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PRIMEIRA ESCOLA AVANÇADA DE FISÍCA 2005 Introdução à Teoria do Caos Marcus A.M. de Aguiar.

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1 PRIMEIRA ESCOLA AVANÇADA DE FISÍCA 2005 Introdução à Teoria do Caos Marcus A.M. de Aguiar

2 Sumário 1 – O que é Caos? 1 – O que é Caos? 2 - O mapa logístico 2 - O mapa logístico 3 – Caos e Fractais 3 – Caos e Fractais

3 Sistemas Previsíveis e Não- Previsíveis Calendário (anos bissextos, eclipses) Calendário (anos bissextos, eclipses) Pêndulos (relógio) Pêndulos (relógio) Sistema massa- mola Sistema massa- mola Clima Clima Fluidos turbulentos Fluidos turbulentos Mesa de pregos Mesa de pregos Mesa de bilhar Mesa de bilhar

4 A Mesa de Pregos: Caos e Determinismo

5 A Mesa de Bilhar A Mesa de Bilhar

6 As equações de Newton, que regem a mecânica, são determin í sticas: As equações de Newton, que regem a mecânica, são determin í sticas: dadas as forcas agindo sobre um sistema de partículas e as condições iniciais devemos ser capazes de determinar o movimento do sistema. Se jogamos as bolinas (aproximadamente) do mesmo modo, porque elas não caem (aproximadamente) no mesmo lugar? Se jogamos as bolinas (aproximadamente) do mesmo modo, porque elas não caem (aproximadamente) no mesmo lugar? Condições iniciais muito parecidas podem provocar efeitos dinâmicos muito diferentes! Condições iniciais muito parecidas podem provocar efeitos dinâmicos muito diferentes! Surpresa: sistemas muito simples podem ter comportamentos complexos, onde pequenas diferen ç as iniciais são amplificadas, levando a um comportamento aleatório. Surpresa: sistemas muito simples podem ter comportamentos complexos, onde pequenas diferen ç as iniciais são amplificadas, levando a um comportamento aleatório.

7 Sistemas Regulares X Sistemas Caóticos Sistema massa-mola Pêndulo simples 1) 2) 3)Sistema Terra-Sol 4)O pendulo duplo com molas

8 O oscilador de Duffing O oscilador de Duffing

9 Preto: x(0)=0.480 v(0)=0.355 Vermelho: x(0)=0.481 v(0)=0.355 Verde: x(0)=0.482 v(0)=0.355 CAOS = sensibilidade à condi ç ões iniciais = imprevisibilidade O movimento é tão complicado que torna-se imprevisível!

10 RESUMO Caos = sensibilidade às c ondições iniciais Caos = sensibilidade às c ondições iniciais Condições iniciais muito próximas separam-se exponencialmente rápido: (efeito borboleta) Condições iniciais muito próximas separam-se exponencialmente rápido: (efeito borboleta) Existe um tempo característico dentro do qual previsões são possíveis. Alem desse tempo o sistema torna-se imprevisível. Existe um tempo característico dentro do qual previsões são possíveis. Alem desse tempo o sistema torna-se imprevisível.

11 Perguntas: Porque alguns sistemas determinísticos se comportam de forma simples e outros de forma quase aleatória (caótica)? Porque alguns sistemas determinísticos se comportam de forma simples e outros de forma quase aleatória (caótica)? Qual o mecanismo responsável pelo aparecimento de dinâmica caótica? Qual o mecanismo responsável pelo aparecimento de dinâmica caótica? Quais as implicações do movimento caótico? Quais as implicações do movimento caótico? Quão raros ou freqüentes são sistemas caóticos? Quão raros ou freqüentes são sistemas caóticos?

12 Sistema dinâmicos Sistemas físicos como o oscilador de Duffing ou o sistema Sol-Terra-Lua são complicados do ponto de vista matemático. Vamos considerar aqui apenas sistemas dinâmicos simples, que servirão como modelos para o estudo de sistemas realistas.

13 Exemplo 1: x 0 = 49.0x 0 = 0.030x 0 = 1x 0 = 0 x 1 = 7.0x 1 = x 1 = 1x 1 = 0 x 2 = x 2 = x 2 = 1x 2 = 0 x 3 = x 3 = x 3 = 1x 3 = 0 x 4 = x 4 = x 4 = 1x 4 = 0 x 5 = x 5 = x 5 = 1x 5 = 0 x 6 = x 6 = x 6 = 1x 6 = 0 x 7 = x 7 = x 7 = 1x 7 = 0 01 Ponto fixo instável Ponto fixo estável

14 Exemplo 2: x 0 = 2.0x 0 = 0.8x 0 = 1x 0 = 0 x 1 = 4.0x 1 = 0.64x 1 = 1x 1 = 0 x 2 = 16 x 2 = x 2 = 1x 2 = 0 x 3 = 256x 3 = x 3 = 1x 3 = 0 x 4 = 65536x 4 = x 4 = 1x 4 = 0 x 5 = x 5 = x 5 = 1x 5 = Ponto fixo instável Ponto fixo estável

15 Pontos fixos são como pontos de equilíbrio. No caso do primeiro exemplo podemos encontrá-los da seguinte forma: x f(x)

16 Dinâmica x 0 x 1 x 2 x 3 x f(x)

17 Exemplo 3: o mapa logístico Motivação: Seja X n a população de uma determinada espécie na geração n. A cada geração uma parte da população morre e filhotes nascem. O numero de indivíduos na geração seguinte deve ser aproximadamente Proporcional ao numero de indivíduos na geração anterior: X n+1 = X n onde o parâmetro > 1 mede a taxa de crescimento Se a população fica muito grande pode faltar comida. Então a taxa de crescimento não pode ser constante. Substituímos por X n /X c ) onde X c é o maior numero de indivíduos que pode sobreviver com os recursos existentes.

18 Veja que Então a equação que descreve a população fica: Dividindo os dois lados por X c e definindo uma nova variável x n = X n /X c

19 x 0 = 0.5 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = Pontos fixos: x n+1 = x n Soluções: x=0 e x

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26 Rota para o caos por duplicação de período

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31 Dinâmica Auto-Similar ! Ordem no Caos!

32 Qual o mecanismo que leva ao caos? Para responder essa pergunta vamos fazer uma análise geométrica do problema.

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34 1 – O intervalo [0, 0.5] é levado pelo mapa no intervalo [0,1] 2 – O intervalo [0.5, 1] é levado pelo mapa no intervalo [1,0]

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40 O processo de esticar e dobrar é o mecanismo fundamental da geração de caos. A cada passo do processo pontos inicialmente muito próximos vão se afastando devido ao esticamento. Se a distancia entre dois pontos representa um erro na condição inicial, esse erro acaba ficando do tamanho do espaço todo, e perdemos o poder de previsão: No caso da previsão do tempo, um erro de medida de 0.1 grau, por exemplo, no dia seguinte representa 0.5 grau e cinco dias depois 10 graus, perdendo totalmente o significado.

41 >1 Caos e Fractais 1 Pontos que permanecem no intervalo [0,1] após uma aplicação

42 >1 1 Pontos que permanecem no intervalo [0,1] após duas aplicações

43 Pontos que permanecem no intervalo [0,1] após N aplicações N Poeira de Cantor Conjunto fractal Auto-similar || || || || || || || || || || || || || || || ||

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47 Mapas em Duas Dimensões: o conjunto de Mandelbrot (x n y n ) (x n+1 y n+1 ) x y

48 Mapas Quadráticos Regra do jogo: 1 – ponto inicial é z 0 =0 [ou (x 0,y 0 )= (0,0)] 2 – para cada valor de c [ou de (c 1,c 2 )] verificamos quantos passos são necessários para que |z n | 2 > 4 [ou x n 2 + y n 2 > 4] 3 – de acordo com esse numero de passos associamos uma cor diferente ao ponto representado pela constante c. Por exemplo, vermelho de são necessários três passos, verde para quatro passos etc.

49 O conjunto de Mandelbrot

50 Exemplos de Sistemas com Movimento Caótico Problemas de três corpos Cinturão de asteróides entre Marte e Júpiter Cinturão de asteróides entre Marte e Júpiter Anéis de Saturno Anéis de Saturno

51 Meteorologia: o atrator de Lorenz Ecologia: modelos predador-presa com 3 espécies OUTROS EXEMPLOS: Pêndulo duplo com hastes rígidas ou com molas Osciladores acoplados não-lineares (redes atômicas) Movimento de partículas em redes cristalinas Movimento de elétrons em algumas estruturas mesoscopicas Fluidos turbulentos

52 Conclusões Caos = sensibilidade a condições iniciais (efeito borboleta). Apesar do determinismo das equações de movimento nosso poder de previsão é limitado. Caos = sensibilidade a condições iniciais (efeito borboleta). Apesar do determinismo das equações de movimento nosso poder de previsão é limitado. Esticar e Dobrar é o mecanismo dinâmico que produz caos (dinâmica do padeiro). Esticar e Dobrar é o mecanismo dinâmico que produz caos (dinâmica do padeiro). Onde há caos há fractais. Onde há caos há fractais.


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