OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

Apresentação em tema: "OPERAÇÕES COM CONJUNTOS"— Transcrição da apresentação:

1 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

2 Operações com conjuntos
União de conjuntos A região hachurada representa A  B. A = {2, 3, 5, 7} B = {0, 2, 4, 6} A  B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

3 Operações com conjuntos
União de conjuntos Dados dois conjuntos, A e B, a união de A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. A  B = {xx ϵ A ou x ϵ B}

4 Operações com conjuntos
Intersecção de conjuntos A = {xx é um número natural menor que 8} B = {xx é um número natural par menor que 10} A região hachurada representa A  B. A  B = {0, 2, 4, 6}

5 Operações com conjuntos
Intersecção de conjuntos Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e a B. A  B = {xx ϵ A e x ϵ B}

6 EXEMPLOS 1. Determinar A  B, sabendo que: A = {xx é um número natural menor que 8} e B = {xx é um número natural entre 7 e 11}. Resolução Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos A e B. Assim, temos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {8, 9, 10}  Desse modo: A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

7 A região hachurada representa A  B.
EXEMPLOS 1. Determinar A  B, sabendo que: A = {xx é um número natural menor que 8} e B = {xx é um número natural entre 7 e 11}. Resolução Representando a união desses conjuntos em um diagrama, temos: A região hachurada representa A  B.

8 EXEMPLOS 2. Determinar A  B, sabendo que: A = {xx é um número natural maior que 9} e B = {xx é um número natural menor que 9}. Resolução Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos A e B. Assim, temos: A = {10, 11, 12, 13, 14, 15, ...} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Como não há elementos em comum, A  B = .

9 3. Considerar os conjuntos representados abaixo.
EXEMPLOS 3. Considerar os conjuntos representados abaixo. Resolução a) Inicialmente, vamos determinar os elementos pertencentes a cada conjunto. Assim: A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 6, 7} e C = {1, 3, 5, 7} Agora, determinamos (A  B): A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 7} Depois, determinamos a intersecção desse conjunto com C e obtemos: (A  B)  C = {1, 3, 7} Determinar: a) (A  B)  C b) (A  B)  C 

10 A parte laranja representa (A  B)  C.
EXEMPLOS 3. Considerar os conjuntos representados abaixo. a) (A  B)  C Resolução a) Representando em um diagrama de Venn:  A parte laranja representa (A  B)  C.

11 3. Considerar os conjuntos representados abaixo.
EXEMPLOS 3. Considerar os conjuntos representados abaixo. b) (A  B)  C Resolução b) Primeiro, determinamos (A  B): A  B = {1, 2} Depois, determinamos a união desse conjunto com C: (A  B)  C = {1, 2, 3, 5, 7}

12 A parte azul representa (A  B)  C.
EXEMPLOS 3. Considerar os conjuntos representados abaixo. b) (A  B)  C Resolução b) Representando em um diagrama de Venn: A parte azul representa (A  B)  C.

13 A  B = {4 ,5}, escrever duas possibilidades diferentes para A e B.
EXEMPLOS 4. Sabendo que A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A  B = {4 ,5}, escrever duas possibilidades diferentes para A e B. Resolução Como A  B = {4, 5}, devemos considerar que os elementos 4 e 5 pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. Sabemos também que os conjuntos A e B são formados necessariamente pelos elementos que pertencem a A  B. Assim, podemos escrever: A = {1, 4, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} ou A = {3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 4, 5} Há outras possibilidades além dessas.

14 Operações com conjuntos
Diferença de conjuntos A = {xx é um número natural e está entre 20 e 30} B = {xx é um número primo menor que 30} A região hachurada representa A  B. A – B = {21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}

15 Operações com conjuntos
Diferença de conjuntos Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. A – B = {xx  A e x  B}

16 Complementar de um conjunto
Dados os conjuntos A e B, o complementar do conjunto B em relação a A é a parte laranja da figura. = A – B, com B  A

17 EXEMPLOS 5. Determinar A – B sabendo que: A = {xx é um número natural menor que 10} e B = {xx é um número natural e está entre 3 e 7}. Resolução Enumerando os elementos de A e B, temos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {4, 5, 6} Como a diferença de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B, temos:  A – B = {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9} 

18 EXEMPLOS 6. Descrever a parte azul do diagrama por meio de operações de conjuntos. Resolução Observando a figura, vemos que nenhuma parte do conjunto B está colorida, assim como nenhuma parte do conjunto C. Devemos observar ainda que somente uma parte do conjunto A está colorida de azul. Como essa parte representa os elementos de A que não pertencem a B nem a C, podemos escrever a seguinte operação para representar a parte azul da figura: A – B – C ou A – C – B

19 EXEMPLOS 7. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10} e U = {xx é um número natural menor ou igual a 15}. Determinar: a) Ac b) c) , com E =   Resolução a) Como o conjunto U é um conjunto finito, para facilitar a resolução podemos enumerar seus elementos: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} Determinando U – A, encontramos: Ac = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14}

20 7. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15},
EXEMPLOS 7. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10} e U = {xx é um número natural menor ou igual a 15}. Determinar: b) c) , com E =   Resolução b) Nesse caso, devemos determinar A – B. Assim: = {5, 15} c) Inicialmente, devemos encontrar os elementos do conjunto E. Como E = , temos: E = {5, 15}. Agora, determinamos U – E e encontramos: = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.

21 8. Dados os conjuntos U = {3, 6, 9, 12, 15, 18},
EXEMPLOS 8. Dados os conjuntos U = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, AC = {3, 6, 9} e BC = {15, 18}, determinar: a) o conjunto A. b) o conjunto B. Resolução Como AC = {3, 6, 9}, os elementos de U que não pertencem a AC pertencem ao conjunto A; portanto: A = {12, 15, 18} b) Como BC = {15, 18}, os elementos de U que não pertencem a BC pertencem ao conjunto B; portanto: B = {3, 6, 9, 12}

22 PROBLEMAS COM CONJUNTOS
EXEMPLOS 9. (Esportes) Em uma pesquisa com uma turma de Ensino Médio, verificou-se que 15 alunos praticavam basquete como atividade esportiva, 25 alunos praticavam futebol e 7 alunos praticavam duas atividades: basquete e futebol. Determinar quantos alunos participaram da pesquisa, sabendo que todos optaram por pelo menos um dos dois esportes.

23 Resolução 15 alunos praticavam basquete, 25 alunos praticavam futebol
e 7 alunos praticavam as duas atividades. Determinar quantos alunos foram pesquisados. Somente B n(A  B) = = 33

24 EXEMPLOS 10. (Consumidor) Após uma pesquisa com os clientes de um supermercado, verificou-se que 150 pessoas compraram o refrigerante da marca C e 75 compraram o da marca P. Sabendo que 200 pessoas participaram da pesquisa, determinar quantas compraram refrigerantes das duas marcas.

25 Resolução 10. De 200 pesquisados, 150 compraram o refrigerante da marca C e 75 compraram o da marca P. Determinar quantas compraram refrigerantes das duas marcas. Marca C: 150 – x Marca P: 75 – x Marca C e marca P: x 123 N(C  P) = (150 – x) + x + (75 – x) 200 = (150 – x) + x + (75 – x) x = – 200  x = 25 Assim, concluímos que 25 pessoas compraram refrigerantes das duas marcas.

26 EXEMPLOS 11.(Carnaval) Uma empresa faz colares para o carnaval. As matérias-primas utilizadas são plásticos rosa e verde. Em um ano, foram produzidos colares com o plástico rosa, colares com plástico verde e rosa e uma certa quantidade de colares feitos somente com o plástico verde. Quantos colares foram fabricados apenas com o plástico rosa?

27 Resolução colares com o plástico rosa, colares com plástico verde e rosa. Quantos colares foram fabricados apenas com o plástico rosa? R  conjunto dos colares com o plástico rosa V  conjunto dos colares com o plástico verde O número de colares feitos apenas com o plástico rosa é: 1.750 – = 550 Então, 550 colares foram feitos apenas com o plástico rosa.

28 EXEMPLOS 12. (Cultura) Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de identificar o tipo de leitura preferida de 145 alunos de Ensino Médio. Nessa pesquisa, história em quadrinhos teve 60 votos, romance, 85 votos, e ficção científica, 55. Sabe-se ainda que 20 alunos votaram em história em quadrinhos e em romance, 30 votaram em romance e em ficção, 10 votaram em história em quadrinhos e em ficção e 5 alunos votaram nos três tipos. Determinar quantos alunos votaram somente em romance. 

29 Resolução 12. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos, 60 votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história em quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30; história em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5. Determinar quantos votaram apenas em romance. 35 40 20 Portanto, 40 alunos votaram somente em romance.