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Mapa Logístico Tiago A. Almeida Walter Furloni DT-FEEC-UNICAMP.

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1 Mapa Logístico Tiago A. Almeida Walter Furloni DT-FEEC-UNICAMP

2 Introdução 1845 – Verhulst introduziu um modelo populacional discreto para uma espécie mantida em uma área fechada; x n assume valores entre 0 e 1; Um dos sistemas mais analisados e discutidos dentro da área de caos;

3 1º Modelo Malthusiano de População Para µ < 1: redução contínua da população; Para µ > 1: crescimento exponencial da desenfreado; Necessidade: levar em conta limitações de recursos e de espaço; Solução: introdução do termo ( 1-x n ) que conduz a uma diminuição da população para valores altos da mesma, o que contemplaria uma possível luta por recursos escassos, doenças, etc.

4 Diagrama de Bifurcação 0 < µ < 1 : extinção; 1 < µ < 3 : equilíbrio; µ > 3 : ocilação periódica, primeiro com período 2, depois com período 4, 8, 16 e assim até um ponto de acumulação onde começa a ocorrer caos. Dentro da faixa do caos, existem zonas onde o sistema volta a ter comportamento periódico; µ > 4 : o sistema diverge;

5 Pontos de Equilíbrio e Análise de Estabilidade Pontos de Equilíbrio: Análise de Estabilidade: Em ambos os casos, o ponto fixo só será estável se:, o que ocorre para o primeiro ponto na faixa: 0 < µ < 1 e para o segundo ponto na faixa: 1 < µ < 3

6 Diagrama de Teia Poderosa ferramenta para análise de mapas unidimensionais; Possibilita acompanhar a evolução da variável de estado do sistema através das sucessivas iterações; A base do diagrama consiste da: Função F(.), que nada mais é que o campo vetorial discreto da equação (seu papel é determinar as características dinâmicas do mapa) e da função identidade (usada como referência para a realização das iterações, introduzindo a realimentação inerente aos mapas discretos);

7 Diagrama de Teia Eixo x: valor presente no estado; Eixo y: valor após uma iteração; O diagrama nos dá a idéia de como realizar uma vez o processo iterativo. Mas, e depois? Aí entra a função identidade: através dela pode-se transformar um valor de x ( n+1 ) do eixo y em um valor x n no eixo x ; Cerne do diagrama para µ = 3

8 Diagrama de Teia Fixando µ = 3 e x (0) = 0.1 foram traçadas as duas primeiras iterações do mapa

9 Diagrama de Teia Os pontos onde ocorrem cruzamentos entre F(.) e a função identidade são os pontos de equilíbrio do mapa; Neste caso, o cruzamento ocorre apenas na origem, ou seja, x e = 0 é o único ponto de equilíbrio para este valor de µ; Fixando µ = 0.5 e x (0) = 0.1

10 Diagrama de Teia Fixando µ = 2.5 e x (0) = 0.1 Encontramos dois pontos de equilíbrio; O primeiro, x e = 0, é instável. Podemos verificar no diagrama, verificando que uma reta tangente à parábola F(.), na origem, tem coeficiente angular de magnitude maior que a unitária. Isto quer dizer que | J (0)| > 1; O segundo, x e = 0.6, é estável;

11 Diagrama de Teia Fixando µ = 3.3 e x (0) = 0.1 Comportamento periódico como esperado; O estado não mais converge para um ponto fixo, mas tende a oscilar entre dois valores (vértices do quadrado);

12 Diagrama de Teia Fixando µ = 4 e x (0) = 0.1 Comportamento caótico (natureza aperiódica); Figuras como esta explicam o fato de a nomenclatura destes diagramas estar associada à idéia de uma teia de aranha.

13 Mapa Logístico Simulação Virtual da evolução de uma população conforme o passar das gerações


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