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Fábio BERTATO CLE - Unicamp. Fundamentos da Geometria Grundlagen der Geometrie (1899) 21 axiomas Fundamentos da Matemática Abordagem axiomática Sem apelo.

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1 Fábio BERTATO CLE - Unicamp

2 Fundamentos da Geometria Grundlagen der Geometrie (1899) 21 axiomas Fundamentos da Matemática Abordagem axiomática Sem apelo à intuição Independência e Consistência dos axiomas Mesas, cadeiras e canecas de cerveja (1891 – H. Weyl) Todo conhecimento humano começa com intuições, então passa a conceitos e termina com ideias (Kant, Kritik der reinen Vernunft, Elementariehre, Part 2, Sec. 2.)

3 Consistência dos axiomas da Geometria Modelo no plano real Consistência da Análise

4 Necessidade de axiomatização e prova da consistência Hilbert fornece uma axiomatização em Über den Zahlbegriff (1900)

5 Segundo Problema de Hilbert: A não-contradição dos axiomas da aritmética [dos números reais] A aritmética contentual, isto é, a teoria axiomática dos números inteiros não negativos (ou números naturais) é evidentemente uma teoria consistente, simplesmente por ser a teoria de um domínio dado de objetos, os números naturais. A consistência dessa aritmética está, assim, na dependência de uma intuição capaz de nos fornecer os objetos da teoria dos números. Ou, dito de outra forma, a consistência da aritmética contentual é garantida por uma intuição que, pressupõe-se, tem a capacidade de nos oferecer uma teoria verdadeira. Sendo verdadeira, a aritmética contentual é, a fortiori, consistente. (DA SILVA, 2003)

6 A aritmética formal, entretanto, não é uma teoria de nenhum domínio pré-dado de objetos; logo, não é em nenhum sentido próprio nem verdadeira, nem falsa. Cabe-lhe apenas descrever uma estrutura formal, cuja realidade está sub judice. Porisso o problema de sua consistência é tão importante. Trata-se de demonstrar que a estrutura formal que a teoria descreve é uma estrutura possível, ou seja, é a estrutura de um domínio possível de objetos.

7 E isto esgota a existência que cabe aos conceitos matemáticos, pois, como disseram Hilbert, Poincaré e Cantor, entre outros, existir em matemática tem apenas um significado, estar livre de contradições.

8 Propostas: Modelo para a teoria de sequências- w : Números naturais intuição. Não gera contradições: Indução sobre o comprimento das demonstrações. [...] Sempre que a aritmética estiver contida numa meta-teoria, qualquer demonstração da consistência da aritmética no contexto dessa meta-teoria será completamente inútil7. Seria como pedirmos a garantia de alguém sobre sua própria sanidade mental.

9 Assim, uma solução do problema posto por Hilbert só pode ser dada no contexto de uma meta-teoria estritamente mais fraca que a própria aritmética formal. Hilbert chamava um tal contexto de matemática finitária.

10 A demonstração de um enunciado numérico existencial ilimitado, por outro lado, requer uma busca infinitária. Certamente Hilbert admitiria na matemática finitária todos os axiomas de Dedekind- Peano exceto o axioma de indução completa na sua forma mais geral. Entretanto, uma versão mais fraca desse axioma deveria ser permitida. Ademais, as definições recursivas que introduzem as operações aritméticas elementares seriam, acredita-se, também admissíveis. Em suma, parece seguro admitir que a teoria matemática formal que mais se aproxima da matemática finitária hilbertiana é a chamada aritmética primitivamente recursiva.

11 Aritmética primitivamente recursiva APR (SKOLEM, 1923) x a e x a; variáveis de todas as fórmulas da linguagem ocorrem livres; definições por recursão primitiva para a introdução de novas funções e predicados; Princípio (restrito) de indução nas demonstrações;

12 Segundo problema de Hilbert: ? APR Con(AP)?

13 Hilbert Tese formalista forte (Jogo de Xadrez) 1 - Toda a Matemática Tradicional (Aritmética, Análise, Teoria de Conjuntos, etc.) poderia ser formalizada por meio de axiomas bem escolhidos. 2 - A demonstração da consistência das versões formalizadas poderia ser dada em uma aritmética finitária (diretamente verificável).

14 Weierstrass [...], a despeito da fundamentação que Weierstrass obteve para o cálculo infinitesimal, as disputas a respeito da análise ainda não tiveram fim. Infinito = significado não clarificado Séries numéricas infinitas

15 Intenção da Teoria de Hilbert: Ela tem por objetivo estabelecer de uma vez por todas a confiabilidade dos métodos matemáticos [...] Natureza do infinito necessário para a própria dignidade do intelecto humano

16 Existência para Hilbert: Prova de consistência; Grau de sucesso (suprema corte) uso de elementos ideais. Não é possível justificar uma axiomática envolvendo o infinito por modelo físico. Não existe uma coleção infinita na natureza.

17 Estatuto epistemológico da Matemática: Paradoxos situação intolerável Pense nisso: as definições e métodos dedutivos que todos aprendem, ensinam e usam em matemática, o paradigma da verdade e certeza, levam a absurdos! Se o raciocínio matemático é defeituoso, onde encontraremos a verdade e certeza?

18 Proposta de Hilbert: 1. Definições frutíferas e métodos dedutivos que tiveram uma esperança de salvamento serão cuidadosamente investigados, nutridos e fortalecidos. 2. É necessário estabelecer para todas as deduções matemáticas o mesmo grau de certeza das deduções da teoria elementar dos números, onde ninguém duvida e onde contradições e paradoxos só ocorrem devido a nosso descuido.

19 Formalização da Matemática. É, portanto, necessário formalizar as próprias operações lógicas e demonstrações matemáticas. Teoria da Prova. Base para os fundamentos da Matemática; Método geral para o tratamento de questões matemáticas fundamentais. Tese de que todo problema matemático é solúvel.

20 In der Mathematik gibt es kein Ignorabimus! Minha teoria da prova não é capaz de suprir um método geral para resolver qualquer problema matemático – simplesmente tal método não existe; contudo a prova de que a hipótese da solubilidade de todo problema matemático não causa contradição cai no escopo da nossa teoria. * * *


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