Logaritmos Fabio Licht.

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1 Logaritmos Fabio Licht

2 John Napier (1550 – 1617) John Napier nasceu em Edimburgo, na Escócia, no ano de Ele foi um matemático, físico, astrônomo, astrólogo e teólogo, e se consagrou profissionalmente por ter popularizado o ponto decimal e também pelos estudos do logaritmo natural. Fonte: Juliana Miranda

3 Pra que estudar? O crescimento exponencial em alguns casos pode ser vertiginoso; em outros momentos, pode tender lentamente a zero, sem nunca atingi-lo. A função exponencial é fundamental para explicar numericamente desde fenômenos biológicos até fenômenos físicos complexos, como a transmutação radioativa.

4 Logaritmo: Definição Expoente a ao qual se deve elevar um número x para se obter outro número b. Ou seja:

5 Logaritmo: Exemplo

6 Logaritmo: Consequências

7 Logaritmo: Propriedades
Produto Quociente

8 Logaritmo: Propriedades
Potência Mudança de Base

9 Logaritmo: Modelo Logaritmos decimais:
A base 10 é a mais utilizada e é por essa razão que muitas vezes omite-se a base. Ou seja: Logaritmos Neperianos ou de base natural : Estes logaritmos tem por base o número e (base de Napier). Assim:

10 Antilogaritmo: Definição
É o número que corresponde a um logaritmo dado, ou seja, é o inverso do cálculo do logaritmo de um número. Assim: Ou seja, consiste em elevar a base ao número obtido no logaritmo. Exemplo:

11 Cologaritmo: Definição
Cologaritmo de um número x é o logaritmo do seu recíproco ou inverso. Ou seja:

12 Resumindo…

13 Utilização

14 Gráficos

15 Gráficos! Resumindo... É qualquer função f:  da forma f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1. f(x) = 2x O gráfico é crescente, não cruza o eixo x e intercepta o eixo y no ponto (0, 1).

16 Gráficos! Resumindo... O gráfico é decrescente, também cruza o eixo y em (0, 1) e não intercepta o eixo x.

17 Comparação entre algumas funções
Função Exponencial Função 1º Função 2º

18 Comparativo dos Gráficos

19 Responda... Sabe-se que determinada bactéria se duplica a cada 1 minuto. Após análise verificou-se que ao meio-dia um vidro ficou completamente cheio de bactérias. Pergunta-se: Em que momento o vidro estava com metade da sua capacidade?

20 Problema Considere o seguinte problema: Você precisa de R$ 1500,00 para uma viagem à Natal-RN nas férias de janeiro e tem apenas R$ 1000,00. Em consulta ao gerente do banco, foi feita uma proposta de investimento que proporciona 5% de lucro por mês. Daqui há quanto tempo você conseguirá programar a sua viagem?

21 Problema A taxa de juros é de 5 % ao mês, ou seja 0,05 Temos R$ 1000,00 (Inicial) O Valor que pretende é R$ 1500,00 (Final) Final = Inicial.(1 + i)t ⇒ = (1,05)t 1,057 ≈ 1,407 1,058 ≈ 1,477 1,059 ≈ 1,551 1,05t = 1,5 ou log 1,05 1,5 = t Conclui-se, pelos chutes, que após 9 meses você conseguirá seus ≈R$ 1500,00 (1000 iniciais de lucro)

22 Resolva Você tem R$ ,00 e quer comprar um carro que custa R$ ,00. Seu gerente aconselhou à fazer uma aplicação em renda fixa que gera 3% ao mês. Considere que o preço do carro vai se manter e que não há inflação no Brasil. Assim, daqui há quanto tempo você conseguirá comprar seu carro se aceitar fazer o investimmento?

23 Mas... Como Descobrir o Expoente?
Como é possível obter, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas (chutes), o valor de t na equação 1,05t = 1,6? Os logaritmos são muito úteis em problemas como esse.

24 A base 10 Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos: 1 = 100 0,1 = 10–1 10 = 101 0,01 = 10–2 100 = 102 0,001 = 10–3 1000 = 103 0,0001 = 10–4 10000 = 104 0,00001 = 10–5

25 A base 10 Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados podemos apresentar o seguinte: 2 = 100,301 log 0,301 = 2 3 = 100,477 log 0,477 = 3 7 = 100,845 log 0,845 = 7 11 = 101,041 log 1,041 = 11 13 = 101,114 log 1,114 = 13

26 TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS
Base 10 TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS nº log 1 21 1,322219 41 1,612784 61 1,78533 81 1,908485 2 0,30103 22 1,342423 42 1,623249 62 1,792392 82 1,913814 3 0,477121 23 1,361728 43 1,633468 63 1,799341 83 1,919078 4 0,60206 24 1,380211 44 1,643453 64 1,80618 84 1,924279 5 0,69897 25 1,39794 45 1,653213 65 1,812913 85 1,929419 6 0,778151 26 1,414973 46 1,662758 66 1,819544 86 1,934498 7 0,845098 27 1,431364 47 1,672098 67 1,826075 87 1,939519 8 0,90309 28 1,447158 48 1,681241 68 1,832509 88 1,944483 9 0,954243 29 1,462398 49 1,690196 69 1,838849 89 1,94939 10 30 1,477121 50 1,69897 70 1,845098 90 1,954243 11 1,041393 31 1,491362 51 1,70757 71 1,851258 91 1,959041 12 1,079181 32 1,50515 52 1,716003 72 1,857332 92 1,963788 13 1,113943 33 1,518514 53 1,724276 73 1,863323 93 1,968483 14 1,146128 34 1,531479 54 1,732394 74 1,869232 94 1,973128 15 1,176091 35 1,544068 55 1,740363 75 1,875061 95 1,977724 16 1,20412 36 1,556303 56 1,748188 76 1,880814 96 1,982271 17 1,230449 37 1,568202 57 1,755875 77 1,886491 97 1,986772 18 1,255273 38 1,579784 58 1,763428 78 1,892095 98 1,991226 19 1,278754 39 1,591065 59 1,770852 79 1,897627 99 1,995635 20 1,30103 40 1,60206 60 1,778151 80 1,90309 100

27 Exemplos Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base 10. 4 = 22 = (100,301)2 = 100,602 = log 0,602 10 10 5 = = = 101 – 0,301 = 100,699 = log 0,699 2 100,301 6 = 2.3 = 100, ,477 = 100, ,477 = 100,778 = log 0,778

28 Exemplos Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva o número 60 como potência de base 10. 60 = = 100, , ⇒ 60 = 100, , ⇒ 60 = 101,778

29 Exemplos Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, resolva a equação exponencial 2x = 12. 2x = 12 ⇒ 2x = 22.3 ⇒ (100,301)x = (100,301) ,477 ⇒ 100,301.x = 100, ,477 ⇒ 100,301.x = 101,079 ⇒ 0,301.x = 1,079 1,079 ⇒ x = ⇒ x ≈ 3,585 0,301

30 Calcule log4 8 = x ⇒ 4x = 8 ⇒ (22)x = 23 ⇒ 22x = 23 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 1,5

31 Calcule log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossível log–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8

32 Resolva a equação log x (2x + 8) = 2
1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo. 2x + 8 > 0 x > –4 x > 0 ⇒ ⇒ x > 0 x > 0 x ≠ 1 x ≠ 1 x ≠ 1 2o. Usando a definição de logaritmo. logx (2x + 8) = 2 ⇒ x2 = 2x + 8 ⇒ x2 – 2x – 8 = 0 ⇒ x = –2 ou x = 4. ⇒ S = {4}

33 MUDANÇA DE BASE Tomemos uma calculadora científica. Ela permite o cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln). Como obter então, em uma calculadora, os logaritmos de outras bases? Será possível achar, por exemplo, os valores de log3 5 e log7 23?

34 MUDANÇA DE BASE Na tabela (ou tábua) de logaritmos decimais, encontramos que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir deles, podemos determinar o valor log7 23. log10 23 = 1,362 ⇒ 101,362 = 23 log7 23 = log10 23 log10 7 log10 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7 log7 23 = x ⇒ 7x = 23 ⇒ (100,845)x = 101,362 ⇒ 100,845.x = 101,362 1,362 ⇒ 0,845.x = 1,362 ⇒ x = = 1,612 0,845

35 MUDANÇA DE BASE: FÓRMULA
De modo geral, podemos calcular logb a, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida. logk a logk b Logb a =

36 MUDANÇA DE BASE: Exemplo
Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693. A partir desses valores, calcular log2 6. loge 6 Ln 6 1,792 log2 6 = = = = 2,586 loge 2 Ln 2 0,693

37 MUDANÇA DE BASE: Exercício
Resolva a equação 5x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301. 5x = 20 ⇒ x = log5 20 log10 20 log 20 1,301 log5 20 = = = = 1,861 log10 5 log 5 0,699

38 MUDANÇA DE BASE: Exercício
Se logk x = 2, Calcule logx (1/k). logk (1/k) –1 logx (1/k) = = logk x 2

39 MUDANÇA DE BASE: Exercício
Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3. 1o. Vamos a fórmula de mudança de base. log 3 0,48 log2 3 = = = 1,6 log 2 0,30 Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3.

40 Exemplos Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do produto log2 7 . Log Log13 2 1o. Vamos a fórmula de mudança de base. 1 1 1 log 7 log 13 log 2 . . = 1 log 2 log 7 log 13 1 1 1

41 MUDANÇA DE BASE – CONSEQUÊNCIA
Compare os valores dos log5 25 e log25 5. Compare, também, os valores log2 8 e log8 2. Que conclusão se pode tirar dessas comparações? Se logx y = 3/5, calcule logy x. log5 25 = 2 e log25 5 = 1/2 log2 8 = 3 e log8 2 = 1/3 logb a = 1/loga b logy x = 5/3

42 Generalizando Como consequência da fórmula de mudança de base, temos:
loga a logb a = loga b 1 logb a = loga b

43 Mas onde Aplicar isso?

44 Aplicações da função exponencial e Logarítmica

45 Economia onde n representa o número de vezes que no ano se calcula o juro.  Se n tende para + infinito, M tende para um certo limite:

46 Sociologia O crescimento populacional é a mudança positiva do número de indivíduos de uma população dividida por uma unidade de tempo. com A, B e K constantes positivas que dependem de uma situação concreta.

47 BIOLOGIA expressão utilizada para calcular o crescimento da população mundial, é generalizável ao crescimento da população de qualquer espécie.

48 A reprodução de bactérias:

49 A reprodução de peixe:

50 AGRICULTURA Para calcular o rendimento V de uma floresta podemos usar a fórmula: em que V dá-nos o valor em metros cúbicos de madeira por are (100m²), em função da idade da floresta, t.

51 FÍSICA A função exponencial é utilizada para calcular a desintegração das substâncias   radioativas através da equação: (1) em que y0  é a quantidade inicial, correspondente ao momento t = 0.

52 Exemplo: Por exemplo, sabe-se que em 5730 anos metade do carbono 14 decompõe-se. De acordo com estes dados, vamos calcular o valor da constante k da expressão (1). Temos que t = 5730 anos, e que

53 então no caso concreto do carbono 14 temos a seguinte fórmula:
com estes dados chegamos a : então no caso concreto do carbono 14 temos a seguinte fórmula: OBS. Para calcular a idade de um fóssil usa-se a fórmula de decomposição da partícula radioativa carbono 14.

54 (UEG-GO) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S ,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial se desintegre? RESPOSTA:

55 Exercícios Faça os exercícios propostos no site