2. Dinâmica de um ponto material

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1 2. Dinâmica de um ponto material
2.1 Conceito de força A dinâmica estuda a relação entre os movimentos dos corpos e as causas (força) que os provocam. Força é uma grandeza física vectorial que pode provocar deformação ou variação no estado , quando aplicada em um determinado corpo. As forças podem ser de contacto ou de campo. Um corpo est em movimento graças à interacção deste com outro corpo em sua volta. A força é a medida da interacção mutua entre estes corpos. Como grandeza vectorial a força possui: ponto de aplicação; direcção; sentido; módulo (valor).

2 Adição de forças Quando sobre um corpo actuam simultaneamente várias forças, o efeito produzido pela associação das forças é igual ao efeito duma única força chamada “Resultante do sistema de forças.”

3 Força de atrito e leis do atrito Força de atrito estático e dinâmico
 Sempre que um corpo movimenta-se sobre uma superfície, surge uma força denominada força de atrito, paralela às superfícies, e em sentido oposto ao do movimento do corpo. A força de atrito pode actuar mesmo quando não há movimento do corpo em relação à superfície. Por exemplo, o que acontece quando uma pessoa empurra um guarda-roupa com uma determinada força? Existem duas possibilidades: Ele não sai do lugar (continua em repouso), entao, significa que a força aplicada é equilibrada pela força de atrito, entre o guarda-roupa e a superfície, que actua em sentido oposto. Quando a força aplicada for maior do que a força de atrito estático máximo, o guarda-roupa entrará em movimento.

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5 Força de atrito estático e dinâmico
A força de atrito estático máximo (FE máx ) é calculada como: FE máx = µEN Quando o objeto já se encontra em movimento, passa a atuar a força de atrito cinético (FC ) dada por: FC = µC N onde: µE - coeficientes de atrito estático µC - coeficientes de atrito cinético N = força normal à superfície O coeficiente de atrito é um número entre 0 e 1, adimensional (sem unidade), e sempre µE > µC.

6 Leis de atrito primeira lei: o atrito não depende da área de contacto mas sim da natureza da superfície de contacto. segunda lei: A força de atrito é directamente proporcional à reacção normal e depende do respectivo coeficiente de atrito (estático µe e cinético µc). FC = µC N ou FE máx = µEN

7 2.2 Lei das Interacções ou 3ª Lei de Newton
Exemplos: 1) A terra e a lua interagem entre si; 2) Os polos de um íman interagem entre si; 3) Dois meninos que se puxam através de uma corda interagem entre si. Outros exemplos:

8 2.2 Lei das Interacções ou 3ª Lei de Newton (cont.)
Enunciado: “ Se um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, este último exerce também sobre A uma força de igual valor, mas de sentido contrário.” As duas forças estão sempre na mesma linha de acção e actuam em corpos diferentes ou seja nunca têm o mesmo ponto de aplicação. Então: ... Acção = Reacção Em qualquer interacção estão envolvidos dois ou mais corpos. Esta Lei descreve uma importante propriedade das forças, a de sempre aparecerem aos pares. Nota: As forças do par acção – reacção não se anulam porque sempre estão aplicadas sobre corpos diferentes.

9 2.3 1ª Lei de Newton ou Lei da Inércia
Equilíbrio de uma partícula Dizemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante da soma vectorial de todas as forças aplicadas neste corpo é nula: Equilíbrio estático: o corpo está em repouso. Equilíbrio dinâmico: o corpo está em movimento rectilíneo e uniforme (MRU).

10 Enunciado: 1ª Lei de Newton “Na ausência de forças externas aplicadas sobre um corpo, (ou seja quando ) este corpo permanece em repouso ou se move em linha recta com uma velocidade constante ( )”. Isto pressupõe que a aceleração do corpo é nula. o corpo desloca-se em MRU ou permanece em repouso. A 1ª Lei de Newton é também conhecida como Lei da Inércia.

11 A inércia é uma propriedade que os corpos têm de tenderem sempre a manter o estado de repouso ou de MRU, quando sobre eles não actua nenhuma força. A medida desta inércia é a própria massa do corpo, por isso se chama “massa inercial”. Vejamos algumas consequências/efeitos da lei da inércia. Porque caiem as frutas de uma árvore quando se abanam os seus ramos? Porque nos sentimos repelidos para trás quando um carro arranca bruscamente? Porque é difícil atravessar uma sala com um copo completamente cheio de água sem que esta se entorne? Porque um carro fica amolgado quando embate fortemente numa parede? Exemplo Um carro embate numa parede com uma velocidade de 50km/h. A sua velocidade é reduzida bruscamente para 0km/h. Suponha que o carro fica amolgado 0,5m antes de se imobilizar completamente. Quanto tempo dura este fenómeno?

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13 2.4 . 2ª Lei de Newton ou Lei fundamental da Dinâmica
Só na presença de forças externas o estado de um corpo pode ser alterado, isto é, a sua velocidade pode ser modificada em módulo, direcção ou sentido. A mudança da velocidade chama-se aceleração. enunciado “A aceleração imprimida por um corpo de massa m é directamente proporcional à resultante das forças aplicadas sobre ele”. isto é: ...forma vectorial

14 Exemplo: Um caixote cuja massa é 360kg está sobre uma carroçaria de um camião que se move com a velocidade de 120km/h. De repente o motorista trava até a velocidade de 62km/h em 17s. Considerando que o caixote não desliza sobre a carroçaria do camião qual é a força que actua sobre ele durante este tempo?

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16 2.5 Momento linear ou quantidade de movimento e impulso do ponto material
 Quando um corpo está em movimento ele possui um momento linear ou quantidade de movimento definido como produto da sua massa pela velocidade do corpo. Momento linear: grandeza vectorial Unidades:  Derivemos a expressão em função de t: A taxa de variação do momento linear é igual à força que actua sobre a partícula. A força é a 1ª derivada do momento linear em função do tempo.

17 Impulso Unidades de força, massa e aceleração, no SI e CGS:
Sistema de Unidades Força Massa Aceleração S.I. (MKS) newton (N) quilograma (kg) m/s2 CGS dina (din) grama (g) cm/s2 Relações entre algumas unidades: 1 N = 0,225 lb = 105 din kgf = 9,8 N ft (pé) = 30,48 cm

18 2.5.1 Principio de conservação do momento linear para o ponto material
 De acordo com a 2ª Lei de Newton na forma , se for zero, isto é, se o somatório das forças externas sobre o ponto for nulo, significa que a sua derivada em função do tempo é nula, donde: logo pela definição da derivada temos Na ausência de forças aplicadas sobre um corpo, o seu momento linear permanece constante.

19 Consideremos agora duas partículas (m1 e m2) que interagem entre si durante certo intervalo de tempo . Devido as forças de interacção mútua, os respectivos momentos lineares variam. e Como consequência da lei das interacções é válido escrever: ; ; Isto significa que na interacção entre duas ou mais partículas (devido apenas à forças internas) o momento linear das partículas é o mesmo antes e depois da interacao. Sendo também podemos escrever

20 Aplicações da Segunda lei de Newton
Lei de Gravitação Universal Os corpos se atraem com uma força, chamada força gravitacional (Fg), de acordo com a equação: onde: G = 6, N m2/kg2 m1, m2 = massa dos corpos que estão interagindo. r = distância entre os corpos. Se a Terra for considerada uma esfera homogênea, a força exercida pela Terra sobre um corpo de massa m, seria: onde: mT = massa da Terra = 5, kg

21 Peso de um corpo: É a força com que a Terra atrai todos os corpos localizados na superfície ou próximo à superfície. onde: m = massa do corpo. P = peso do corpo de massa m. R = raio médio da Terra = 6, m. Considerando a Segunda Lei de Newton e sabendo-se que um corpo estará com uma aceleração constante, que é a aceleração da gravidade (g), temos a expressão para o peso: P = m g onde g = 9,8 m/s2. Assim, a aceleração da gravidade pode ser expressa, também, por:

22 Força Elástica - Lei de Hooke
Quando uma mola (ou fita elástica) é alongada (esticada), aplicando-se uma certa força, o alongamento produzido é proporcional à força aplicada:   F = k x onde: F = força aplicada (N). x = alongamento sofrido pela mola (m). k = constante elástica da mola (N/m). Unidades no S.I.

23 Do gráfico da força (F) em função do alongamento (x) podemos obter a constante elástica da mola:

24 Movimento Circular Acoplamento de polias 1) Acoplamento por correia:
VA = velocidade de um ponto periférico da polia A. VB = velocidade de um ponto periférico da polia B. Supondo que a correia não escorregue nas polias, a velocidade da correia é a mesma dos pontos periféricos A e B. Isto é: VA = VB

25 Acoplamento com mesmo eixo: Para um mesmo intervalo de tempo, os pontos periféricos A e B, descrevem um mesmo ângulo, ou seja, as velocidades angulares dos pontos A e B são iguais: wA = wB Força centrípeta (Fc). É a força que aponta para o centro da circunferência, produzindo a mudança de direção e sentido do objeto. No S.I., em newton (N).

26 Movimento Circular Vertical
 A figura a seguir representa um corpo preso a uma corda de comprimento R, que gira em um círculo vertical em torno de um ponto fixo O, ao qual a outra extremidade é fixada. O movimento, embora circular, não é uniforme, pois o corpo é acelerado na descida e desacelerado na subida.

27 Na direção tangente à trajetória circular temos: FR = m
Na direção tangente à trajetória circular temos: FR = m.aT ( aT = aceleração tangencial = aceleração que produz variação na velocidade v) Px = m aT m g sen = m aT aT = g sen Na direção radial temos: FR = m ac

28 No ponto mais baixo da trajetória  = 0o, sen = 0 e cos = 1
No ponto mais baixo da trajetória  = 0o, sen = 0 e cos = 1. Então, nesse ponto, a aceleração tangencial aT é nula. A tração na corda é, então No ponto mais elevado,  = 180o, sen = 0, cos = -1. A tração é, então Em movimento deste tipo, existe uma determinada velocidade crítica Vc, no ponto mais alto da circunferência, abaixo da qual a corda fica frouxa. Para determinar esta velocidade, toma-se T = 0 na equação anterior,

29 Exemplos da aplicacao da 2a lei de Newton Resolver os problemas 12, 28 e 29 do seminario 4