PROJETO DE NIVELAMENTO – ITEC/PROEX - UFPA PROJETO DE NIVELAMENTO – ITEC/PROEX - UFPA EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR DISCIPLINA: FÍSICA.

Apresentação em tema: "PROJETO DE NIVELAMENTO – ITEC/PROEX - UFPA PROJETO DE NIVELAMENTO – ITEC/PROEX - UFPA EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR DISCIPLINA: FÍSICA."— Transcrição da apresentação:

1 PROJETO DE NIVELAMENTO – ITEC/PROEX - UFPA PROJETO DE NIVELAMENTO – ITEC/PROEX - UFPA EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR DISCIPLINA: FÍSICA ELEMENTAR DISCIPLINA: FÍSICA ELEMENTAR CONTEÚDO: CÁLCULO APLICADO A CINEMÉTICA

2  O que é cinemática?  Posição e Deslocamento  Velocidade Média vs Velocidade Escalar Média.  Velocidade Instantânea.  Noções de Cálculo Diferencial.  Inclinação e coeficiente angular de uma reta.  Noção conceitual de derivada.  Conhecer e aplicar algumas propriedades da derivada na Cinemática.  Aplicação de Derivada nas Engenharias.  Noções de Cálculo Integral e a sua Aplicação na Cinemática. TÓPICOS A SEREM ABORDADOS

3 O que é Cinemática? Estudo do movimento dos corpos sem se preocupar com as causas (Forças).

4 POSIÇÃO VS DESLOCAMENTO O QUE É REFERENCIAL? O QUE É POSIÇÃO?

5 POSIÇÃO VS DESLOCAMENTO O QUE É DESLOCAMENTO?

6 POSIÇÃO VS DESLOCAMENTO IMPORTANTE! diferença entre deslocamento e distância percorrida É importante reconhecer a diferença entre deslocamento e distância percorrida. A distância percorrida por uma partícula é o comprimento do caminho descrito pela partícula de sua posição inicial até a sua posição final. Deslocamento é a variação de posição de uma partícula. É positivo se a variação de posição ocorre no sentido crescente de x (o sentido +x) e negativo se ocorrer no sentido decrescente (sentido –x). Portanto deslocamento é de natureza vetorial e distância percorrida é de natureza escalar.

7 VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA VS VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA  Qual a diferença entre essas velocidades?

8 VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA

9

10 VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA  A velocidade escalar média é a razão entre a posição percorrida e o tempo gasto para realizar o percurso. Daí, pode ser calculada pela relação: Obs.: Unidade no SI: metros por segundo (m/s).

11 VELOCIDADE INSTANTÂNEA

12

13 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL Para começar, qual o problema fundamental que o cálculo diferencial responde? Procuraremos responder intuitivamente a essa pergunta (portanto em nível básico) tanto do ponto de vista conceitual- operacional quanto do ponto de vista gráfico. Começando pelo ponto de vista conceitual-operacional. O cálculo diferencial, cuja operação matemática correspondente é chamada de derivada, busca responder a seguinte questão fundamental: Como uma função varia ponto a ponto? Ou ainda, de maneira equivalente: Qual a taxa de variação que uma função apresenta em função de um determinado parâmetro?

14 Reta secante a uma curva qualquer NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL

15  O coeficiente angular da reta secante acima é:  Note que a equação acima quando aplicado à cinemática, nos fornece uma equação conhecida que é a velocidade média. Em outras palavras, podemos afirmar que velocidade média é a inclinação de uma reta secante como podemos ver na figura abaixo: NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL

16 Figura – gráfico de posição em função do tempo.

17  Fazendo o ponto x+h se aproximar cada vez mais do ponto x, a reta secante vai se aproximando da tangente, conforme figura abaixo:  NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL Figura – Retas Secantes e Reta tangente

18 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL

19

20

21

22

23  VELOCIDADES INSTANTÂNEA X VELOCIDADE MÉDIA – ANÁLISE GRÁFICA NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL

24  Aceleração Vetorial Média X Aceleração Escalar Média Qual é a diferença entre aceleração média e aceleração escalar média? A diferença é que aceleração média é uma grandeza vetorial e aceleração escalar média é a intensidade ou magnitude dessa grandeza vetorial. Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula foi acelerada. Para movimentos ao longo de um eixo, a aceleração média, em um intervalo de tempo ∆t é: Obs.: A unidade no SI de aceleração é metros por segundo ao quadrado (m/s²)

25 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL  Aceleração Instantânea Obs.: A unidade no SI de aceleração é metros por segundo ao quadrado (m/s²) Também chamada de aceleração pode ser definida seguindo o mesmo procedimento adotado quando definimos velocidade instantânea. Portanto, temos que:

26 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIALIMPORTANTE! Tome cuidado para não confundir aceleração com velocidade! A velocidade indica como a posição de um corpo varia com o tempo e é um vetor cujo módulo indica a velocidade do deslocamento do corpo e sua direção e sentido mostram a direção e sentido do movimento. Já a aceleração indica como a velocidade e a direção do movimento varia com o tempo.

27 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL Figura - Reta horizontal de uma função constante

28 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL  SOMA OU SUBTRAÇÃO Obs.: A derivada da soma (subtração) é igual à soma (subtração) das derivadas.  CONSTANTE k MULTIPLICANDO A FUNÇÃO

29 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIALIMPORTANTE! A derivada obedece, portanto, à propriedade da distributividade para a soma e subtração. Ou seja, para calcular a derivada de uma função com dois ou mais termos, derive cada um dos termos e depois some tudo. A regra exposta em 5.7 expõe que a derivada de uma função f(t) multiplicada por k é igual a derivada de f(t) vezes k. Ou seja, a constante fica “esperando” para ser multiplicada pelo resultado da derivada de f(t).

30 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL  ANÁLISE DA DERIVADA f’(x o )>0: A função f é crescente em x=x o ; f’(x o )<0: A função f é decrescente em x=x o ; f’(x o )=0: x=x o é um ponto crítico de f.

31  Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a expressão x =at 2 -bt 3. Sendo x dado em metros e t em segundos, (a) Que dimensões e unidades a e b devem ter? Suponha que seus valores numéricos sejam respectivamente 3,0 e 1,0 (válidos também para o restante da questão). (b) Para que instante a partícula atinge a posição máxima? (c) Qual o comprimento do caminho percorrido pela partícula nos primeiros 4 segundos? (d) Calcule o deslocamento da partícula para o mesmo intervalo de tempo. (e) Calcule a velocidade média entre os instantes t=0s e t=4s. (f) Qual a velocidade da partícula em t=4s? (g) Em que instante a partícula não está sob a ação de força externa? QUESTÃO REVISÃO SOBRE DERIVADA QUESTÃO REVISÃO SOBRE DERIVADA

32 NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL Como determinar a Área (A) da figura acima?

33  Aproximação cada vez melhor conforme as bases dos retângulos vão se tornando mais “finas”: NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL A = integral de f = soma das áreas dos retângulos

34 NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRALIMPORTANTE! Essa é a ideia da integral, onde a área de uma figura qualquer é aproximada pela soma das áreas de incontáveis retângulos de espessura praticamente nula. Daí pode-se considerar a integral um processo de soma de pequeníssimas parcelas, que seriam as áreas de cada retângulo, até chegar ao total esperado (área A da figura acima).

35 NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRALIMPORTANTE! As propriedades de distributividade da soma e da multiplicação de uma integral por uma constante são mantidas na integração, tal como na operação de diferenciação.

36  INTEGRAL - PROPRIEDADES  Integral de uma constante  Integral de uma função potência NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL

37  INTEGRAL - PROPRIEDADES NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL  Soma ou subtração de integrais  Constante multiplicando uma função

38  APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL  A integral pode ser considerada como o processo inverso da derivada. Assim:

39

40  APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL  A área de um gráfico v x t é a variação da posição (∆S):

41  APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL  A área de um gráfico a x t é a variação da velocidade escalar instantânea (∆v):

42 QUESTÃO REVISÃO SOBRE INTEGRAL QUESTÃO REVISÃO SOBRE INTEGRAL