ME623A Planejamento e Pesquisa

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1 ME623A Planejamento e Pesquisa

2 4. Experimentos em Blocos
Blocos Completos e Aleatorizados Definição Análise Estatística Decomposição da Soma de Quadrados Tabela Anova Estimação dos Parâmetros Quadrados Latinos Quadrados Greco-Latinos Blocos Balanceados Incompletos Delineamento Cruzados

3 Blocos Completos Aleatorizados
Fator A Bloco 1 Bloco 2 Bloco b 1 y11 y12 y1b 2 y21 y22 . . . y2b . a ya1 ya2 yab Completo indica que cada bloco contém todos os tratamentos

4 Exemplo da Ponteira As observações para cada ponteira e placa de metal estão na Tabela abaixo Vamos calcular as SS e testar se existe diferença entre as ponteiras na medição da dureza em placas de metal Ponteira Placa de Metal (Bloco) 1 2 3 4 9.3 9.4 9.6 10.0 9.8 9.9 9.2 9.5 9.7 10.2

5 Análise Estatística Exemplo das Ponteiras
Queremos testar se: Calcular SST, SSA, SSBlocos e SSE Encontrar a tabela ANOVA Figura: Boxplot da dureza das placas de metais para cada ponteira

6 Tabela ANOVA Blocos Completos Aleatorizados Exemplo Ponteiras
No R > dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) *** factor(Placa) e-05 *** Residuals --- Signif. codes: 0 ‘***’ ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

7 Análise Estatística Exemplo Ponteiras
Gráfico da Distribuição F(3,9), α=0.05 Conclusão: Como F0 = > 3.86 (ou p-valor < 0.01), rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da dureza das placas de metal

8 Tabela ANOVA Experimento com Um Fator Exemplo Ponteiras
Não Rejeita H0 No R, desconsiderando o efeito dos blocos > dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) Residuals

9 Análise Estatística – Ignorando Efeito dos Blocos Exemplo Ponteiras
Gráfico da Distribuição F(3,12), p-valor=0.22 Conclusão: Como F0 = 1.70 < 3.49 (ou p-valor > 0.05), não temos evidência para rejeitar H0 e afirmar que as médias dos tratamentos diferem. Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos conclusões erradas do experimento

10 Análise de Diagnóstico
Já vimos anteriormente a importância de checar se as suposições do modelo são satisfeitas Isso é feito através da análise dos resíduos No caso de experimentos com blocos, devemos verificar se existe algum problema com: Normalidade Variância dos erros não constante (em relação aos tratamentos ou blocos) Interação entre tratamento e bloco

11 Análise de Diagnóstico
Interação: Ver gráfico de resíduos vs valores estimados Se houver curva: Valores baixos(negativos) dos resíduos com valores baixos e altos ajustados; baixos para valores medianos ajustados. Isso pode indicar intereção

12 Análise de Resíduos Exemplo das Ponteiras
Alguma indicação de não-normalidade? E outliers? Gráfico resíduos x ajustados: se houver uma tendência curvilínea, pode ser indício de interação entre tratamentos e blocos

13 Análise de Resíduos Exemplo das Ponteiras
É razoável assumir igualdade de variância tanto por tratamento quanto por bloco?

14 Estimação dos Parâmetros
No modelo com blocos completos aleatorizados os parâmetros são estimador por: O valor ajustado é então calculado como:

15 Estimação dos Parâmetros pelo Método dos Mínimos Quadrados
Voltemos aos experimentos com um único fator, em que temos o modelo Exercício: Os estimadores de mínimo quadrados (EMQ) de μ e τi são valores que minimizam a soma de quadrados dos erros em que é o vetor de parâmetros

16 Estimadores de Mínimos Quadrados
Os estimadores são então soluções das equações normais: que simplificando resultam em

17 Estimadores de Mínimos Quadrados
Note que a 1ª equação é a soma das demais, isto é, as equações normais não são linearmente independentes Com isso, não temos uma solução única para os parâmetros do modelo Mas lembram-se da restrição linear do modelo? Então é razoável aplicar o contraste E assim obtemos a seguinte solução

18 Estimadores de Mínimos Quadrados
Exercício: De forma semelhante, mostre que no caso do experimentos com blocos completos, cujo modelo é os estimadores de mínimos quadrados são dados por

19 Alguns Aspectos sobre os Blocos
O modelo linear que usamos para o desenho de blocos aleatorizado é completamente additivo Ou seja, os blocos e os tratamentos tem um efeito additivo na v.a. resposta

20 Alguns Aspectos sobre os Blocos
Em algums situações o modelo aditivo não é adequado. Pode haver interações entre os blocos e os tratamentos: lotes e fórmulas químicas

21 Alguns Aspectos sobre os Blocos
Pode ocorrer quando a resposta foi medida na escala errada Podemos usar modelos fatoriais

22 Alguns Aspectos sobre os Blocos
Como escolher o tamanho amostral? Como escolher quantos blocos?

23 Alguns Aspectos sobre os Blocos
Como escolher o tamanho amostral? Como escolher quantos blocos? Note que quanto mais blocos aumenta o número de réplicas e o número de graus de liberdade do erro, fazendo o desenho mais sensitivo.

24 Alguns Aspectos sobre os Blocos
Podemos escolher através das curvas características (operacionais) usando

25 Alguns Aspectos sobre os Blocos
Eficiência Vamos estimar a eficiência do desenho com blocos contra sem blocos Uma maneira é usar onde e são as variâncias dos erros do modelo básico e com blocos, respect.

26 Alguns Aspectos sobre os Blocos
Valores faltantes! As vezes uma observação em um dos blocos está faltando Quais poderiam ser os motivos?

27 Alguns Aspectos sobre os Blocos
Valores faltantes! Introduz um problema: não temos mais tratamentos ortogonais aos blocos Isto é, nem todo tratamento ocorre em todo bloco. Aproximação ou análise exata(no futuro)

28 Alguns Aspectos sobre os Blocos
Valores faltantes! Suponha que a resposta do tratamento i bloco j está faltando. Denote ela por x Seja o total com a obs. faltante, o total do trat. com a obs faltante o total do bloco com a obs faltante

29 Alguns Aspectos sobre os Blocos
Valores faltantes! Queremos estimar x tal que tenha uma contribuição mínima a soma dos quadrados dos erros. Já que

30 Alguns Aspectos sobre os Blocos
Valores faltantes! Equivalente à Ou Derivar em x!

31 Alguns Aspectos sobre os Blocos
Valores faltantes! Derivando em x temos

32 Exercícios Exercícios do Montgomery, 6ª edição Capítulo 3: 3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-16(a-f), 3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32 Capítulo 4: 4-1, 4-5(b), 4-17, 4-18