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Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

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1 Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

2 E STUDO DA R ETA Determinação de uma reta no plano. A(x,y) B(x,y) Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos A e B de uma reta, podemos representá-la no plano cartesiano, pois dois pontos distintos determinam uma reta.

3 E STUDO DA R ETA Dados os pontos A,B e C, pertencentes a uma reta r, pela condição de alinhamento de três pontos, o determinante formado por esses pontos vale zero ( D=0) Equação geral da reta no plano cartesiano. A(x,y) B(x,y) C(x,y)

4 E STUDO DA R ETA Desenvolvendo o determinante obtemos: a equação : ax + by + c = 0 que é chamada equação geral da reta r Equação geral da reta, determinada por dois pontos

5 E STUDO DA R ETA Desenvolvendo o determinante obtemos: a equação : 1x -1y + 2 = 0 que é chamada equação geral da reta r Exemplo Determinar a equação da reta que passa por A(1,3) e (2,4)

6 E STUDO DA R ETA Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + k, onde m é o coeficiente angular da reta e k coeficiente linear da reta, ou a equação na forma y = ax + b. (a é o coeficiente angular e b coeficiente linear). Equação reduzida da reta.

7 E STUDO DA R ETA Exemplo de equação reduzida da reta. Da equação geral 6x-3y-12=0 obtemos a equação reduzida da reta: Y=2.x - 4 Cuja representação gráfica é - 4 m=2 c.a =2 c.l =- 4 Onde:

8 E STUDO DA R ETA Equação segmentária da reta Da equação geral ax+by+c=0 obtemos a equação segmentária da reta: x/p + y/q=1 ax/c +by/c= c/c Graficamente temos: q p

9 E STUDO DA R ETA Exemplo de equação segmentária da reta. Da equação geral 6x-3y-12=0 obtemos a equação segmentária da reta: 6x-3y= 12 x/2 + y/ - 4=1 6x/12 - 3y/12= 12/12 Graficamente temos: - 4 2

10 E STUDO DA R ETA Quando um ponto qualquer P(x, y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta. Se x= f(t) e y = g(t) onde f e g são funções de 1º grau. Nestas condições, para se encontrar a equação geral da reta, basta se tirar o valor de t em uma das equações e substituir na outra. Equação paramétrica da reta.

11 E STUDO DA R ETA Exemplo de equação paramétrica da reta. Dados os pontosX= 2.t+1 e Y= t+3 Coordenadas do ponto P(x,y) Isolando t em y temos: t = y- 3 Substituindo t em x temos:x = 2.(y- 3)+1 Organizando, obtemos a equação geral x-2y+5=0 Obs: existe outra forma de obtermos a equação geral, em uma equação paramétrica

12 ( ) Equação da reta r que passa pelo ponto P(x,y) e tem coeficiente angular m P(x,y) E STUDO DA R ETA Equação fundamental da reta.

13 E STUDO DA R ETA A equação y – y o = m (x – x o ) onde (xo,y o ) é um ponto conhecido e m é o coeficiente angular da reta, é chamada equação fundamental da reta Equação fundamental da reta.

14 E STUDO DA R ETA Exemplo aplicação da equação fundamental da reta A equação da reta que passa por P(2,3) e Tem coeficiente angular m =-2é y- 3=-2(x- 2) 2 3 m =-2 Equação geral:2.x+y-7=0

15 m= a = tg E STUDO DA R ETA O coeficiente angular de uma reta ( m )é um número real a que representa a sua inclinação ( ). Por definição, temos que: São quatro as possibilidades para o coeficiente angular: COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

16 E STUDO DA R ETA é agudo a > 0 Neste caso a reta tem um coeficiente angular positivo. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

17 Neste caso a reta tem um coeficiente angular negativo. E STUDO DA R ETA é obtuso a < 0 COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

18 E STUDO DA R ETA = 0º ou 180º a = 0 = 90º a não existe Neste caso a reta tem um coeficiente zero. Neste caso a reta não tem coeficiente angular COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

19 Determinação do Coeficiente angular na equação E STUDO DA R ETA Dada a equação geral ax+by+c=0, podemos determinar o coeficiente angular através da expressão. m = Exemplo -a-a b Qual o c.a na equação 3x-2y+5=0 m = m = 3 2

20 Determinação do Coeficiente angular entre dois pontos E STUDO DA R ETA Dados os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), o coeficiente angular da reta que passa por esses pontos é representado por: m = Exemplo yb-ya xb-xa Qual o c.a da reta que passa por A(3,6) e B(5,10) m = m = 4 2 2

21 P OSIÇÕES R ELATIVAS ENTRE D UAS R ETAS E STUDO DA R ETA Em relação ao plano cartesiano, as retas podem ocupar várias posições, posições estas que determinam nomes e propriedades particulares. Veremos aqui a algumas delas.... RETAS PARALELAS RETAS CONCORRENTES RETAS PERPENDICULARES

22 P OSIÇÕES R ELATIVAS ENTRE D UAS R ETAS E STUDO DA R ETA RETAS PARALELAS: retas paralelas tem os mesmos coeficientes angulares RETAS CONCORRENTES: tem os coeficientes angulares diferentes. RETAS PERPENDICULARES: Formam entre si ângulo de 90º.

23 P OSIÇÕES R ELATIVAS DE D UAS R ETAS RETAS PARALELAS: tem os coeficientes angulares iguais (m1 = m2) m1 m2 E STUDO DA R ETA

24 P OSIÇÕES DAS R ETAS RETAS CONCORRENTES: tem os coeficientes angulares diferentes (m1 diferente de m2) m1 m2 E STUDO DA R ETA

25 RETAS PERPENDICULARES: Formam entre si ângulo de 90º O produto entre os coeficientes angulares vale -1 (m1. M2 = -1) E STUDO DA R ETA P OSIÇÕES DAS R ETAS

26 Dado um ponto P(X,y) e uma reta r: ax+by+c=0, a distância entre o ponto e a reta é representada por: E STUDO DA R ETA * P(x,y) dp,r DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

27 Ângulo entre Retas Ângulo formado por duas retas Sendo m r e m s os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente, a tangente do ângulo agudo formado pelas retas é dado por : E STUDO DA R ETA mr ms r s

28 BIBLIOGRÁFIA Livro de matemática volume 3 editora Moderna, autor Manoel Paiva Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.


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