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ME623A Planejamento e Pesquisa. 4. Experimentos em Blocos 1.Blocos Completos e Aleatorizados a)Definição b)Análise Estatística c)Decomposição da Soma.

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1 ME623A Planejamento e Pesquisa

2 4. Experimentos em Blocos 1.Blocos Completos e Aleatorizados a)Definição b)Análise Estatística c)Decomposição da Soma de Quadrados d)Tabela Anova e)Estimação dos Parâmetros 2.Quadrados Latinos 3.Quadrados Greco-Latinos 4.Blocos Balanceados Incompletos 5.Delineamento Cruzados 2

3 Blocos Completos Aleatorizados Fator ABloco 1Bloco 2Bloco b 1y 11 y 12 y1by1b 2y 21 y 22...y2by2b aya1ya1 ya2ya2 y ab Completo indica que cada bloco contém todos os tratamentos 3

4 Exemplo da Ponteira As observações para cada ponteira e placa de metal estão na Tabela abaixo Vamos calcular as SS e testar se existe diferença entre as ponteiras na medição da dureza em placas de metal 4 Ponteir a Placa de Metal (Bloco)

5 Análise Estatística Exemplo das Ponteiras 5 Figura: Boxplot da dureza das placas de metais para cada ponteira Queremos testar se: 1. Calcular SS T, SS A, SS Blocos e SS E 2. Encontrar a tabela ANOVA

6 Tabela ANOVA Blocos Completos Aleatorizados Exemplo Ponteiras 6 No R > dados <- read.table(DadosPonteiras.txt, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) *** factor(Placa) e-05 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

7 7 Análise Estatística Exemplo Ponteiras Gráfico da Distribuição F (3,9), α =0.05 Conclusão: Como F 0 = > 3.86 (ou p-valor < 0.01 ), rejeitamos H 0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da dureza das placas de metal

8 Tabela ANOVA Experimento com Um Fator Exemplo Ponteiras 8 No R, desconsiderando o efeito dos blocos > dados <- read.table(DadosPonteiras.txt, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) Residuals Não Rejeita H 0 Não Rejeita H 0

9 9 Análise Estatística – Ignorando Efeito dos Blocos Exemplo Ponteiras Gráfico da Distribuição F (3,12), p-valor=0.22 Conclusão: Como F 0 = ), não temos evidência para rejeitar H 0 e afirmar que as médias dos tratamentos diferem. Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos conclusões erradas do experimento

10 Análise de Diagnóstico Já vimos anteriormente a importância de checar se as suposições do modelo são satisfeitas Isso é feito através da análise dos resíduos No caso de experimentos com blocos, devemos verificar se existe algum problema com: 1.Normalidade 2.Variância dos erros não constante (em relação aos tratamentos ou blocos) 3.Interação entre tratamento e bloco 10

11 Análise de Diagnóstico Interação: Ver gráfico de resíduos vs valores estimados Se houver curva: Valores baixos(negativos) dos resíduos com valores baixos e altos ajustados; baixos para valores medianos ajustados. Isso pode indicar intereção 11

12 Análise de Resíduos Exemplo das Ponteiras 12 Alguma indicação de não-normalidade? E outliers? Gráfico resíduos x ajustados: se houver uma tendência curvilínea, pode ser indício de interação entre tratamentos e blocos

13 Análise de Resíduos Exemplo das Ponteiras 13 É razoável assumir igualdade de variância tanto por tratamento quanto por bloco?

14 Estimação dos Parâmetros No modelo com blocos completos aleatorizados os parâmetros são estimador por: O valor ajustado é então calculado como: 14

15 Estimação dos Parâmetros pelo Método dos Mínimos Quadrados Voltemos aos experimentos com um único fator, em que temos o modelo Exercício: Os estimadores de mínimo quadrados (EMQ) de μ e τ i são valores que minimizam a soma de quadrados dos erros em que é o vetor de parâmetros 15

16 Os estimadores são então soluções das equações normais: que simplificando resultam em 16 Estimadores de Mínimos Quadrados

17 Note que a 1ª equação é a soma das demais, isto é, as equações normais não são linearmente independentes Com isso, não temos uma solução única para os parâmetros do modelo Mas lembram-se da restrição linear do modelo? Então é razoável aplicar o contraste E assim obtemos a seguinte solução 17 Estimadores de Mínimos Quadrados

18 Exercício: De forma semelhante, mostre que no caso do experimentos com blocos completos, cujo modelo é os estimadores de mínimos quadrados são dados por 18 Estimadores de Mínimos Quadrados

19 Alguns Aspectos sobre os Blocos O modelo linear que usamos para o desenho de blocos aleatorizado é completamente additivo Ou seja, os blocos e os tratamentos tem um efeito additivo na v.a. resposta 19

20 Alguns Aspectos sobre os Blocos Em algums situações o modelo aditivo não é adequado. Pode haver interações entre os blocos e os tratamentos: lotes e fórmulas químicas 20

21 Alguns Aspectos sobre os Blocos Pode ocorrer quando a resposta foi medida na escala errada Podemos usar modelos fatoriais 21

22 Alguns Aspectos sobre os Blocos Como escolher o tamanho amostral? Como escolher quantos blocos? 22

23 Alguns Aspectos sobre os Blocos Como escolher o tamanho amostral? Como escolher quantos blocos? Note que quanto mais blocos aumenta o número de réplicas e o número de graus de liberdade do erro, fazendo o desenho mais sensitivo. 23

24 Alguns Aspectos sobre os Blocos Podemos escolher através das curvas características (operacionais) usando 24

25 Alguns Aspectos sobre os Blocos Eficiência Vamos estimar a eficiência do desenho com blocos contra sem blocos Uma maneira é usar onde e são as variâncias dos erros do modelo básico e com blocos, respect. 25

26 Alguns Aspectos sobre os Blocos Valores faltantes! As vezes uma observação em um dos blocos está faltando Quais poderiam ser os motivos? 26

27 Alguns Aspectos sobre os Blocos Valores faltantes! Introduz um problema: não temos mais tratamentos ortogonais aos blocos Isto é, nem todo tratamento ocorre em todo bloco. Aproximação ou análise exata(no futuro) 27

28 Alguns Aspectos sobre os Blocos Valores faltantes! Suponha que a resposta do tratamento i bloco j está faltando. Denote ela por x Seja o total com a obs. faltante, o total do trat. com a obs faltante o total do bloco com a obs faltante 28

29 Alguns Aspectos sobre os Blocos Valores faltantes! Queremos estimar x tal que tenha uma contribuição mínima a soma dos quadrados dos erros. Já que 29

30 Alguns Aspectos sobre os Blocos Valores faltantes! Equivalente à Ou Derivar em x! 30

31 Alguns Aspectos sobre os Blocos Valores faltantes! Derivando em x temos 31

32 Exercícios Exercícios do Montgomery, 6ª edição Capítulo 3: 3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-16(a-f), 3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32 Capítulo 4: 4-1, 4-5(b), 4-17,


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