II Encontro Nacional de produtores e usuários de informações sociais, econômicas e territoriais Reinaldo Castro Souza, IEPUC, PUC-Rio Co-autores: Sheila.

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1 II Encontro Nacional de produtores e usuários de informações sociais, econômicas e territoriais Reinaldo Castro Souza, IEPUC, PUC-Rio Co-autores: Sheila C Zani & Eduardo A B da Silva Rio de Janeiro, 21 de Agosto de 2006

2 OUTLINE 1) PRELIMINARES 2) ALGORITIMO BASE DO X-11 3) FILTRO DE HENDERSON 4) FILTRO PROPOSTO 5) COMPARAÇÃO FHxFP & CONCLUSÕES

3 Aditiva: Principais relações entre a série original e seus componentes Multiplicativa: Componentes independentes Componentes dependentes

4 Família X11 – USA/Canadá TRAMO-SEATS – Banco da Espanha

5 X11 Criado nos anos 60/EUA X11-ARIMA Anos 80/Canadá X12-ARIMA Segunda metade dos anos 90/EUA Três programas integram a família X11

6 (Ferramenta básica do modelo) Esta ferramenta não implica a utilização a priori de conceitos ou de modelos sofisticados! para estimar a TENDÊNCIA e a SAZONALIDADE. Os três programas que integram a família X11 utilizam interativamente Médias Móveis

7 X12-ARIMA Baseado no mesmo princípio, mas possui um módulo chamado de Reg- ARIMA.

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9 Estimação da tendência-ciclo com uma média móvel. Estimação da componente sazonal-irregular. Estimação da série corrigida de variações sazonais. Estimação da componente sazonal com uma média móvel (3X3) sobre cada mês.

10 Estimação da tendência-ciclo com uma média móvel de Henderson de 13 termos. Estimação da componente sazonal-irregular. Estimação da componente sazonal com uma média móvel 3X5 sobre cada mês. Estimação da série corrigida de variações sazonais.

11 Uma das dificuldades deste algoritmo é selecionar as médias móveis utilizadas nas etapas 1 e 3. Basicamente, o algoritmo X11, corresponde a um duplo uso consecutivo do algoritmo apresentado trocando cada vez as médias móveis utilizadas. O método X11 executa este algoritmo simples, utilizando médias móveis cuidadosamente escolhidas e refinando, pouco a pouco, as estimação das componentes através de iterações deste algoritmo.

12 O valor no instante t da série bruta é substituído por uma média ponderada dos p valores passados da série, o valor atual e os f valores futuros da série. A ordem desta média móvel é p+f+1. Quando p=f, se utilizam tantos valores passados como futuros e diz-se que a média móvel é centrada. Além disto, quando para todo k, diz-se que a média móvel é simétrica. o Chama-se de média móvel de coeficientes operador designado por:

13 O problema consiste em: Determinar os pesos destas médias móveis. Resolver o problema da perda de pontos no início e no fim da série ocasionada pelo uso da média móvel. Se diz então que as médias móveis são filtros lineares, filtros que permitem eliminar ou atenuar as oscilações associadas a algumas freqüências.

14 Para que um média móvel conserve um polinômio de grau d é necessário que seus coeficientes satisfaçam a: Neste contexto, é óbvio que as condições de ordem ímpar são sempre satisfeitas se os filtros forem simétricos. Em conseqüência, se uma média móvel conservar uma tendência polinomial de grau 2p, ela conservará, também, uma tendência polinomial de grau 2p+1.

15 Empregada na série já corrigida das variações sazonais. 2ª estimação da tendência Médias Móveis de Henderson A idéia de Henderson foi a de construir filtros simétricos que conservassem a tendência cúbica. Para isto, basta que o filtro conserve a tendência quadrática. Há vários pesos que satisfazem isto.

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17 Definindo-se o operador deslocamento E e o operador diferença : Pode-se escrever: sendo: um polinômio de terceiro grau; ; e A idéia de Henderson... = (E 1), Pode-se escrever: E

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19 Minimizam a soma dos quadrados da terceira diferença dos próprios coeficientes Os coeficientes que minimizarão a variância da terceira diferença de

20 Há dois modos equivalentes de caracterizar os filtros de Henderson: i) simétricos, ii) preservando tendências cúbicas e iii) com mínima variância da diferença terceira da série depois de aplicada a média móvel; ou, o que é equivalente: i) e ii) como descrito acima e, iii') com mínima soma dos quadrados da terceira diferença dos coeficientes da média móvel. A idéia de Henderson...

21 Logo, precisa-se: minimizar sujeito às restrições: e, com Esses dois critérios são equivalentes.

22 Os coeficientes que minimizarão a variância da terceira diferença de Z t são aqueles que minimizam a soma dos quadrados da terceira diferença dos próprios coeficientes. Sendo:

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25 A escolha do tamanho dessa média móvel é baseada no grau de irregularidade da série a ser amortecida. No caso da série mensal, usa-se uma média móvel de Henderson de 9, 13 ou 23 termos. A escolha automática depende da razão. Se Escolhe-se uma média móvel de Henderson de 9 termos; se, escolhe-se uma média móvel de Henderson de 13 termos; Nos demais casos; escolhe-se uma média móvel de Henderson de 23 termos.

26 Médias móveis assimétricas: É o calcanhar de Aquiles do método. A idéia de Musgrave... Problema parcialmente resolvido quando estendemos a série (modelos ARIMA).

27 A idéia de Musgrave era a de minimizar as revisões destas estimativas. Hipóteses: i) A série a amortecer pode ser modelada sob a forma linear Sendo: constantes, não correlacionados, com média nula e variância: ii) Têm-se uma série de pesos {w1, w2,... wN}, de soma igual a 1. Busca-se uma série de pesos {u1, u2,..., uM }, com M<N, também com soma igual a 1. iii) A nova média móvel deve minimizar o erro quadrático das revisões das estimativas.

28 Admitindo-se estas hipóteses, pode-se demonstrar que os pesos podem ser calculados explicitamente em função da relação: D é desconhecido.

29 A ordem da média móvel de Henderson utilizada no X11 é função da relação: Sendo o numerador a média das variações mensais da parte irregular da série e, o denominador tem o mesmo significado em relação a tendência. Supondo normalidade dos erros, demonstra- se que:

30 i) Minimizaréde minimizar ii) Serve para no máximo t=3 iii) Os filtros assimétricos associados aos filtros simétricos de Henderson foram construídos em um contexto completamente diferente da concepção dos filtros de Henderson. iv) Antes de utilizar o filtro de Henderson a série passa necessariamente por duas filtragens: M 2x12 e M 3x3, por exemplo.

31 Um filtro de comprimento N,, que conserve uma tendência de ordem deve ser tal que: Definindo a transformada Z de f(n) como: sendo: (1)

32 As condições da equação (1) são equivalentes a: Uma função que satisfaz as equações acima é:

33 sujeito a ou dado que

34 Definindo-se :

35 Particularizando para o caso em que o filtro deve preservar a tendência cúbica, isto é,, temos que:

36 T=3; N=13

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43 200 observações Série com tendência cúbica Somada a uma componente aleatória gerada de uma normal com média 0 e desvio padrão 1. Essa série tem as condições ideais para a utilização dos filtros, pois nenhuma componente sazonal está embutida na sua construção.

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45 Aplicaram-se os dois filtros, o proposto e o de Henderson, de tamanho 13 Espera-se que, quando aplicados os filtros, as séries resultantes sejam o mais próximo possível da série limpa do ruído aleatório. Para testar o poder dos filtros, subtraíram-se da série simulada com ruído as séries filtradas pelos dois processos. Essas séries deveriam estar muito próximas do ruído gerado (com distribuição Normal (0,1)).

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48 (i)O ajuste sazonal nos países são realizados, em sua maioria, pelos produtos da família X12 e TRAMO-SEATS (ii)Método X12 está também disponível em alguns softwares comerciais de previsão, por exemplo, no FPW-XE (um dos mais difundidos e usados no mundo) (iii)O ajuste sazonal na família X12 para a tendência e a sazonalidade é realizada por usos exaustivos de MM, atuando como suavizadores

49 (iv) Filtro de Média Móvel de Henderson usado na extração final da tendência tem seus pesos obtidos pela minimização de uma função que não é a variância!!! (v) Filtro Proposto, cujos coeficientes são obtidos pela minimização da variância, é mais geral, pois não requer simetria e preservam a tendência de qualquer ordem. Resultados ligeiramente superiores ao FH!!

50 OBRIGADO reinaldo@ele.puc-rio.br