A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

E Ellís Carvalho Luiz Afonso. Nu(T) = {v V / T(v) = 0} Im(T) = {w W / w = T(v), para algum v V} Teorema: dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "E Ellís Carvalho Luiz Afonso. Nu(T) = {v V / T(v) = 0} Im(T) = {w W / w = T(v), para algum v V} Teorema: dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V."— Transcrição da apresentação:

1 E Ellís Carvalho Luiz Afonso

2 Nu(T) = {v V / T(v) = 0} Im(T) = {w W / w = T(v), para algum v V} Teorema: dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V.

3 T(v) = T(u) -> v = u Uma transformação é injetiva se e somente se Nu(T) = {0}. T: ³² T(x, y, z) = (x + y, x + z)

4 w W -> v V / T(v) = w Uma transformação é sobrejetiva se e somente se Im(T) = W ou dim Im(T) = dim W, onde W é o contra-domínio da transformação.

5 Uma transformação é bijetiva se ela for injetiva e sobrejetiva. A isso, damos o nome de isomorfismo. T é bijetiva -> dim V = dim W

6 A partir disso, verifique injetividade e sobrejetividade para T, S, SoT e ToS.

7 Para uma transformação linear possuir inversa, ela deve ser bijetiva. Logo, dim V = dim W.

8 A matriz de uma transformação linear é uma forma de representar a transformação. Seu uso se deve à facilidade que ela oferece, uma vez que a transformação T(v) = u pode ser feita pela multiplicação de matrizes: [T] β α x [v] β = [u] α. Onde [v] β é a representação do vetor v na base β, [u] α o vetor u na base α e [T] β α a matriz da transformação T de β para α.

9 α = { u 1, u 2,..., u m } β = { v 1, v 2,... v n } u = x 1.u 1 + x 2.u x m.u m v = y 1.v 1 + y 2.v y n.v n

10 Como achar [T] β α ? Observe que quando v = v 1 E para esse v 1, temos

11 Como pode ter surgido T(v1) ? x 1 = 1.a a a 1n x 2 = 1.a a a 2n...

12 Dessa forma temos: a 11 = x 1 a 12 = x 2... a 1m = x m Analogamente podemos fazer isso com os vetores v 2, v 3... e v n

13 E chegamos a seguinte matriz da transformação:

14 Uma forma rápida de encontrar uma T qualquer nas bases canônicas: α = { (1,0,...,0), (0,1,...,0),..., (0,0,...,1) } ou {1,t,..,t m } ou etc... Obs.: dim(α) pode ser diferente de dim(β) Atenção: Nem todos os espaços podem ser escritos na forma canônica. Exemplo: Se o domínio de T fosse o plano x+y+z=0 do R3, esse método não poderia ser aplicado.

15 Lembremos de 2 propriedades das transformações lineares: λ. T(v) = T(λ.v) T(v) + T(u) = T(v+u)

16 Se temos: T(x1,y1,...,z1) = (a1,b1,...,c1) T(x2,y2,...,z2) = (a2,b2,...,c2) T(x3,y3,...,z3) = (a3,b3,...,c3) Atenção: (x1,y1,...,z1), (x2,y2,...,z2), (x3,y3,...,z3)... Devem formar um gerador do domínio. Senão a transformação não será definida.

17 Podemos fazer uma combinação linear das transformações a fim de obter: T(1,0,..,0), T(0,1,..,0),... e T(0,0,..,1) A maneira mais prática de fazer isso é colocar os vetores v e u emparelhados em uma matriz e deixá-la na forma escada:

18 Observe que agora temos a matriz: Então basta transpô-la e obtemos a matriz de transformação:

19 Ainda de: Que representa na verdade: T(1,0,...0) = (r1, s1,..., t1) T(0,1,...0) = (r2, s2,..., t2)... Podemos fazer: x.T(1,0,...0) = x.(r1, s1,..., t1) y.T(0,1,...0) = y.(r2, s2,..., t2)... E somar: T(x,y,...,z) = (x.r1 + y.r2 +..., x.s1 + y.s2,...,... )

20 E dessa forma, podemos escrever facilmente a matriz de transformação linear nas bases canônicas a parti de sua representação de costume: Ex: T(x,y,z) = (x + y – z, y, -x+2z)

21 Questões: Qual a matriz de transformação T na bases canônicas? 3

22 Nu(T) = v | T(v) = 0 Nu(T) = { (1,-3,0,0), (0,0,0,1) }

23 u = T.v T -1.u = T -1.T.v v = T -1.u Inverte-se T: T -1 (x,y,z) = (x-½y+ ½ z,x- ½ y- ½ z,-x+y)

24 S( a 0 +a 1 t+a 2 t² ) = ( a 1 +a 2, a 0 +2a 1 +4a 2 ) α e β são as bases canônicas do P 2 e R².

25 Exemplo:

26 Im( SoT ) = { (3,0,1,0), (1,-1,0,1),(4,-1,1,1), (1,-4,-1,4) } = { (3,0,1,0), (0,3,1,-3) } Im( ToS ) = { (4,2,0), (0,3,0), (-4,4,0) } = { (1,0,0), (0,1,0) }

27

28 Algumas teóricas: Falso: contra-exemplo: T(x,y) = (x,y,0) S(x,y,z) = (y,z) SoT(x,y) = (y,0) (claramente não-isomorfismo) Falso: contra-exemplo: T(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f) S(a,b,c,d,e,f) = (a,b,c,d,e,f,0) SoT(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f,0) Se a transformação tem uma inversa, essa inversa tem uma inversa também que é a própria transformação. Como uma transformação tem inversa se e somente se for um isomorfismo, a inversa dessa transformação é isomorfismo.

29


Carregar ppt "E Ellís Carvalho Luiz Afonso. Nu(T) = {v V / T(v) = 0} Im(T) = {w W / w = T(v), para algum v V} Teorema: dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google