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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA POPULACIONAL (σ 2 desconhecido ) Sabemos que se o tamanho da amostra for superior a 30 a distribuição amostral das.

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1 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA POPULACIONAL (σ 2 desconhecido ) Sabemos que se o tamanho da amostra for superior a 30 a distribuição amostral das medias é aproximadamente normal. Sabemos que se o tamanho da amostra for superior a 30 a distribuição amostral das medias é aproximadamente normal. Assim, mesmo com σ desconhecido, podemos substituí-lo por S (desvio padrão amostral) e utilizar as propriedades da distribuição normal para calcular probabilidades. Assim, mesmo com σ desconhecido, podemos substituí-lo por S (desvio padrão amostral) e utilizar as propriedades da distribuição normal para calcular probabilidades. Porém, para pequenas amostras ( n ≤ 30), a distribuição normal não é mais adequada. Porém, para pequenas amostras ( n ≤ 30), a distribuição normal não é mais adequada.

2 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA POPULACIONAL (σ 2 desconhecido) Neste caso devemos usar a chamada distribuição “t de Student” na determinação dos valores críticos, agora denotados por t α/2. Neste caso devemos usar a chamada distribuição “t de Student” na determinação dos valores críticos, agora denotados por t α/2. Se a distribuição de uma população é essencialmente normal ( com forma aproximada de um sino), então a distribuição de t dada por: Se a distribuição de uma população é essencialmente normal ( com forma aproximada de um sino), então a distribuição de t dada por: (X - µ ) (X - µ ) t = ---------- t = ---------- s/√ n s/√ n com n-1 graus de liberdade, com n-1 graus de liberdade, é essencialmente uma distribuição t de Student para todas as amostras de tamanho n. é essencialmente uma distribuição t de Student para todas as amostras de tamanho n.

3 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA POPULACIONAL (σ 2 desconhecido) A Distribuição t de “Student”difere da curva normal padrão z porque tem um parâmetro adicional, os chamados graus de liberdade (GL) que mudam sua forma. A Distribuição t de “Student”difere da curva normal padrão z porque tem um parâmetro adicional, os chamados graus de liberdade (GL) que mudam sua forma. Graus de liberdade, normalmente simbolizados por gl, são um parâmetro da distribuição t que pode ser qualquer número real maior que zero. Graus de liberdade, normalmente simbolizados por gl, são um parâmetro da distribuição t que pode ser qualquer número real maior que zero. É o numero de elementos que podem assumir quaisquer valores depois que uma estatística tiver sido calculada. É o numero de elementos que podem assumir quaisquer valores depois que uma estatística tiver sido calculada.

4 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA POPULACIONAL (σ 2 desconhecido) A distribuição t de Student, é utilizada na determinação dos valores críticos agora denotados por tα/2. A distribuição t de Student, é utilizada na determinação dos valores críticos agora denotados por tα/2. Obtém-se os valores de tα/2 em tabela própria localizando o nº de graus de liberdade (GL) na coluna à esquerda e percorrendo a linha correspondente até atingir o numero diretamente abaixo do valor aplicável (bilateral) de α. Obtém-se os valores de tα/2 em tabela própria localizando o nº de graus de liberdade (GL) na coluna à esquerda e percorrendo a linha correspondente até atingir o numero diretamente abaixo do valor aplicável (bilateral) de α.

5 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA POPULACIONAL (σ 2 desconhecido)

6 Distribuição t de Student: Uso da tabela 0,05 gl 20.10.05 13,0786,314 12,706 21,8862,9204,303 31,6382,3533,182 2,920 Entra com valor de  e gl e obtém t  Considere n=3,  =10%. Então gl=2 e  =5% Considere n=3,  =10%. Então gl=2 e  =5% t 0 0,05 2,920 6 -2,920 Bi caudal!!  /2 para cada lado. t 0,05 - t 0,05

7 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA POPULACIONAL (σ 2 desconhecido) PROPRIEDADES IMPORTANTES DA DISTRIBUIÇÃO t de “STUDENT” PROPRIEDADES IMPORTANTES DA DISTRIBUIÇÃO t de “STUDENT” A distribuição t é diferente, conforme o tamanho da amostra. A distribuição t é diferente, conforme o tamanho da amostra. Tem a forma simétrica, mas reflete a maior variabilidade esperada em pequenas amostras. Tem a forma simétrica, mas reflete a maior variabilidade esperada em pequenas amostras. Tem media t = 0 ( tal qual a distribuição normal padronizada, com media z=0) Tem media t = 0 ( tal qual a distribuição normal padronizada, com media z=0) o desvio padrão da distribuição t varia com o tamanho da amostra, mas é superior a 1 (ao contrario da distribuição normal padronizada, em que σ = 1) o desvio padrão da distribuição t varia com o tamanho da amostra, mas é superior a 1 (ao contrario da distribuição normal padronizada, em que σ = 1)

8 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA POPULACIONAL (σ 2 desconhecido) Na medida em que aumenta o tamanho n da amostra, a distribuição t se aproxima mais e mais da distribuição normal padronizada. Para valores maiores que 30, as diferenças são tão pequenas que podemos utilizar os valores críticos z. Na medida em que aumenta o tamanho n da amostra, a distribuição t se aproxima mais e mais da distribuição normal padronizada. Para valores maiores que 30, as diferenças são tão pequenas que podemos utilizar os valores críticos z. É mais espalhada e com o “bico” mais baixo. Desta forma ela tem um DP maior que a normal. É mais espalhada e com o “bico” mais baixo. Desta forma ela tem um DP maior que a normal.

9 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA POPULACIONAL (σ 2 desconhecido) CONDIÇÕES PARA UTILIZAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO t CONDIÇÕES PARA UTILIZAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO t O tamanho da amostra é pequeno ( n < 30). O tamanho da amostra é pequeno ( n < 30). σ é desconhecido σ é desconhecido a população original tem distribuição essencialmente normal. Se a distribuição original for essencialmente não normal não é possível utilizarmos os métodos descritos. Uma alternativa seria o emprego de métodos não paramétricos ou a utilização do método de reamostragem, que não faz hipótese alguma sobre a população original. a população original tem distribuição essencialmente normal. Se a distribuição original for essencialmente não normal não é possível utilizarmos os métodos descritos. Uma alternativa seria o emprego de métodos não paramétricos ou a utilização do método de reamostragem, que não faz hipótese alguma sobre a população original.

10 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA POPULACIONAL (σ 2 desconhecido) X – E ≤ µ ≤ X + E X – E ≤ µ ≤ X + E Onde E = tα/2. s/√ n Onde E = tα/2. s/√ n

11 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA Abordamos inicialmente maneiras de achar estimativas pontuais e intervalares para uma media populacional µ tomando como base dados amostrais conhecidos. Abordamos inicialmente maneiras de achar estimativas pontuais e intervalares para uma media populacional µ tomando como base dados amostrais conhecidos. Mas se ainda não tivermos coletados os dados? Como saber quantos elementos da população devem ser escolhidos? Mas se ainda não tivermos coletados os dados? Como saber quantos elementos da população devem ser escolhidos?

12 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA Partindo da expressão da margem de erro E Partindo da expressão da margem de erro E E = Zα/2. σ/ √n E = Zα/2. σ/ √n e resolvendo em relação ao tamanho n da amostra, obtemos: e resolvendo em relação ao tamanho n da amostra, obtemos: ► n = [zα/2/E] 2 ► n = [zα/2/E] 2 Logo, o tamanho da amostra dependerá de Logo, o tamanho da amostra dependerá de (1) o grau de confiança desejado, (1) o grau de confiança desejado, (2) a quantidade de dispersão entre os valores individuais da população, e (2) a quantidade de dispersão entre os valores individuais da população, e (3) certa quantidade especifica de erro tolerável. (3) certa quantidade especifica de erro tolerável.


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