal Hexa- decimal 8 1000 10 9 1001 11 1010 12 A 1011 13 B 1100 14 C 1101 15 D 1110 16 E 1111 17 F
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Quantidades / Contagem (3 de 3)
Decimal Binário Octal Hexa- decimal 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13 10100 24 14 10101 25 15 10110 26 10111 27 Etc.
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Conversão Entre Bases Possibilidades: Decimal Octal Binário
Hexadecimal
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Exemplo 2510 = = 318 = 1916 Base
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Decimal para Decimal (só para entender)
Octal Binário Hexadecimal
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Peso 12510 => 5 x 100 = x 101 = x 102 = Base
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Binário para Decimal Decimal Octal Binário Hexadecimal
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Binário para Decimal Técnica
Multiplique cada bit por 2n, onde n é o “peso” do bit O peso é a posição do bit, começando em 0 à direita Adicione os resultados
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Exemplo Bit “0” => 1 x 20 = x 21 = x 22 = x 23 = x 24 = x 25 = 32 4310
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Octal para Decimal Decimal Octal Binário Hexadecimal
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Octal para Decimal Técnica
Multiplique cada bit por 8n, onde n é o “peso” do bit O peso é a posição do bit, começando em 0 à direita Adicione os resultados
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Exemplo 7248 => 4 x 80 = x 81 = x 82 =
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Hexadecimal para Decimal
Octal Binário Hexadecimal
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Hexadecimal para Decimal
Técnica Multiplique cada bit por 16n, onde n é o “peso” do bit O peso é a posição do bit, começando de 0 à direita Adicione os resultados
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Exemplo ABC16 => C x 160 = 12 x 1 = B x 161 = 11 x 16 = A x 162 = 10 x 256 = 2560 274810
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Decimal para Binário Decimal Octal Binário Hexadecimal
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Decimal para Binário Técnica Divida por dois, guardando os restos
Primeiro resto é o bit 0 (bit menos significativo) Segundo resto é o bit 1 Etc.
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Exemplo 12510 = ?2 12510 =
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Octal para Binário Decimal Octal Binário Hexadecimal
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Octal para Binário Técnica
Converta cada dígito octal para uma representação binária equivalente de 3 bits
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Exemplo 7058 = ?2 7058 =
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Hexadecimal para Binário
Octal Binário Hexadecimal
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Hexadecimal para Binário
Técnica Converta cada dígito hexadecimal para uma representação binária equivalente de 4 bits.
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Exemplo 10AF16 = ?2 A F 10AF16 =
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Decimal para Octal Decimal Octal Binário Hexadecimal
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Decimal para Octal Técnica Divida por 8 Guarde os restos
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Exemplo = ?8 8 19 2 8 2 3 8 0 2 = 23228
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Decimal para Hexadecimal
Octal Binário Hexadecimal
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Decimal para Hexadecimal
Técnica Divida por 16 Guarde os restos
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Exemplo = ?16 77 2 16 4 13 = D 0 4 = 4D216
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Binário para Octal Decimal Octal Binário Hexadecimal
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Binário para Octal Técnica
Divida os bits em grupos de três, começando à direita Converta para dígitos octais
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Exemplo = ?8 = 13278
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Binário para Hexadecimal
Octal Binário Hexadecimal
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Binário para Hexadecimal
Técnica Divida os bits em grupos de quatro, começando à direita Converta para dígitos hexadecimais
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Exemplo = ?16 B B = 2BB16
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Octal para Hexadecimal
Binário Hexadecimal
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Octal para Hexadecimal
Técnica Use Binário como uma representação intermediária
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Exemplo 10768 = ?16 E 10768 = 23E16
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Hexadecimal para Octal
Binário Hexadecimal
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Hexadecimal para Octal
Técnica Use Binário como uma representação intermediária
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Exemplo 1F0C16 = ?8 1 F C 1F0C16 =
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Exercício – Converta ... Decimal Binário Octal Hexa- decimal 33
703 1AF Não use calculadora! Pule a resposta Resposta
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Exercício – Converta … Decimal Binário Octal Hexa- decimal 33 100001
Resposta Decimal Binário Octal Hexa- decimal 33 100001 41 21 117 165 75 451 703 1C3 431 657 1AF
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Potências mais Comuns (1 de 2)
Base 10 Potência Prefixo Símbolo 10-12 pico p 10-9 nano n 10-6 micro 10-3 mili m 103 kilo k 106 mega M 109 giga G 1012 tera T Valor .001 1000
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Potências mais Comuns (2 de 2)
Base 2 Potência Prefixo Símbolo 210 kilo k 220 mega M 230 Giga G Valor 1024 O que são os valores de “k”, “M”, e “G”? Em computação, em particular com memórias, a interpretação de base-2 geralmente se aplica
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Exemplo No laboratório… 1. Clique duplo em Meu Computador 2. Clique com o botão direito em C: 3. Clique em Propriedades / 230 =
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Exercício – Espaço Livre
Determine o “espaço livre” de todos os drives de um computador do laboratório Drive Espaço Livre Bytes GB A: C: D: E: etc.
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Revisão – multiplicando potências
Para bases comuns, adicione os expoentes ab ac = ab+c 26 210 = 216 = 65,536 ou … 26 210 = 64 210 = 64k
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Adição Binária (1 de 2) Dois valores de 1-bit A B A + B 1 10 “dois”
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Adição Binária (2 de 2) Dois valores de n-bits
Adicione os bits individualmente Propague as sobras E.g., 1 1
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Multiplicação (1 de 3) Decimal (só para entender)
35 x
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Multiplicação (2 de 3) Binário, dois valores de 1-bit A B A B 1
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Multiplicação (3 de 3) Binário, dois valores de n-bits
Como no caso de valores decimais E.g., x
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Frações Decimal para decimal (só para entender)
3.14 => 4 x 10-2 = x 10-1 = x 100 =
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Frações Binário para decimal
=> 1 x 2-4 = x 2-3 = x 2-2 = x 2-1 = x 20 = x 21 =
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Frações Decimal para Binário 3.14579 11.001001...
x x x x x x etc.
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Exercício – Converta ... Decimal Binário Octal Hexa- decimal 29.8
3.07 C.82 Não use calculadora! Pule a resposta Resposta
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Exercício – Converta … Decimal Binário Octal Hexa- decimal 29.8
Resposta Decimal Binário Octal Hexa- decimal 29.8 … 35.63… 1D.CC… 5.8125 5.64 5.D 3.07 3.1C 14.404 C.82
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