Profª Juliana Schivani Identificar através de uma câmera alguns pontos, como os dois olhos e a distância entre eles, o nariz e seu comprimento, a boca,

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2 Profª Juliana Schivani

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4 Identificar através de uma câmera alguns pontos, como os dois olhos e a distância entre eles, o nariz e seu comprimento, a boca, as bochechas e o queixo, limitando assim o formato da face e o espaço ocupado por ela.

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6 A foto mostra uma grande plantação de cana para a produção de açúcar e álcool combustível. As quadras são separadas por “aceiros” que são estradas pequenas para o transporte de cana e dificuldade de propagação do fogo de uma quadra para outra.

7 Imagine que existam três observadores em cada ponto abaixo, com um intercomunicador que atinge, no máximo, 800 metros. Após um incêndio no primeiro ponto, este avisa o segundo, mas não consegue avisar o terceiro, devido a distância entre eles ser maior que o raio de alcance do intercomunicador. Qual deveria ser a posição do terceiro ponto, então? 1 2 3 200 m 500 m 530 m 200 m

8 Distância entre dois pontos  CASO 1: segmento paralelo ao eixo x d AB = |x B - x A |

9 Distância entre dois pontos  CASO 2: segmento paralelo ao eixo y d AB = |y B - y A |

10 Distância entre dois pontos  CASO 3: segmento oblíquo aos eixos C d AC = |x B - x A | d BC = |y B - y A | d AB ²= d AC ² + d BC ²

11 1 2 3 200 m 500 m 530 m 200 m d 13 ² = (730 – 0)² + (0 – 700)² d 13 ² = 1 022 900 d 13 ≈ 1 011 m

12 1 2 3 200 m 500 m 530 m 200 m d 13’ ² = (x 3’ – 0)² + (0 – 700)² 800 ² = x 3’ ² + 490 000 x 3’ ² = 150 000 x 3’ ≈ 387 m

13 Ítalo sai do Amapá para encontrar Gabriela que sai ao mesmo tempo do RS. Suponha que ambos façam o trajeto de encontro em linha reta e que combinaram entre si de se encontrarem no meio do caminho, qual será o estado que eles se encontrarão ?

14 Ponto médio de um segmento N PM PN PQ PO O = PM PN 2PM PO = 1 PN 1 PN 2 PO 2 PO = 1 x m - x p 2 x q - x p = 2x m - 2x p = x q – x p => x m = x p + x q 2 2

15 Ponto médio de um segmento N O x m = x p + x q 2 2 y m = y p + y q 2 2

16 AP (-53°, 0°) RS (-53°, -30°) Metade do caminho = (-53°) + (- 53°) / 2 = -53° -30° + 0° / 2 = -15° (-53°,- 15°) Cidade do MT

17 Baricentro do triângulo

18 (x A, y A ) (x M, y M ) (x G, y G )

19 Baricentro do triângulo (x A, y A ) (x G, y G ) x B + x c 2 y B + y c y B + y c 2 2 AG = 2GM => (x G – x A ) = 2∙ x B + x C – x G 2 2

20 Baricentro do triângulo AG = 2GM => (x G – x A ) = 2∙ x B + x C – x G 2 2 x G – x A = x B + x C – 2x G 3x G = x A + x B + x C x G = x A + x B + x C 3 y G = y A + y B + y C 3

21 Área de um triângulo Dado o triângulo de vértices nos pontos A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) e C(x 3, y 3 ) sua área será dada por:

22 Área de um triângulo

23 A1)A1)A1)A1) A2)A2)A2)A2) A3)A3)A3)A3) A triân – ) – ) =)=)=)=)

24 Área de um triângulo A 1 = (x 3 + x 2 )(y 2 – y 3 ) 2

25 Área de um triângulo A 2 = (x 3 + x 1 ) ∙ (y 3 – y 1 ) 2

26 Área de um triângulo A 3 = (x 2 + x 1 ) ∙ (y 2 – y 1 ) 2

27 Área de um triângulo A1)A1)A1)A1) A2)A2)A2)A2) A3)A3)A3)A3) A triân – ) – ) =)=)=)=) (x 3 + x 2 ) (y 2 – y 3 ) 2 + (x 3 + x 1 ) ∙ (y 3 – y 1 ) 2 - (x 2 + x 1 ) ∙ (y 2 – y 1 ) 2 x 3 y 2 – x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 2 y 3 + x 3 y 3 – x 3 y 1 + x 1 y 3 – x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 2 y 1 – x 1 y 2 + x 1 y 1 2 1. (x 3 y 2 – x 2 y 3 – x 3 y 1 + x 1 y 3 + x 2 y 1 – x 1 y 2 ) 2

28 Área de um triângulo

29 Condição de alinhamento de três pontos Dados três pontos A (x 1, y 1 ), B (x 2, y 2 ) e C (x 3, y 3 ), eles serão colineares se, e somente se: = 0

30 Equação geral da reta Dados dois pontos A (x 1, y 1 ) e B (x 2, y 2 ) pertencentes a uma reta, podemos encontrar a equação geral que determinou essa reta da seguinte forma: Toda reta possui infinitas equações que a representa. - xy B - yx A - x B y A + x A y B + xy A + yx B (y A - y B ) x + (x B - x A ) y + (x A y B - x B y A ) Ax + B y + C

31 Exemplo Dados os pontos abaixo, determine a equação geral desta reta:

32 Equação reduzida da reta É do tipo y = ax + b com a ≠ 0. Para transformar uma equação geral (Ax + Bx + C = 0) em uma equação reduzida (y = ax + b), basta isolar o y da equação geral. No exemplo anterior, a equação geral é – 6x + 2y + 2 = 0 A equação reduzida seria y = (6x – 2)/2 y = 3x – 1

33 Equação reduzida da reta Pode-se encontrar a equação reduzida diretamente da gráfico que contém a reta Seja y = ax + b Coeficiente angular a = tg α = Δy / Δx Coeficiente linear (corta Oy)

34 α a = tg α = Δy / Δx = 1 / 1 = 1 b = 1 1∙x + 1∙ y = 0

35 O gráfico mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçada em extinção, segundo dados obtidos do Ministério do Meio Ambiente: Se mantidas nos anos subsequentes, a tendência linear de crescimento mostrada no gráfico, qual será o número de espécies ameaçadas em extinção no ano de 2020? tg α = 424 – 387 2003 - 1999 n – 424 2020 - 2003 = n = 582 espécies

36 Numa prancha de madeira quadrada é esticada uma linha, fixa numa das extremidades, e na outra esta presa uma bexiga com um estilete encostado. Distância de um ponto a reta Se o atirador acertar na linha, a bexiga é estourada pelo estilete. O homem dá um tiro na madeira a 40 cm do lado esquerdo e 48 cm da parte de baixo. Ele acertou ou não a linha? 100 cm 15 cm 90 cm

37 Distância de um ponto a reta

38 Demonstração: Distância de um ponto a reta A(x A, y A ) B(x B, y B ) A Δ APB = ½ |D| e A Δ APB = d AB ∙ d Pr ∙ ½ ½ |D| = d AB ∙ d Pr ∙ ½ d Pr = |D| / d AB I) Encontrando a equação da reta r que passa por A e B Ax + B y + C = 0

39 Demonstração: Distância de um ponto a reta A(x A, y A ) B(x B, y B ) A Δ APB = ½ |D| e A Δ APB = d AB ∙ d Pr ∙ ½ ½ |D| = d AB ∙ d Pr ∙ ½ d Pr = |D| / d AB II) Encontrando a distância de A até B

40 Demonstração: Distância de um ponto a reta A(x A, y A ) B(x B, y B ) A Δ APB = ½ |D| e A Δ APB = d AB ∙ d Pr ∙ ½ ½ |D| = d AB ∙ d Pr ∙ ½ d Pr = |D| / d AB II) Encontrando |D| = 0 (y A - y B ) x o + (x B - x A ) y o + (x A y B - x B y A ) Ax o + B y o + C

41 Demonstração: Distância de um ponto a reta A(x A, y A ) B(x B, y B ) A Δ APB = ½ |D| e A Δ APB = d AB ∙ d Pr ∙ ½ ½ |D| = d AB ∙ d Pr ∙ ½ d Pr = |D| / d AB |D| = Ax o + B y o + C

42 Distância de um ponto a reta M N 15 90 100

43 Equação da reta que passa pelos pontos M(0, 15) e N(100, 90): = 0 - 75x + 100y - 1500= 0 (: - 25) 3x – 4y + 60 = 0 Como o tiro acertou no ponto P(40, 48), saber se atingiu a linha é saber se P є r, ou seja, satisfaz a equação:

44 Distância de um ponto a reta M N 15 90 10040 48 A que distância mínima o tiro passou da linha ? P

45 Distância de um ponto a reta Equação da reta: 3x – 4y + 60 = 0 Ponto: (40, 48) d Pr = |3 ∙ 40 +(- 4) ∙ 48 + 60| √3² +(- 4)² = |120 – 192 + 60| √25 d Pr = 2,4 cm

46 Intersecção entre retas Dadas as retas t 1 : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 e t 2 : a 2 x+b 2 y+c 2 =0 dizemos que o ponto P(x 0,y 0 ) é o ponto de intersecção das retas t 1 e t 2 se (x 0,y 0 ) é a solução do sistema:

47 Solução gráfica de inequações Uma empresa fabrica box para banheiro de dois tipos:  Transparente – R$ 200,00 o custo e R$ 280,00 a venda;  Colorido – R$300,00 o custo e R$ 360,00 a venda. A empresa pode gastar semanalmente, no máximo, R$ 9 mil. Ela é capaz de produzir 32 boxes por semana. Neste período, quantos boxes de cada tipo devem ser fabricados e vendidos para maximizar a receita?

48 x -> quantidade de boxes transparentes y -> quantidade de boxes coloridos x > 0 y > 0 x + y ≤ 32 200x + 300y ≤ 9 000 Rec máx (x,y) = 280x + 360y Solução gráfica de inequações

49 x -> quantidade de boxes transparentes y -> quantidade de boxes coloridos 200x + 300y ≤ 9 000 x + y ≤ 32 x > 0 y > 0 Rec máx (x,y) = 280x + 360y Solução gráfica de inequações

50 Rec(0,30) = 280 ∙ 0 + 360 ∙ 30 = 10 800 Rec(6, 26) = 280 ∙ 6 + 360 ∙ 26 = 11 040 Rec(32, 0) = 280 ∙ 32 + 360 ∙ 0 = 8 960 Logo, a empresa obtém a receita máxima quando produz e vende 6 boxes transparentes e 26 boxes coloridos Solução gráfica de inequações

51 Posições relativas de 2 retas Dadas duas retas: r = m r x + n r e s = m s x + n s m r = m s e n r ≠ n s => r // s m r ≠ m s => r x s m r = m s e n r = n s => r = s

52 Posições relativas de 2 retas m r ∙ m s = - 1

53 Posições relativas de 2 retas α r = 90° + α s tg α r = tg (90° + α s ) tg α r = sen (90°+ α s ) cos (90°+ α s ) tg α r = cos α s - sen α s tg α r = - 1 tg α Demonstração: m r = tg α r e m s = tg α s tg α r ∙ tg α s = - 1 m r ∙ m s = - 1

54 Ângulo entre duas retas  Caso 2: uma reta é perpendicular ao Ox

55 Demonstração: Ângulo entre duas retas tg α = tg (90° - α s ) tg α = sen (90°- α s ) cos (90°- α s ) tg α = cos α s - sen α s 90° = α + α s α = 90° - α s tg α = - 1 tg α s tg α = 1 m s

56 Referências PACCOLA, Herval; BIANCHINI. Matemática 3. SMOLE, Kátia; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 3. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. IEZZI, Gelson; [et al.]. Matemática: Ciência e Aplicações. Vol. 3. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar. Vol. 7. São Paulo: Atual, 1979.