Grandezas cinemáticas em coordenadas:

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1 Grandezas cinemáticas em coordenadas:
cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas.

2 Grandezas cinemáticas em coordenadas cartesianas
Métodos de Determinação do Movimento do Ponto Material Cinemática do ponto material Grandezas Cinemáticas: Vector deslocamento, vector velocidade média e instantânea, vector aceleração Velocidade do ponto no Movimento Curvilíneo MRU e MRUV como casos particulares.

3 Métodos de Determinação do Movimento do Ponto Material
Método das coordenadas A posição do ponto no espaço tridimensional com respeito a um sistema cartesiano de coordenadas OXYZ, considerado fixo por convenção, é determinado pelo eixo das abcissas x e pelos eixos das coordenadas Y e Z. Quando estas coordenadas são conhecidas ou determinadas em cada instante de tempo estudado, ou seja, quando são conhecidas chamam-se equações do movimento do ponto, e o método descrito de determinação do movimento, recebe o nome de método das coordenadas.

4 Métodos de Determinação do Movimento do Ponto Material
Método Natural O método de determinação do movimento do ponto sob a forma: Chama-se método natural. O gráfico da função recebe o nome de gráfico do movimento.

5 Método Vectorial O método vectorial, é apenas um modo diferente de escrever o método das coordenadas. Ao tratar x, y e z como coordenadas do raio vector Este método de determinação do movimento, permitirá mais a diante, definir mais claramente a velocidade do ponto em movimento como vector.

6 Cinemática do ponto material Grandezas Cinemáticas: Vector deslocamento, vector velocidade média e instantânea, vector aceleração; Velocidade do ponto como vector Suponhamos que um ponto em movimento ocupe a posição M(x,y,z) no instante t e que no instante este ponto esteja na posição A razão entre o vector do deslocamento e o acréscimo do tempo denomina-se vector velocidade média para o intervalo de tempo :

7 O limite do vector de velocidade média, quando o intervalo de tempo tende para zero, Chama-se vector velocidade instantânea (velocidade do ponto M no instante t): É importante notar que a extremidade deste vector descreve uma trajectória denominada hodógrafo da velocidade. O hodógrafo da velocidade é útil quando diferenciamos o vector velocidade.

8 Vector velocidade em coordenadas cartesianas
Determinemos agora a direcção e o módulo do vector velocidade. Como o vector do deslocamento se orienta segundo a corda da trajectória, enquanto a posição limite da corda é uma tangente à trajectória, o vector da velocidade é orientado segundo uma tangente à trajectória concordando com o sentido do movimento. O módulo da velocidade é ou No caso geral, vamos escrever (1) para o módulo da velocidade. Esta fórmula permite determinar imediatamente o módulo da velocidade somente quando o movimento é dado através do método natural.

9 No caso de o movimento ter sido dado pelo método das coordenadas, dispomos das projecções da velocidade sobre os eixos das coordenadas Daí obtemos a fórmula do módulo do vector velocidade sob a forma de (2) Unidade de v no S.I. A unidade me medição da velocidade no sistema internacional de unidades S.I. é o metro por segundo (m/s) Comparando as expressões (1) e (2) para o módulo da velocidade v teremos: Que corresponde à expressão da diferencial do comprimento do arco:

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11 Comprimento do percurso (do arco)
Quando conhecemos o módulo da velocidade do ponto como função do tempo: , podemos determinar, o percurso s que o ponto percorre em cada intervalo de tempo. Vejamos: Multiplicando ambos os membros da expressão por , obtemos: Integrando por tempo no intervalo que vai de 0 a t e por percurso percorrido no intervalo que vai de 0 a s (consideramos que no instante inicial ), obtemos:

12 Exemplo: 1. Sejam dadas as equações do movimento do ponto M sejam dadas na forma de: a) Escreva a expressão do raio vector do ponto M (em coordenadas cartesianas); b) Encontre as projecções da velocidade; c) Escreva a expressão do vector velocidade do ponto M; d) Determine o módulo da velocidade do ponto M; e) Determina o caminho percorrido pelo ponto M.

13 a) A expressão do raio vector é escrita da seguinte forma: substituindo x, y e z temos: ou ainda b) As projecções da velocidade são dadas por: ; e c) A expressão do vector velocidade será donde d) E o módulo da velocidade do ponto é igual a: , e e) O caminho percorrido pelo ponto M. sendo vem e para um período o percurso descrito será:

14 Hodógrafo da velocidade
Levemos o vector à origem O do sistema fixo de coordenadas oxyz, ou seja construamos, no ponto O, o vector , geometricamente igual ao vector e designemos a sua extremidade com ajuda da letra G. Como o vector varia com o tempo, o ponto G desloca-se no espaço. A trajectória do ponto G é chamada hodógrafo da velocidade. Como as projecções do vector velocidade sobre os eixos de oxyz são ,

15 As coordenadas do ponto que avança pelo hodógrafo são iguais a: Estas são as equações do hodógrafo da velocidade na forma paramétrica.

16 Aceleração do Ponto no Movimento Curvilíneo Aceleração do ponto como vector
Suponhamos que um ponto M em movimento possuía o vector velocidade no instante t e que no instante , quando o ponto ocupa a posição , o vector velocidade sera: A razão entre , incremento do vector velocidade, e , incremento do tempo, é denominada vector aceleração média no intervalo de tempo : Denomina-se vector aceleração instantânea do ponto M no instante t , o limite do vector aceleração média quando o intervalo de tempo tende para zero .

17 Portanto, a aceleração do ponto M é um vector aplicado ao ponto em movimento e igual à derivada do vector da velocidade segundo o tempo no instante dado. O vector aceleração do ponto é igual à segunda derivada do raio vector do ponto em movimento segundo o tempo.

18 Vector Aceleração em Coordenadas cartesianas Como o raio vector pode ser apresentado sob aspecto de: a aceleração irá tomar o seguinte aspecto: E para as projecções do vector aceleração do ponto sobre os eixos do sistema de coordenadas cartesianas temos: O módulo da aceleração é encontrado através da expressão:

19 Enquanto as seguintes fórmulas são válidas para os co-senos directores da aceleração ; e são os ângulos formados pelo vector velocidade com o sentido positivo dos eixos ox, oy e oz, respectivamente. Unidade da aceleração no S.I. A unidade da aceleração no S.I. é o m/s2.

20 Aceleração Tangencial e Normal do Ponto
A aceleração tem duas componentes perpendiculares uma tangente à trajectória - a aceleração tangencial a outra componente, é normal a trajectória, dirigida segundo a normal principal e sempre voltada para o centro da curvatura, -a aceleração normal ou aceleração centrípeta . A componente tangencial da aceleração, caracteriza a variação da velocidade do ponto em módulo e a aceleração normal caracteriza a variação da velocidade em direcção.

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