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Capítulo 2 - Modelação Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Revisão: Outubro de 2011 Transparências de apoio às aulas.

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1 Capítulo 2 - Modelação Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Revisão: Outubro de 2011 Transparências de apoio às aulas teóricas Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores CONTROLO 1º semestre – 2011/2012

2 Capítulo 2 - Modelação Objectivos Definir o que é um modelo e discutir o seu uso para responder a perguntas sobre sistemas físicos Introduzir os conceitos de entrada, saída e dinâmica Dar exemplos de modelos de sistemas físicos em domínios diversos Linearização Referências o Cap.2 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal) o Cap.2 - do texto de Karl Astrom, Richard Murray, disponível na Web.

3 Capítulo 2 - Modelação Revisão sobre Introdução ao Controlo Controlo = = Sensoriamento + Computação + Actuação Sensoriamento / Percepção Computação Actuação Sistema físico Sistemas de controlo por retroaçcão ocorrem em muitos domínios Objectivos do controlo Modificar o comportamento de sistemas com as seguintes restrições: Estabilidade em cadeia fechada Robustez face a incertezas de modelização Atenuação de perturbações

4 Capítulo 2 - Modelação Modelos Modelo = representação matemática de um sistema físico, biológico, mecânico, de informação,... Um modelo fornece uma predição de como é o comportamento do sistema O projecto de controladores para sistemas físicos faz-se a partir de um modelo desse sistema. Os modelos não têm que ser exactos. – Modelos que descrevam muito detalhadamente um sistema podem ser complexos – Desconhecem-se todos os fenómenos físicos que regulam o comportamento do sistema – Na modelação fazem-se, muitas vezes, hipóteses simplificativas A retroacção garante robustez a incertezas (em determinados limites) no modelo Os modelos usados para controlo relacionam entradas com saídas e (eventualmente) com variáveis internas do sistema

5 Capítulo 2 - Modelação Modelos O modelo que se deriva depende da pergunta a que se pretende responder sobre o sistema físico. – Perguntas diferentes modelos diferentes – Perguntas iguais mas hipóteses simplificativas diferentes modelos diferentes Ao mesmo sistema físico podem corresponder modelos diferentes Devem ser escolhidas escalas de tempo e de espaço adaptadas às questões a que se pretende responder

6 Capítulo 2 - Modelação Modelo De entrada-saída – relaciona directamente a entrada com a saída Equação diferencial Linear ou não linear Variante ou invariante no tempo Função de Transferência Só para sistemas lineares invariantes no tempo De estado – relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema Entrada Saída r(t) y(t) Sistema

7 Capítulo 2 - Modelação Modelação: Exemplos Alguns exemplos de sistemas físicos – Sistemas mecânicos – Circuitos eléctricos – Sistemas electromecânicos – Sistemas térmicos – Sistemas hidráulicos – Dinâmica de populações –......

8 Capítulo 2 - Modelação Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control) Objectivo do sistema de controlo – Manter constante a velocidade do veículo Modelo do sistema físico – Entrada: força f(t) gerada pelo motor – Saída: velocidade v(t) do automóvel f(t) Sensor de velocidade MotorControlador v(t)v ref (t) + _ f(t) v(t) f(t) Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t) ? Fazendo hipóteses simplificativas obtem-se um modelo.

9 Capítulo 2 - Modelação Sistemas Mecânicos de Translação Lei de Newton (séc. XVII) F = soma das forças aplicadas ao corpo (N) v = vector velocidade do corpo (m/s) M = massa do corpo (Kg) mv= momento linear Kgm/s F= d(mv)/dt A força total aplicada a um corpo rígido é igual à derivada em ordem ao tempo do seu momento linear

10 Capítulo 2 - Modelação Sistemas Mecânicos de Translação Massa Mola X Massa - Armazena energia cinética m f(t) X K Mola - Armazena energia potencial K=constante da mola f s (t) = força de restituição da mola, resultado de uma deformação (alongamento ou compressão). Kx(t) é a força que é necessário exercer para efectuar o alongamento (x(t)>0) ou a compressão (x(t)<0). K Elementos Básicos

11 Capítulo 2 - Modelação Sistemas Mecânicos de Translação Atrito Elementos Básicos Atrito - Elemento dissipador de energia b=coeficiente de atrito viscoso X b b X x(t) A força de atrito, f d (t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade simplificação da realidade é usualmente uma função não linear da velocidade

12 Capítulo 2 - Modelação Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control) v(t) f(t) Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t) assumindo as hipóteses simplificativas ? Hipóteses simplificativas: Inércia rotacional das rodas é desprezável O atrito que se opõe ao movimento é proporcional à velocidade (atrito viscoso) O automóvel move-se no plano horizontal m f(t) Força externa aplicada f(t) Sistema

13 Capítulo 2 - Modelação Sistemas Mecânicos de Translação Exemplo de 1ª Ordem m f(t) Força externa aplicada f(t) Sistema A força de atrito opõe-se ao movimento Força externa Força do atrito Lei de Newton Representação de entrada-saída o no domínio do tempo o entrada: f(t) o saída: v(t) o Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 1ª ordem o Sistema de 1ª ordem

14 Capítulo 2 - Modelação Sistemas Mecânicos de Translação Exemplo de 2ª Ordem m f(t) Força externa aplicada f(t) Sistema A força de atrito opõe-se ao movimento Força externa Força do atrito Lei de Newton Representação de entrada-saída o no domínio do tempo o entrada: f(t) o saída: x(t) o Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 2ª ordem o Sistema de 2ª ordem

15 Capítulo 2 - Modelação Sistemas Mecânicos de Translação Exemplo de 2ª Ordem m f(t) Força externa aplicada f(t) Sistema K

16 Capítulo 2 - Modelação Função de Transferência EQUAÇÃO DIFERENCIAL - Representação matemática do sistema no domínio do tempo para uma dada entrada a saída pode obter-se por resolução da equação diferencial Aplicando Transformada de Laplace unilateral e considerando condições iniciais nulas Transformada de Laplace unilateral FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA - Representação matemática do sistema no domínio da variável complexa s

17 Capítulo 2 - Modelação Função de Transferência SLIT r(t) y(t) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA G(s) R(s) Y(s) Para condições iniciais nulas A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente o sistema do ponto de vista de entrada-saída Quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais

18 Capítulo 2 - Modelação Função de Transferência SLIT r(t) y(t) G(s) R(s) Y(s) r(t) y(t) R(s)Y(s) TL TL -1 Obtenção da solução da equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada-saída Se as condições iniciais forem nulas A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída Resolução da eq.diferencial

19 Capítulo 2 - Modelação Função de Transferência e Diagrama de Blocos v(t) f(t) V(s)F(s) x(t) f(t) V(s)F(s) X(s) F(s) O mesmo sistema físico Modelos diferentes

20 Capítulo 2 - Modelação Cruise Control (em plano horizontal) v(t) f(t) V(s)F(s) Sistema físico modelo do sistema físico Sistema controlado com controlador proporcional V ref (s) + _ controlador

21 Capítulo 2 - Modelação Sistemas Mecânicos de Rotação rotação em torno de um eixo Lei de Newton-Euler A soma dos binários que actuam num corpo é igual ao produto do momento de in é rcia desse corpo pela sua aceleração angular. T = soma dos binários aplicados ao sistema (N-m) = vector aceleração angular a que o corpo está sujeito (rad/s 2 ) J = momento de inércia (Kg-m 2 ) (suposto constante)

22 Capítulo 2 - Modelação Sistemas Mecânicos de Rotação Inércia Mola Rotacional Elementos Básicos Armazena energia cinética rotacional - Velocidade angular Mola armazena energia potencial rotacional K = constante da mola T s (t) = binário de restituição da mola em resultado de uma deformação em torno do ponto de equil í brio. é o binário que é necessário exercer para efectuar a rotação.

23 Capítulo 2 - Modelação Sistemas Mecânicos de Rotação Atrito Rotacional Elementos Básicos Atrito - Elemento dissipador de energia b - coeficiente de atrito viscoso O binário de atrito T d (t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade angular simplificação da realidade é usualmente uma função não linear da velocidade

24 Capítulo 2 - Modelação Sistemas mecânicos de rotação A velocidade linear é igual no ponto de contacto das duas rodas Engrenagem (caixa de desmultiplicação) Roda dentada 1 – entrada Raio - # dentes - Roda dentada 2 – saída Raio - # dentes - a desmultiplicação angular é inversamente proporcional ao quociente do número de dentes.

25 Capítulo 2 - Modelação Sistemas mecânicos de rotação Engrenagem (caixa de desmultiplicação) Roda dentada 1 – entrada Raio - # dentes - Roda dentada 2 – saída Raio - # dentes - Supondo que a engrenagem n ã o acumula nem dissipa energia a multiplicação de binário é directamente proporcional ao quociente do número de dentes das rodas. Resumo Energia rotacional

26 Capítulo 2 - Modelação Exemplo: Pêndulo m L mg Pêndulo Massa toda concentrada na extremidade Braço de comprimento L [m] Binário aplicado T c (t) [N.m] Pergunta: Como varia o ângulo (t) como função de T c (t)? Momento de inércia em torno do ponto de rotação = J = mL 2 mg mgcos mgsin Eq. Diferencial não linear Não se pode obter directamente a Função de Transferência Faz-se linearização

27 Capítulo 2 - Modelação Carro com pêndulo invertido MMassa do carro mMassa do pêndulo bCoeficiente de atrito no movimento do carro LComprimento do pêndulo IInércia do pêndulo FForça externa aplicada ao carro xPosição do carro Ângulo do pêndulo relativamente à vertical Pretende-se: Equações da dinâmica de movimento do sistema em termos de x e de

28 Capítulo 2 - Modelação Carro com pêndulo invertido Soma das forças no referencial horizontal associado ao carro Soma das forças no pêndulo na direcção horizontal N = força de reacção (desconhecida) aplicada pelo pêndulo

29 Capítulo 2 - Modelação Carro com pêndulo invertido Soma das forças perpendiculares ao pêndulo Soma dos momentos em torno do centróide do pêndulo

30 Capítulo 2 - Modelação Carro com pêndulo invertido Sistema de equações diferenciais não lineares

31 Capítulo 2 - Modelação Sistemas Electromecânicos Parâmetros característicos: R a - resistência – Ohm L a - indutância – Henry e a - tensão de entrada no circuito da armadura – Volt i a - corrente no circuito da armadura - Ampere v b - força contra-electromotriz – Volt T m – binário disponível no veio do motor Motor de corrente contínua

32 Capítulo 2 - Modelação Motor de corrente contínua O rotor gira num campo magnético Força contra-electromotriz Equação do circuito da armadura tensão de entrada no estator Forca contra-electromotriz tensão aos terminais da resistencia queda de tensão na bobina + _ E a (s) V b (s) I a (s) m (s)

33 Capítulo 2 - Modelação Motor de corrente contínua Binario acessível no veio do motor (proporcional a i a ; K t =K b ) + _ E a (s) V b (s) I a (s) KtKt T m (s) Q m (s) termo em m termos em T m

34 Capítulo 2 - Modelação Motor de corrente contínua Equação do ROTOR + _ E a (s) V b (s) I a (s) KtKt T m (s)Q m (s) Por reduções sucessivas do diagrama de blocos, obtenha a função de transferência do motor.

35 Capítulo 2 - Modelação Motor de corrente contínua Se L a puder ser desprezada (em comparação com R a ) Função de TRANSFERÊNCIA da forma

36 Capítulo 2 - Modelação Controlo de posição de um motor de corrente contínua Sistema de controlo de posição angular do motor Integrador (posicao angular é o integral da velocidade angular. Pólo em zero!) m (s) a (s) m (s) Dinâmica da velocidade angular + _ K m (s) a (s) R (s)

37 Capítulo 2 - Modelação Dinâmica de condução de um robot móvel {R} {W} v d (t) – velocidade linear da roda direita v e (t) – velocidade linear da roda esquerda L – distância entre rodas 2 rodas motoras traseiras 2 rodas dianteiras não motorizadas Pergunta: Como variam no tempo a posição (x,y) e orientação do veículo em função das velocidades lineares das duas rodas ? Sistema de 3 equações diferenciais não lineares rodas motoras

38 Capítulo 2 - Modelação Dinâmica de condução de um robot móvel {R} {W} Controlo: Que valores devem ter v e (t) e v d (t) para que o veículo siga um determinado caminho? rodas motoras Controlador (x,y, ) Coordenadas do caminho a seguir veve vdvd É com base neste modelo do sistema físico (é um modelo simplificado) que se projecta o controlador

39 Capítulo 2 - Modelação Linearização v(t) f(t) m f(t) Força externa aplicada Sistema não linearAproximação linear Exemplo: carro a alta velocidade Velocidade elevadaForça de atrito: termo linear + termo quadrático Sistema não linear

40 Capítulo 2 - Modelação Linearização: Exemplo Condição de equilíbrio O que é uma situação de equilíbrio ? Se o sistema estiver numa situação de equilíbrio e não houver nenhuma perturbação, ele mantém-se indefinidamente nessa situação O sistema está numa situação de equilíbrio quando uma força externa iguala a força de atrito dinâmica não linear Caracterização do equilíbrio Os pares (v e, f e ) que satisfazem esta relação são pontos de equilíbrio do sistema Sistema não linearAproximação linear em torno de uma situação de equilíbrio

41 Capítulo 2 - Modelação Linearização: exemplo Estudo do comportamento do sistema em torno de uma situação de equilíbrio (v e, f e ) Incrementos pequenos em torno do equilíbrio ??? linear V e =cte.

42 Capítulo 2 - Modelação Linearização: exemplo Apr. série de Taylor em torno do ponto de equilíbrio desprezando os termos não lineares (ordem superior à 1ª) Apr. série de Taylor Desprezando termos de ordem superior É válido para incrementos pequenos v v2v2 veve

43 Capítulo 2 - Modelação Linearização: exemplo Condição de equilíbrio Eq. diferencial linear Função de transferência

44 Capítulo 2 - Modelação Linearização: exemplo Função de transferência v(t) f(t) v(t) f(t) Sistema não linear Sistema Linearizado Relaciona incrementos na saída com incrementos na entrada Os incrementos são em torno de um determinado ponto de equilíbrio (v e,f e ) A localização do pólo depende da velocidade de operação v e

45 Capítulo 2 - Modelação Pêndulo: Linearização m L mg Não linear devido ao termo sin Ponto de equilíbrio do sistema Para pequenos (pequenas perturbações em torno do ponto de equilíbrio) Modelo linear que descreve o comportamento do sistema, mas só para pequenos


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