Aula 04 – Matemática I – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

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1 Aula 04 – Matemática I – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli
DERIVADA Aula 04 – Matemática I – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

2 “ No instante que o cavalo atravessou a reta de chegada, ele estava correndo a 42 mph”.
Como pode ser provada tal afirmação? Uma fotografia tirada naquele instante mostrará o cavalo parado – não ajudará em nada. Existe certo paradoxo em tentar estudar o movimento do cavalo em um instante de tempo específico, pois, ao focar em um único instante de tempo, interrompemos o movimento! É supreendentemente difícil definir com precisão o que é a velocidade de um objeto em algum instante de tempo.

3 Problemas de movimento foram de central importância para os filósofos no século cinco a.C. A abordagem moderna, que se tornou famosa através do cálculo de Newton, consiste em deixar de procurar um conceito simples para o valor da velocidade em um dado instante e, em vez disso, olhar o valor da velocidade durante pequenos intervalos de tempo contendo o instante em questão.

4 A Derivada O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variações é um método conhecido como derivação. As taxas de variações são aplicadas em diversos ramos da Ciência.

5 Taxa de Variação nas Ciências Naturais e Sociais
Aplicações

6 Na Física Usamos o conceito de derivada para estudar a velocidade instantânea de uma partícula a partir do seu deslocamento. Ou ainda para encontrar a aceleração instantânea a partir da variação da velocidade. A taxa instantânea da variação da velocidade com relação ao tempo é a aceleração. A taxa instantânea da variação do espaço com relação ao tempo é a velocidade.

7 Na Química Os químicos têm interesse em calcular a taxa de reação instantânea de uma reação química. A taxa de reação instantânea é calculada pelo quociente entre a concentração de um reagente em função do tempo, quando o intervalo de tempo tende para zero.

8 Na Biologia Os biólogos buscam calcular a taxa de crescimento instantâneo de indivíduos de uma população animal ou de plantas.

9 Na Economia Costuma-se calcular o custo marginal (taxa de variação instantânea de variação do custo em relação ao número de itens produzidos).

10 Outras Ciências Geólogo  pode estar interessado em saber a taxa na qual uma massa de rocha fundida resfria pela condução de calor para o meio rochoso que a envolve.

11 Engenheiro Saber a taxa segundo a qual a água escoa para dentro ou para fora de um reservatório.

12 Agrônomo Calcular a produção de uma cultura por hectare com a adição de nitrogênio. Calcular a produção de matéria seca em função da quantidade de luz absorvida em diferentes densidades de plantas.

13 Geógrafo urbano Tem interesse na taxa de variação da densidade da população numa cidade à medida que a distância do centro aumenta.

14 Meteorologista Busca calcular a taxa de variação da pressão atmosférica em relação à altura.

15 Psicologia Interessados na teoria de aprendizagem estudam a chamada curva de aprendizado, que é o gráfico de desempenho de alguém aprendendo alguma coisa como função do tempo de treinamento.

16 Sociologia O cálculo diferencial é usado na análise da divulgação do boato (ou invocações, ou modismo, ou padrões). Denota-se p(t) a proporção de uma população que fica sabendo de um boato no tempo t, e a derivada dessa função representa a taxa de divulgação do boato.

17 Um experimento mental Observemos o valor da velocidade de um pequeno objeto (uma laranja) lançada no ar verticalmente para cima no instante t = 1 s. A laranja deixa a mão do lançador com uma velocidade alta, vai se tornando cada vez mais lenta até atingir sua altura máxima, depois aumenta o valor de sua velocidade à medida que desce e, por fim, “Spletch!”. Velocidade positiva Velocidade negativa

18 Suponha que queríamos determinar o valor da velocidade em t = 1 segundo, por exemplo. A tabela a seguir apresenta a altura y, da laranja acima do nível do solo como uma função do tempo. Durante o primeiro segundo, a laranja percorreu 90 – 6 = 84 pés, e durante o segundo seguinte ela percorreu apenas 142 – 90 = 52 pés então, a laranja deslocou-se mais rapidamente no primeiro intervalo, 0≤𝑡≤1, do que no segundo 1≤𝑡≤2. t(s) 1 2 3 4 5 6 y (pés) 90 142 162 150 106 30 Tabela – Altura da laranja acima do solo

19 Velocidade x Velocidade Escalar
Suponhamos que um objeto se mova ao longo de uma reta. Convencionamos um sentido como sendo o sentido positivo e dizemos que a velocidade é positiva se estiver nesse mesmo sentido e negativa se estiver no sentido contrário.

20 No caso da laranja, para cima é positivo e para baio é negativo.
Velocidade escalar  a magnitude da velocidade é sempre maior ou igual a zero. Se s(t) for a posição de um objeto em algum instante t, então a velocidade média do objeto no intervalo 𝑎≤𝑡≤𝑏 é Velocidade média = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝑠 𝑏 −𝑠(𝑎) 𝑏−𝑎 Em palavras, a velocidade média de um objeto em um intervalo de tempo é o quociente entre a variação líquida na posição durante o intervalo e a variação no tempo.

21 Exemplo 1) Calcule a velocidade média da laranja no intervalo 4≤𝑡≤5. Qual o significado do sinal da sua resposta? Durante este intervalo, a laranja move-se por ( ) = - 44 pés. Então, a velocidade média é – 44 pés/s. O sinal negativo significa que a altura está decrescendo e, portanto, a laranja está se movendo para baixo. 1 pé = 0,3048 m

22 Velocidade média A velocidade média é um conceito útil porque nos dá uma ideia aproximada do comportamento da laranja. Mas a velocidade média em um intervalo de tempo não resolve o problema de medir a velocidade da laranja exatamente no instante t = 1 segundo. Para chegar mais perto de uma resposta para essa pergunta, precisamos ver mais detalhadamente o que acontece perto de t = 1.

23 A Derivada Derivação  método utilizado para estudar taxas de variação.

24 Tem-se a produção de milho por hectare 𝑓 (𝑘𝑔/ℎ𝑎) como função da quantidade de nitrogênio 𝑥 (𝑘𝑔/ℎ𝑎), cujos resultados são apresentados na tabela a seguir: x 10 20 30 40 50 60 70 80 f(x) 1451 1651,8 1816,6 1945,4 2038,2 2095,4 2115,8 2100,6 2049,4 Com base nesses dados, qual será a produção quando forem adicionados 22 kg/ha?

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26 Derivada Para estimar a produção, avalia-se o que está acontecendo entre 20 e 30, encontrando a equação da reta que passa pelos pontos (20, 1816,6) e (30, 1945,4). Devemos calcular o coeficiente angular, ou taxa de variação: 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐: 𝑓 30 −𝑓(20) 30−20

27 Este valor 12,88 representa a inclinação da reta unindo os pontos (20; 1816,6) e (30; 1945,4).
Logo a equação da reta 𝑓(𝑥) = 𝑏 + 𝒂.𝑥, para qualquer 0≤𝑥≤10 a partir de x = 20, será: 𝑓 20+𝑥 =𝑓 ,88𝑥 Com essa função podemos calcular o f(22).

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29 Podemos ter uma taxa de variação diferente de acordo com o valor ∆𝑥.
5 10 15 20 25 30 35 40 f(x) 1451 1555,9 1651,8 1738,7 1816,6 1885,5 1945,4 1996,3 2038,2 Podemos calcular uma nova taxa de variação entre 20 e 25 para encontrar o f(22).

30 Se forem efetuadas novas medições de produção com intervalos de dosagem menores, isto é, tomando valores menores que ∆𝑥 2 , mais precisa será a estimativa para x = 22. Efetuando-se essas operações sucessivamente, tem-se um processo de limite, expresso como lim ∆𝑥→0 𝑓 20+∆𝑥 −𝑓(20) ∆𝑥

31 lim ∆𝑥→0 𝑓 20+∆𝑥 −𝑓(20) ∆𝑥 Este limite nada mais é que a derivada da função em x = 20 ou o valor da inclinação da reta tangente em x = 20, já que os pontos (20; 1816,6) e (20+∆x; f(20+ ∆x) estarão muito próximos pelo limite.

32 é chamada de quociente da diferença da função f(x).
Derivada - Definição A expressão: 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ é chamada de quociente da diferença da função f(x). Tanto a taxa de variação quanto a inclinação podem ser determinados calculando o limite quando h tende a 0 de quociente diferença apropriado. Para unificar o estudo destas e outras aplicações que envolvem o limite de um quociente diferença, usamos a terminologia e notação a seguir.

33 Derivada de uma Função A derivada da função f(x) em relação a x é a função f’(x) dada por: 𝑓 ′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ E o processo de calcular a derivada é chamado de derivação. Dizemos que uma função é derivável no ponto c se f’(c) existe, ou seja, se o limite do quociente diferença que define f’(x) existe no ponto x = c.

34 Exemplo Determine a derivada da função 𝑓 𝑥 = 4,9𝑥 2 .

35 Taxa de Variação instantânea como uma Derivada
A taxa de variação de f(x) em relação a x no ponto x = c é dada por f’(c). A expressão analítica para os dados citados no problema inicial é uma função quadrática: 𝑓 𝑥 =−0,18 𝑥 2 +21,88𝑥+1451 Podemos calcular a taxa de crescimento para x = 22 através da derivada da função: f’(22).

36 Significado do sinal da Derivada f’(x)
Se a função f é derivável em x = c, f é crescente em x = c f’(x) > 0 f é decrescente em x = c f’(x) < 0

37 Exemplo

38 Notação de Derivada A derivada f’(x) da função y = f(x) muitas vezes é escrita na forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 (dê y sobre dê x) ou 𝑑𝑓 𝑑𝑥 (dê f sobre dê x). Nesta notação, o valor da derivada no ponto x = c [f’(c)] é escrito na forma: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥=𝑐 ou 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑥=𝑐 Assim, por exemplo, se y = x², temos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =2𝑥 E o valor da derivada no ponto x = -3 é dado por: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥=−3= 2𝑥 𝑥=−3=2. −3 =−6

39 Inclinação como uma derivada
A inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto [c,f(c)] é dada por 𝑚 𝑡𝑎𝑛 = 𝑓 ′ 𝑐 . Usamos: 𝑦−𝑓 𝑐 = 𝑓 ′ 𝑐 𝑥− 𝑥 1 ou 𝑦−𝑓 𝑐 =𝑚 𝑥− 𝑥 1

40 Exemplo Calcule a derivada de f(x) = x³ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x³ no ponto x = -1. Qual a equação da reta tangente neste ponto?

41 Exercícios: 1) Calcule a derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −1 e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto x = 2.

42 Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.
Descansando a mente Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.

43 Técnicas de Derivação

44 Esta regra é comprovada pela regra da potência.
Regra da Constante Para qualquer constante c, 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 =0 Em outras palavras, a derivada de qualquer constante é nula. 𝑓 𝑥 =𝑐 → 𝑓 ′ 𝑥 =0 Esta regra é comprovada pela regra da potência. 𝑓 𝑥 =15 → 𝑓 ′ 𝑥 =0

45 Regra da Potência 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ 𝑥 =𝑛. 𝑥 𝑛−1
Para qualquer número real n, 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 =𝑛. 𝑥 𝑛−1 Para calcular a derivada de xn, reduzimos de 1 o valor do expoente e multiplicamos o resultado pelo valor original do expoente. 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ 𝑥 =𝑛. 𝑥 𝑛−1 𝑓 𝑥 =2 𝑥 3 ;𝑓 𝑥 = 1 𝑥 2 ;𝑓 𝑥 = 𝑥 7

46 Regra da multiplicação por uma constante
Se c é uma constante e f(x) é uma função derivável, 𝑐𝑓(𝑥) também é uma função derivável e 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑓 𝑥 =𝑐 𝑑 𝑑𝑥 [𝑓 𝑥 ] A derivada de um múltiplo é o múltiplo da derivada. 𝑔 𝑥 =𝑐𝑓 𝑥 → 𝑔 ′ 𝑥 =𝑐𝑓′(𝑥) 𝑓 𝑥 =3 𝑥 4 ;𝑓 𝑥 = 7 𝑥

47 Se f’(x) e g’(x) existem, então:
Regra da soma Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma 𝑆 𝑥 =𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 também é uma função derivável e 𝑆 ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 + 𝑔 ′ 𝑥 , ou seja: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 [𝑔 𝑥 ] A derivada de uma soma é a soma das derivadas das parcelas. ℎ 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 . Se f’(x) e g’(x) existem, então: ℎ ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 +𝑔′(𝑥) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 8𝑥 + 5 𝑔(𝑦) = 9𝑦5 – 4𝑦²+2𝑦 + 7

48 Calcule a derivada das funções:
𝑦= 𝑥 −4 𝑦= 𝑥 9 −5 𝑥 8 +𝑥+12 𝑦=−2 𝑦=−0,02 𝑥 3 +0,3𝑥 𝑦= 𝜋 𝑟 2 𝑦= 1 𝑡 + 1 𝑡 2 − 1 𝑡 𝑦= 2𝑥 𝑦= 𝑥 5 −4𝑥² 𝑥³ 𝑦= 9 𝑡 𝑦= 3 𝑥 𝑥 𝑦= 𝑥 2 +2𝑥+3

49 Problemas Estima-se que daqui a x meses a população de um município será 𝑃 𝑥 = 𝑥 2 +20𝑥+8000. Qual será a taxa de variação da população com o tempo após 15 meses? Qual será a variação da população durante o 16º mês?

50 O produto interno bruto (PIB) de certo país é dado por 𝑁 𝑡 = 𝑡 2 +5𝑡+ 106 bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1995. Qual foi a taxa de variação do PIB em 2005? Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 2005?

51 Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por 𝑠 𝑡 = 𝑡 3 −6 𝑡 2 +9𝑡+5. Determine a velocidade do corpo e discuta seu moimento entre os instantes t = 0 e t = 4. Determine a distância percorrida pelo corpo entre os instantes t = 0 e t = 4. Determine a aceleração do corpo e os intervalos de tempo nos quais está acelerando e desacelerando entre os instantes t = 0 e t = 4.