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Aula 12 Fábio Nakano. Aquecimento... Demonstre por indução que: S n =1+3+5+...+(2n-1)=n 2.

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1 Aula 12 Fábio Nakano

2 Aquecimento... Demonstre por indução que: S n = (2n-1)=n 2

3 Dê uma fórmula fechada para: F(n)=F(n/2)+3 com F(1)=5 Dê um exemplo de algoritmo que leva a uma recorrência desta forma quando se calcula sua complexidade de tempo.

4 Alguns problemas práticos...

5 Poupança! Capital: c Capital inicial: c 0 Taxa mensal de juros: i

6 Juros! Em um período: c=c0*(i+1) Em n períodos: c=c0*(i+1)^n Escreva o pseudo-codigo que calcula o capital após n períodos iterativamente e recursivamente. Diga como funciona e qual a complexidade de tempo e de espaço contando também o espaço ocupado pela pilha de execução.

7 Parcelamento Quando compramos algo à prestação, a operação financeira equivale a tomar um empréstimo para comprar o bem e pagar a dívida em prestações. Para quem empresta, é como se fosse um depósito em aplicação de renda fixa. É claro que se render menos que a poupança, é melhor nem emprestar.

8 Amortização Dada uma dívida, amortizamos a dívida pelo seguinte processo: D i =D i-1 *(1+i)-P i, para i>0, quando o pagamento é feito a mês vencido

9 Escreva um programa que simula a amortização de empréstimos... Suponha que o valor da parcela seja fixo. Como você usaria o programa para calcular o valor da parcela??... É o jeito mais eficiente??

10 Tabela Price Parcelamento (amortização) com parcelas fixas. D i =D i-1 *(1+i)-P i, quando o pagamento é feito a mês vencido, para i>0 D 0 =(P/i)*(1-(1/(1+i)^n)) para parcela constante e resíduo zero.

11 Demonstre que a fórmula da tabela Price é correta Para casa!!! – a maior parte da demonstração já foi pedida na lista anterior!

12 Regatear para comprar o presente da mamãe Um vendedor lhe oferece um conjunto de sala em 8 parcelas, sem entrada e sem juros com prestações mensais de R$100,00. A remuneração da poupança é de 0.5% a.m. De quanto deve ser o desconto mínimo para que seja vantagem pagar à vista??

13 Quem casa quer casa Viva! Casamento! Vamos comprar uma casa Um corretor lhe oferece um imovel financiado em 240 parcelas mensais (20 anos...), sem entrada e sem juros com prestações mensais de R$1000,00. A remuneração da poupança é de 0.5% a.m. Quanto vc deve oferecer para pagamento à vista?

14 Actuarial analysis via branching processes O problema de cálculo do passivo atuarial de um fundo de pensão pode ser modelado e resolvido recursivamente.

15 Mais sobre isso em... Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas I

16 Recorrência É o nome bonito que damos para séries em que os termos são definidos em função dos termos anteriores. Até agora trabalhamos definindo e resolvendo recorrências. Até agora trabalhamos definindo e resolvendo recorrências.

17 Resolver os exercícios 1, 1,2, 1,2,3 de: os/aulas/recorrencias.html os/aulas/recorrencias.html – Ex 1 depois do exemplo 1, – Ex 1,2 depois do exemplo 2 – Ex. 1,2,3 depois do exemplo 3 Ler e no mínimo pensar na solução dos demais exercícios.

18 Sumário Complexidade assintótica – Pode ser aplicada para tempo de execução, espaço em memória ou qualquer outro fator limitante. – Dá uma idéia do crescimento do fator limitante em função do tamanho do problema. Indução matemática – Base, hipótese, passo Recursão – Está intimamente ligado ao conceito de indução matemática. – É uma maneira indutiva de definir programas – Em geral requer mais memória (implicitamente, pelo requisito de pilha de execução) – É mais poderoso que um programa monolítico Recorrências – Juros compostos – Tabela price – Como resolver uma recorrência: adivinhar e depois provar por indução. Complexidade de algoritmos recursivos – Geralmente recaem em uma recorrência. Teorema mestre – na próxima aula.


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