E Ellís Carvalho Luiz Afonso

Apresentação em tema: "E Ellís Carvalho Luiz Afonso"— Transcrição da apresentação:

1 E Ellís Carvalho Luiz Afonso
Aula 3 - Álgebra E Ellís Carvalho Luiz Afonso

2 Revisando Núcleo e Imagem...
Nu(T) = {v ∈ V / T(v) = 0} Im(T) = {w ∈ W / w = T(v), para algum v ∈ V} Teorema: dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V.

3 Transformação Injetiva
T(v) = T(u) -> v = u Uma transformação é injetiva se e somente se Nu(T) = {0}. T: ℛ³→ℛ² T(x, y, z) = (x + y, x + z)

4 Transformação Sobrejetiva
w ∈ W -> ∃ v ∈ V / T(v) = w Uma transformação é sobrejetiva se e somente se Im(T) = W ou dim Im(T) = dim W, onde W é o contra-domínio da transformação.

5 Transformação Bijetiva
Uma transformação é bijetiva se ela for injetiva e sobrejetiva. A isso, damos o nome de isomorfismo. T é bijetiva -> dim V = dim W

6 Exercício A partir disso, verifique injetividade e sobrejetividade para T, S, SoT e ToS.

7 Inversa de uma transformação
Para uma transformação linear possuir inversa, ela deve ser bijetiva. Logo, dim V = dim W.

8 Matriz de uma transformação
A matriz de uma transformação linear é uma forma de representar a transformação. Seu uso se deve à facilidade que ela oferece, uma vez que a transformação “T(v) = u” pode ser feita pela multiplicação de matrizes: [T]βα x [v]β = [u]α. Onde [v]β é a representação do vetor ‘v’ na base β, [u]α o vetor ‘u’ na base α e [T]βα a matriz da transformação T de β para α.

9 Matriz de uma transformação
α = { u1, u2, ... , um } β = { v1, v2, ... vn } u = x1.u1 + x2.u xm.um v = y1.v1 + y2.v yn.vn

10 Matriz de uma transformação
Como achar [T]βα? Observe que quando v = v1 E para esse v1, temos

11 Matriz de uma transformação
Como pode ter surgido T(v1) ? x1 = 1.a a a1n x2 = 1.a a a2n ...

12 Matriz de uma transformação
Dessa forma temos: a11 = x1 a12 = x2 ... a1m = xm Analogamente podemos fazer isso com os vetores v2, v3 ... e vn

13 Matriz de uma transformação
E chegamos a seguinte matriz da transformação:

14 Matriz de uma transformação
Uma forma rápida de encontrar uma T qualquer nas bases canônicas: α = { (1,0,...,0), (0,1,...,0) , ... , (0,0,...,1) } ou {1,t,..,tm} ou etc... Obs.: dim(α) pode ser diferente de dim(β) Atenção: Nem todos os espaços podem ser escritos na forma canônica. Exemplo: Se o domínio de T fosse o plano x+y+z=0 do R3, esse método não poderia ser aplicado.

15 Matriz de uma transformação
Lembremos de 2 propriedades das transformações lineares: λ . T(v) = T(λ.v) T(v) + T(u) = T(v+u)

16 Matriz de uma transformação
Se temos: T(x1,y1,...,z1) = (a1,b1,...,c1) T(x2,y2,...,z2) = (a2,b2,...,c2) T(x3,y3,...,z3) = (a3,b3,...,c3) Atenção: (x1,y1,...,z1), (x2,y2,...,z2), (x3,y3,...,z3) ... Devem formar um gerador do domínio. Senão a transformação não será definida.

17 Matriz de uma transformação
Podemos fazer uma combinação linear das transformações a fim de obter: T(1,0,..,0), T(0,1,..,0),... e T(0,0,..,1) A maneira mais prática de fazer isso é colocar os vetores v e u “emparelhados” em uma matriz e deixá-la na forma escada:

18 Matriz de uma transformação
Observe que agora temos a matriz: Então basta transpô-la e obtemos a matriz de transformação:

19 Matriz de uma transformação
Ainda de: Que representa na verdade: T(1,0,...0) = (r1, s1, ..., t1) T(0,1,...0) = (r2, s2, ..., t2) ... Podemos fazer: x.T(1,0,...0) = x.(r1, s1, ..., t1) y.T(0,1,...0) = y.(r2, s2, ..., t2) E somar: T(x,y,...,z) = (x.r1 + y.r , x.s1 + y.s2, ..., ... )

20 Matriz de uma transformação
E dessa forma, podemos escrever facilmente a matriz de transformação linear nas bases canônicas a parti de sua representação de costume: Ex: T(x,y,z) = (x + y – z, y, -x+2z)

21 Matriz de uma transformação
Questões: 3 Qual a matriz de transformação T na bases canônicas?

22 Matriz de uma transformação
Nu(T) = v | T(v) = 0 Nu(T) = { (1,-3,0,0), (0,0,0,1) }

23 Matriz de uma transformação
u = T.v T-1.u = T-1.T.v v = T-1.u Inverte-se T: T-1(x,y,z) = (x-½y+ ½ z,x- ½ y- ½ z,-x+y)

24 Matriz de uma transformação
S( a0+a1t+a2t² ) = ( a1+a2, a0+2a1+4a2 ) α e β são as bases canônicas do P2 e R².

25 Matriz de uma TL composta
Exemplo:

26 Matriz de uma TL composta
Im( SoT ) = { (3,0,1,0), (1,-1,0,1),(4,-1,1,1), (1,-4,-1,4) } = { (3,0,1,0), (0,3,1,-3) } Im( ToS ) = { (4,2,0), (0,3,0), (-4,4,0) } = { (1,0,0), (0,1,0) }

27 Exercício

28 Algumas “teóricas”: Falso: contra-exemplo: T(x,y) = (x,y,0)
S(x,y,z) = (y,z) SoT(x,y) = (y,0) (claramente não-isomorfismo) T(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f) S(a,b,c,d,e,f) = (a,b,c,d,e,f,0) SoT(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f,0) Se a transformação tem uma inversa, essa inversa tem uma inversa também que é a própria transformação. Como uma transformação tem inversa se e somente se for um isomorfismo, a inversa dessa transformação é isomorfismo.

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