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Autovalores e autovetores: Introdução e definições Introdução e definições Polinômio característico Polinômio característico Multiplicidade de autovalores.

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1 Autovalores e autovetores: Introdução e definições Introdução e definições Polinômio característico Polinômio característico Multiplicidade de autovalores Multiplicidade de autovalores Aplicação de autovalores Aplicação de autovalores

2 Introdução Em muitos problemas relativos a sistemas dinâmicos, tem-se uma equação do tipo: Em muitos problemas relativos a sistemas dinâmicos, tem-se uma equação do tipo: onde A é uma matriz nxn, x um vetor nx1 e um número real. Exemplo: Exemplo: 1) 2) Hoje vamos investigar este fenômeno de forma mais geral.

3 Definições: 1. Considere A uma matriz n x n. Um escalar é chamado de autovalor de A, se existe um vetor não nulo x tal que Ax = x. Tal vetor é chamado de autovetor de A. 2. Dados uma matriz A de ordem n e um autovalor de A, chamamos de auto-espaço de A a coleção de autovetores correspondentes a cada acrescida do vetor nulo. Exemplos: 1) Mostre que (1,1) é autovetor de A, onde e obtenha o autovalor correspondente. 2) Mostre que 5 é autovalor de 3) Encontre, geometricamente, os autovetores de

4 Polinômio característico Agora que já vimos algumas aplicações dos determinantes, vamos utilizá-lo para mais uma aplicação. Definições: 1. Seja A uma matriz de ordem n, denominamos polinômio caracterís- tico de A, o polinômio P( ) obtido pelo cálculo de: P( ) = det(A- I). 2. A equação P( ) = 0 é denominada equação característica de A. 3. Os autovalores de uma matriz A são precisamente as soluções da equação característica. Assim, dada a matriz A temos o seguinte algoritmo: 1) Encontrar o polinômio característico de A; 2) encontrar os autovalores de A através de sua equação característica; 3) para cada autovalor encontrar o subespaço anulado por A- I, esse é o auto-subespaço associado ao autovalor i, denominado E, formado pelos autovetores de A; 4) Encontre uma base para cada auto-subespaço.

5 Multiplicidade do autovalor: Existem dois tipos de multiplicidade para um autovalor: 1. A multiplicidade algébrica é dada pela sua multiplicidade como raiz da equação característica. 2. A multiplicidade geométrica é dada pela dimensão de seu auto-subespaço. Exemplo: Encontre as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores da matriz A, dada por:

6 Crescimento populacional da Tartaruga-da-Amazônia  Introdução;  Modelo matemático;  Estudo qualitativo do sistema;  Resultados;  Conclusões. Artigo disponível em:

7 Introdução  Pesquisa e aplicação dos conhecimentos matemáticos às diversas áreas do conhecimento;  O projeto “Quelônios da Amazônia”;  Objetivos deste trabalho;  Metodologia de estudo.

8 Modelo matemático: esquema do ciclo de vida

9 Modelo matemático: equações N 0 ( t+ 1 ) = . N 10 ( t )N 1 ( t+ 1 ) =  0. N 0 ( t ) N 2 ( t+ 1 ) =  1. N 1 ( t ) N 3 ( t+ 1 ) =  2. N 2 ( t ) N 4 ( t+ 1 ) =  3. N 3 ( t )N 5 ( t+ 1 ) =  4. N 4 ( t ) N 6 ( t+ 1 ) =  5. N 5 ( t )N 7 ( t+ 1 ) =  6. N 6 ( t ) N 8 ( t+ 1 ) =  7. N 7 ( t )N 9 ( t+ 1 ) =  8. N 8 ( t ) N 10 ( t+ 1 ) =  9. N 9 ( t ) + (1 -  ). N 10 (t) onde,  é a mortalidade de adultos, ou seja, o nosso sistema de equações é dado por: N i (t+1) =  i-1. N i-1 (t)

10 Modelo matemático: forma matricial N ( t+1) = A N (t) N = [N 0, N 1,..., N 10 ] => N (t) = A t N (0)

11 Estudo qualitativo do sistema: polinômio característico P( ) = det(A - I) P( ) = 10 (- +1-  ) +   0  1...  9 P( ) = (1-  ) 10 + K K =   0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 Seja  = Max

12 Teorema: Cota de Kojima Dado um polinômio p(x) = a n x n +a n-1 x n a 0 toda raiz, real ou complexa, verifica: |  | ≤ Q 1 + Q 2 onde Q 1 e Q 2 são os maiores valores obtidos do conjunto:

13 Estudo qualitativo do sistema: avaliação gráfica

14 Resultados  Assumimos a razão sexual como sendo 1/2;  Segundo Rocha (1991, 92 e 93), cada fêmea desova cerca de 90 ovos a cada estação (  = 90);  Do total de ovos, apenas 81,6% sobrevivem, então do total de ovos apenas 40,8% serão fêmeas que emergirão (  0 = 0,408); (  0 = 0,408);  Há uma estimativa de que 5% dos filhotes que nascem conseguem sobreviver até um ano de vida (  1 = 0,05);  Desses, apenas 1% chega a fase reprodutiva, que acontece após os 9 anos de idade, ou seja,  2  3  4  5  6  7  8  9  0,01  A partir daí, tem-se uma mortalidade de cerca de 95%, (1 -  = 0,05). P( ) = , ,01836   0,

15 Conclusões  Tendo em vista o estudo qualitativo do comportamento do sistema e o valor obtido para a cota de Kojima (   0, < 1) para os parâmetros bióticos considerados, podemos concluir que a espécie Podochnemis expansa será extinta. (   0, < 1) para os parâmetros bióticos considerados, podemos concluir que a espécie Podochnemis expansa será extinta.  No entanto, se pelo menos 20% dos filhotes nascidos completarem o primeiro ano de vida e, desses, outros 20% venham a atingir a idade reprodutiva, obtemos  = 1,05 (  > 1), o que nos leva a concluir que a espécie poderá ser preservada.  Nesse sentido, a adoção de políticas de proteção, dará condições de preservar a espécie, caso contrário, a extinção será inevitável.

16 Trabalho prático: Crescimento Populacional – Uma espécie de besouro alemão, o volmar-wasserman vive no máximo 3 anos. As fêmeas podem ser divididas em 3 faixas etárias: ninfas (de 0 a 1 ano), juvenis (de 1 a 2 anos) e adultas (de 2 a 3 anos). As ninfas não põem ovos; cada fêmea juvenil produz uma média de 4 fêmeas e cada adulta uma média de 3 fêmeas. A taxa de sobrevivência é de 25% para as juvenis e de 50% para as ninfas. Supondo que a população inicial era de 40 ninfas, 40 juvenis e 20 adultas, obtenha: 1. A matriz de Leslie associada a esta população. 2. A previsão da população para os próximos 5 anos. 3. Os autovalores e autovetores de sua matriz de Leslie. 4. O gráfico população x tempo com pelo menos 10 anos, indicando a população de cada classe etária. 5. O gráfico porcentagem da população x tempo, com pelo menos 10 anos, indicando a porcentagem para cada classe etária. 6. A partir desses gráficos, que conclusões você pode tirar ?


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