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Geometria Euclidiana revisitada A reta de Euler João Lucas Marques Barbosa Universidade Federal do Ceará Leonhard Euler (1707-1783)

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1 Geometria Euclidiana revisitada A reta de Euler João Lucas Marques Barbosa Universidade Federal do Ceará Leonhard Euler ( )

2 .. A B M Seja AB um segmentoSeja M o ponto médio de AB Trace a reta m perpendicular a AB passando pelo ponto M m A reta m é chamada de bissetor perpendicular do segmento AB.

3 .. A B M P Seja P um ponto dessa reta.Trace PAe trace PB Segue-se que PA = PB m Portanto, os pontos do bissetor de um segmento são eqüidistantes de suas extremidades.

4 .. A B P Inversamente, Na figura abaixo suponha apenas que: PA=PB Seja M o ponto médio de AB. M Trace a reta m por P e M m Então AMP = BMP.Portanto, m e AB são perpendiculares Logo m é o bissetor perpendicular ao segmento AB

5 Teorema: O bissetor perpendicular ao segmento AB é constituído dos pontos eqüidistantes de A e de B. Provamos portanto o seguinte teorema:

6 Corolario: Os bissetores perpendiculares aos lados de um triângulo se encontram em um ponto. O ponto O é eqüidistante dos 3 vértices. Por isto é chamado de cincuncentro do triângulo. A BC M N P O.. P, M, B, são pontos médios PO e MO são bissetores perpendiculares Logo: CO = AO = OB

7 Trace as 3 alturas do triângulo Proposição: As alturas dos vértices de um triângulo se encontram em um ponto. Por cada vértice trace uma reta paralela ao lado oposto Tal ponto é chamado de ORTOCENTRO do triângulo Os 4 triângulos são congruentes!! As alturas do triângulo original são o bissetores perpendiculares do triângulo gigante!! Logo se interceptam!!

8 Uma CEVIANA é um segmento ligando um vértice de um triângulo ao lado oposto.

9 Teorema de Cevas: Seja ABC um triângulo, X um ponto de AB, Y um ponto de BC e Z um ponto de CA. As cevianas AY, CX e BZ se encontram em um ponto se e somente se: A BC X Y Z

10 A C B X Y E D Z n m Trace retas m e n paralelas a AY Prolongue BZ até E em n Prolongue CX até D em m P A B X D P A C E Z P

11 A C B X Y E D Z n m P C B Y E P C B Y DP

12 A C B X Y E D Z n m P Multiplique estas igualdades termo a termo para obter Cancelando obtém-se

13 Portanto, provamos que: Se as cevianas AY, CX e BZ se encontram em um ponto então: A BC X Y Z

14 Vamos agora provar que: Dado um triângulo ABC em que AY, BZ e CX são cevianas, se então as cevianas se encontram em um ponto. PROVA: Escolha um ponto W em BC de modo que AW, BZ e CX se encontrem. A Z W X CB Então, pelo que já provamos: Logo: e, portanto, Y Logo: Y = W

15 Uma Mediana é uma ceviana ligando um vértice ao ponto médio do lado oposto. A B C M AM = MB

16 Proposição: As três medianas de um triângulo se encontram em um ponto. A B C X Y Z AY, BZ e CX são as três medianas, logo: Portanto: Pelo Teorema de Cevas AY, BZ e CX se interceptam

17 O Ponto de encontro das Medianas é chamado BARICENTRO do triângulo Corolário: A distância do baricentro a cada vértice é 2/3 do comprimento da mediana. A BC YX Z O

18 O Ponto de encontro das Medianas é chamado BARICENTRO do triângulo A BC YX Z O Prova: CX e BY são duas medianas e O é o Baricentro. P Q P é o ponto médio de CO. Q é o ponto médio de BO. Trace YX e PQ Observe que AXY e ABC são semelhantes Observe que OQP e OBC são semelhantes XY = (1/2) BC XY paralelo a BC PQ = (1/2) BC PQ paralelo a BC YXQP é um paralelogramo XO = PO= CP Trace YP Trace XQ

19 Teorema: Dado um triângulo ABC, seja U o circuncentro, S o baricentro e O o ortocentro. Então os pontos U, S e O estão sobre uma mesma reta (a qual é denominada reta de Euler). Alem disto, eles estão situados na reta na ordem U, S, O e estão espaçados de modo que SO = 2 SU.

20 AB C M U S O M = ponto médio de AB U = circuncentro de ABC MU é perpendicular a AB S = Baricentro de ABC Prolongue US até o ponto O de modo que SO = 2 SU Lembre que SC = 2 SM Portanto: SUM e SOC são semelhantes Logo: MU e CO são paralelos Conclusão: O ponto O esta na perpendicular baixada de C ao lado AB O mesmo argumento repetido a partir de cada lado demonstra que: o ponto O esta na perpendicular baixada de A ao lado CB e esta na perpendicular baixada de B ao lado AC. Portanto O é o ortocentro de ABC E o teorema fica demonstrado

21 Terminamos!! Muito Obrigado

22 João Lucas Barbosa


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