GEOMETRIA DESCRITIVA A

Apresentação em tema: "GEOMETRIA DESCRITIVA A"— Transcrição da apresentação:

1 GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano Problemas Métricos Ângulos entre Duas Rectas © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES Um ângulo será toda a superfície plana entre duas semi-rectas com direcções diferentes e a mesma extremidade. O ângulo entre duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas. s C’ r B’ A B C Os ângulos BÂC e B’ÂC’ são ângulos verticalmente opostos e são geometricamente iguais – têm a mesma amplitude.

3 O ângulo entre duas rectas é sempre o menor ângulo por estas formado.
O estdudo sobre ângulos trata da V.G. da sua amplitude, utilizando uma qualquer letra minúscula do alfabeto grego para representar o ângulo. s r αº A αº

4 Os ângulos BÂC e PÔQ são ângulos de lados directamente paralelos e são geometricamente iguais.
Os ângulos B’ÂC’ e PÔQ são ângulos de lados inversamente paralelos e são geometricamente iguais. s C’ r B’ A B C r’ O P Q

5 Duas rectas paralelas entre si formam, com uma terceira recta concorrente com aquelas, ângulos geometricamente iguais. m αº n αº o αº r

6 Ângulo entre Duas Rectas Horizontais Concorrentes
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, a e b. Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano (plano horizontal). A V.G. do ângulo entre as duas rectas a e b está no ângulo menor formado entre a1 e b1, com o vértice em P1. P1 P2 a2 ≡ b2 x b1 αº a1

7 Ângulo entre Duas Rectas Frontais Enviesadas
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, a e b. b2 b’2 Para transformar duas rectas frontais enviesadas, é necessário obter uma recta b’ paralela à recta b e concorrentes com a recta a, no ponto P. A V.G. do ângulo entre as duas rectas a e b’ está no ângulo menor formado entre a2 e b’2, com o vértice em P2. a2 αº P1 P2 x a1 ≡ b’1 b1

8 São dadas duas rectas frontais, f e f’, concorrentes no ponto A (2; 3)
São dadas duas rectas frontais, f e f’, concorrentes no ponto A (2; 3). A recta f faz um ângulo de 25º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. A recta f’ faz um ângulo de 65º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, f e f’. f’2 f2 Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano (plano frontal). A V.G. do ângulo entre as duas rectas f e f’ está no ângulo menor formado entre f2 e f’2, com o vértice em P2. αº A1 A2 x f1 ≡ f’1

9 São dadas duas rectas horizontais, h e h’
São dadas duas rectas horizontais, h e h’. A recta h faz um ângulo de 30º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção, e contém o ponto A (2; 2; 2). A recta h’ faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção, e contém o ponto B (0; 2; 4). Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, h e h’. y ≡ z h’2 B1 B2 Para transformar duas rectas horizontais enviesadas, é necessário obter uma recta h’’ paralela à recta h’ e concorrentes com a recta h, no ponto P. A V.G. do ângulo entre as duas rectas h e h’’ está no ângulo menor formado entre h1 e h’’1, com o vértice em P1. h2 ≡ h’’2 A1 A2 P1 P2 x αº h’1 ≡ h’’1 h1

10 Ângulo entre Duas Rectas Oblíquas Concorrentes
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e s. r2 s2 P1 P2 Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano θ. Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s é necessário rebater o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção. A V.G. está no ângulo menor formado entre rr e sr, com o vértice em Pr. H’1 H’2 x ≡ e2 H1 H2 Pr1 ≡ Hr s1 e1 ≡ H’r r1 αº Pr sr rr

11 Ângulo entre Duas Rectas Oblíquas Enviesadas
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e s. rr αº s’r Pr e2 r2 N1 N2 ≡ Nr Primeiro é necessário obter uma recta s’ paralela à recta s e concorrentes com a recta r, no ponto P. Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s’ é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano frontal φ. A V.G. está no ângulo menor formado entre rr e s’r, com o vértice em Pr. s’2 M1 M2 ≡ Mr s2 P1 P2 Pr1 x (hφ) ≡ e1 s1 s’1 r1

12 Ângulo entre uma Recta Oblíqua e uma Recta de Perfil
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e p. p1 ≡ p2 r2 A2 Primeiro é necessário obter uma recta r’ paralela à recta p e concorrentes com a recta r, no ponto A. Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r’ e p é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ. A V.G. está no ângulo menor formado entre r’r e pr, com o vértice em Pr. r’2 (fυ) ≡ e2 C1 C2 B2 x ≡ Cr A1 B1 ≡ Br r1 r’1 Ar Ar1 pr e1 αº r’r

13 Ângulo entre uma Recta Oblíqua e uma Recta Frontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e f. r’r Primeiro é necessário obter uma recta r’ paralela à recta r e concorrentes com a recta f, no ponto P. Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r’ e f é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano frontal φ que contém a recta f. Um ponto qualquer A da recta r’ permite rebater a recta r’. A V.G. está no ângulo menor formado entre r’r e fr, com o vértice em Pr. r’2 A1 A2 αº f2 ≡ fr Ar1 r2 P1 P2 ≡ Pr Ar x f1 ≡ (hφ) r1 r’1

14 São dadas duas rectas oblíquas, r e s, concorrentes num ponto com 3 cm de cota. A recta r é uma recta do β1,3 e a sua projecção frontal faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. A recta s é paralela ao β2,4 e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, r e s. s2 r2 P1 P2 (fυ) ≡ e2 B1 B2 A1 A2 Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ. A V.G. está no ângulo menor formado entre rr e sr, com o vértice em Pr. x Pr1 ≡ Ar r1 s1 ≡ Br Pr sr e1 αº rr

15 São dadas duas rectas oblíquas, m e n
São dadas duas rectas oblíquas, m e n. A recta m contém o ponto A (4; 4; 2) e o seu traço frontal tem 0 cm de abcissa e 4 cm de cota. A recta n é paralela ao β2,4, o seu traço horizontal tem –3 cm de abcissa e 4 cm de afastamento e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, m e n. m2 y ≡ z n’2 F2 Primeiro é necessário obter uma recta n’ paralela à recta n e concorrentes com a recta m, no pontoqualquer P da recta m. Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas n’ e m, é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ. A V.G. está no ângulo menor formado entre n’r e mr, com o vértice em Pr. P1 P2 n2 B1 B2 (fυ) ≡ e2 A1 A2 F1 H1 H2 x Pr1 ≡ Br e1 ≡ Ar Pr mr m1 αº n1 n’r n’1