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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Ângulos entre Duas Rectas © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Ângulos entre Duas Rectas © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES Um ângulo será toda a superfície plana entre duas semi-rectas com direcções diferentes e a mesma extremidade. O ângulo entre duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas. s r A B B C C Os ângulos BÂC e BÂC são ângulos verticalmente opostos e são geometricamente iguais – têm a mesma amplitude.

3 s r A O ângulo entre duas rectas é sempre o menor ângulo por estas formado. O estdudo sobre ângulos trata da V.G. da sua amplitude, utilizando uma qualquer letra minúscula do alfabeto grego para representar o ângulo. αº

4 s r A B B C C r O P Q Os ângulos BÂC e PÔQ são ângulos de lados directamente paralelos e são geometricamente iguais. Os ângulos BÂC e PÔQ são ângulos de lados inversamente paralelos e são geometricamente iguais.

5 m n o r αº Duas rectas paralelas entre si formam, com uma terceira recta concorrente com aquelas, ângulos geometricamente iguais.

6 Ângulo entre Duas Rectas Horizontais Concorrentes Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, a e b. x a 2 b 2 a1a1 b1b1 P1P1 P2P2 Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano (plano horizontal). A V.G. do ângulo entre as duas rectas a e b está no ângulo menor formado entre a 1 e b 1, com o vértice em P 1. αº

7 Ângulo entre Duas Rectas Frontais Enviesadas Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, a e b. x a2a2 a1a1 b1b1 Para transformar duas rectas frontais enviesadas, é necessário obter uma recta b paralela à recta b e concorrentes com a recta a, no ponto P. A V.G. do ângulo entre as duas rectas a e b está no ângulo menor formado entre a 2 e b 2, com o vértice em P 2. b2b2 b 1 P1P1 P2P2 b2b2 αº

8 São dadas duas rectas frontais, f e f, concorrentes no ponto A (2; 3). A recta f faz um ângulo de 25º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. A recta f faz um ângulo de 65º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, f e f. x A1A1 A2A2 f 1 f2f2 f2f2 Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano (plano frontal). A V.G. do ângulo entre as duas rectas f e f está no ângulo menor formado entre f 2 e f 2, com o vértice em P 2. αº

9 São dadas duas rectas horizontais, h e h. A recta h faz um ângulo de 30º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção, e contém o ponto A (2; 2; 2). A recta h faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção, e contém o ponto B (0; 2; 4). Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, h e h. x y z A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 h2h2 h1h1 h2h2 h1h1 Para transformar duas rectas horizontais enviesadas, é necessário obter uma recta h paralela à recta h e concorrentes com a recta h, no ponto P. A V.G. do ângulo entre as duas rectas h e h está no ângulo menor formado entre h 1 e h 1, com o vértice em P 1. h 2 h 1 P1P1 P2P2 αº

10 Ângulo entre Duas Rectas Oblíquas Concorrentes Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e s. x P1P1 P2P2 r1r1 r2r2 s2s2 s1s1 Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano θ. Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s é necessário rebater o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção. A V.G. está no ângulo menor formado entre r r e s r, com o vértice em P r. H1H1 H2H2 H1H1 H2H2 e1e1 e 2 P r1 PrPr H r r srsr αº

11 Ângulo entre Duas Rectas Oblíquas Enviesadas Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e s. x r2r2 s2s2 s1s1 r1r1 Primeiro é necessário obter uma recta s paralela à recta s e concorrentes com a recta r, no ponto P. Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano frontal φ. A V.G. está no ângulo menor formado entre r r e s r, com o vértice em P r. P1P1 P2P2 s1s1 s2s2 (h φ ) e 1 M1M1 M2M2 N1N1 N2N2 e2e2 P r1 PrPr M r N r αº srsr r

12 Ângulo entre uma Recta Oblíqua e uma Recta de Perfil Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e p. x p1 p 2 r1r1 r2r2 A1A1 B1B1 B2B2 A2A2 Primeiro é necessário obter uma recta r paralela à recta p e concorrentes com a recta r, no ponto A. Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e p é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ. A V.G. está no ângulo menor formado entre r r e p r, com o vértice em P r. r1r1 r2r2 (f υ ) e 2 C1C1 C2C2 B r C r e1e1 A r1 ArAr prpr r αº

13 Ângulo entre uma Recta Oblíqua e uma Recta Frontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e f. x r2r2 r1r1 f1f1 f2f2 Primeiro é necessário obter uma recta r paralela à recta r e concorrentes com a recta f, no ponto P. Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e f é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano frontal φ que contém a recta f. Um ponto qualquer A da recta r permite rebater a recta r. A V.G. está no ângulo menor formado entre r r e f r, com o vértice em P r. P1P1 P2P2 r1r1 r2r2 (h φ ) f r A1A1 A2A2 A r1 ArAr P r r αº

14 São dadas duas rectas oblíquas, r e s, concorrentes num ponto com 3 cm de cota. A recta r é uma recta do β 1,3 e a sua projecção frontal faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. A recta s é paralela ao β 2,4 e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, r e s. x r2r2 r1r1 s2s2 P1P1 P2P2 s1s1 Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ. A V.G. está no ângulo menor formado entre r r e s r, com o vértice em P r. (f υ ) e 2 A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 e1e1 A r B r P r1 PrPrr srsr αº

15 São dadas duas rectas oblíquas, m e n. A recta m contém o ponto A (4; 4; 2) e o seu traço frontal tem 0 cm de abcissa e 4 cm de cota. A recta n é paralela ao β 2,4, o seu traço horizontal tem –3 cm de abcissa e 4 cm de afastamento e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, m e n. x y z A1A1 A2A2 F2F2 F1F1 m2m2 m1m1 H1H1 H2H2 n1n1 n2n2 Primeiro é necessário obter uma recta n paralela à recta n e concorrentes com a recta m, no pontoqualquer P da recta m. Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas n e m, é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ. A V.G. está no ângulo menor formado entre n r e m r, com o vértice em P r. P1P1 P2P2 n1n1 n2n2 (f υ ) e 2 B1B1 B2B2 e1e1 A r B r P r1 PrPr mrmr nrnr αº


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