Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos

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1 Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos
CONTROLO 1º semestre – 2011/2012 Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos Transparências de apoio às aulas teóricas Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Revisão: Outubro de 2011 Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

2 Objectivos Referências
Definir o que é um modelo e discutir o seu uso para responder a perguntas sobre sistemas físicos Introduzir os conceitos de entrada, saída e dinâmica Dar exemplos de modelos de sistemas físicos em domínios diversos Linearização Referências Cap.2 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal) Cap.2 - do texto de Karl Astrom, Richard Murray, disponível na Web.

3 Revisão sobre Introdução ao Controlo
Controlo = = Sensoriamento + Computação + Actuação Sensoriamento / Percepção Computação Actuação Sistema físico Sistemas de controlo por retroaçcão ocorrem em muitos domínios Objectivos do controlo Modificar o comportamento de sistemas com as seguintes restrições: Estabilidade em cadeia fechada Robustez face a incertezas de modelização Atenuação de perturbações

4 Modelos Modelo = representação matemática de um sistema físico, biológico, mecânico, de informação, ... Um modelo fornece uma predição de como é o comportamento do sistema O projecto de controladores para sistemas físicos faz-se a partir de um modelo desse sistema. Os modelos não têm que ser exactos. Modelos que descrevam muito detalhadamente um sistema podem ser complexos Desconhecem-se todos os fenómenos físicos que regulam o comportamento do sistema Na modelação fazem-se, muitas vezes, hipóteses simplificativas A retroacção garante robustez a incertezas (em determinados limites) no modelo Os modelos usados para controlo relacionam entradas com saídas e (eventualmente) com variáveis internas do sistema

5 Modelos O modelo que se deriva depende da pergunta a que se pretende responder sobre o sistema físico. Perguntas diferentes  modelos diferentes Perguntas iguais mas hipóteses simplificativas diferentes  modelos diferentes Ao mesmo sistema físico podem corresponder modelos diferentes Devem ser escolhidas escalas de tempo e de espaço adaptadas às questões a que se pretende responder

6 Modelo De entrada-saída – relaciona directamente a entrada com a saída
Equação diferencial Linear ou não linear Variante ou invariante no tempo Função de Transferência Só para sistemas lineares invariantes no tempo De estado – relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema r(t) y(t) Sistema Entrada Saída

7 Alguns exemplos de sistemas físicos
Modelação: Exemplos Alguns exemplos de sistemas físicos Sistemas mecânicos Circuitos eléctricos Sistemas electromecânicos Sistemas térmicos Sistemas hidráulicos Dinâmica de populações ......

8 Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control)
vref(t) + f(t) v(t) Controlador Motor _ f(t) Sensor de velocidade Objectivo do sistema de controlo Manter constante a velocidade do veículo Modelo do sistema físico Entrada: força f(t) gerada pelo motor Saída: velocidade v(t) do automóvel f(t) v(t) Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t) ? Fazendo hipóteses simplificativas obtem-se um modelo.

9 Sistemas Mecânicos de Translação
Lei de Newton (séc. XVII) F = soma das forças aplicadas ao corpo (N) v = vector velocidade do corpo (m/s) M = massa do corpo (Kg) mv= momento linear Kgm/s F= d(mv)/dt A força total aplicada a um corpo rígido é igual à derivada em ordem ao tempo do seu momento linear

10 Sistemas Mecânicos de Translação
Elementos Básicos Massa X m f(t) Massa - Armazena energia cinética Mola X Mola - Armazena energia potencial K=constante da mola fs(t) = força de restituição da mola, resultado de uma deformação (alongamento ou compressão). Kx(t) é a força que é necessário exercer para efectuar o alongamento (x(t)>0) ou a compressão (x(t)<0). K K

11 Sistemas Mecânicos de Translação
Elementos Básicos Atrito X Atrito - Elemento dissipador de energia b=coeficiente de atrito viscoso b X x(t) A força de atrito, fd(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade simplificação da realidade é usualmente uma função não linear da velocidade b

12 Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control)
f(t) v(t) Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t) assumindo as hipóteses simplificativas ? Hipóteses simplificativas: Inércia rotacional das rodas é desprezável O atrito que se opõe ao movimento é proporcional à velocidade (atrito viscoso) O automóvel move-se no plano horizontal Força externa aplicada m f(t) b f(t) Sistema

13 Sistemas Mecânicos de Translação
Exemplo de 1ª Ordem Lei de Newton Força externa Força do atrito m f(t) Força externa aplicada b f(t) Sistema A força de atrito opõe-se ao movimento Representação de entrada-saída no domínio do tempo entrada: f(t) saída: v(t) Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 1ª ordem Sistema de 1ª ordem

14 Sistemas Mecânicos de Translação
Exemplo de 2ª Ordem Lei de Newton m f(t) Força externa aplicada b f(t) Sistema Força externa Força do atrito A força de atrito opõe-se ao movimento Representação de entrada-saída no domínio do tempo entrada: f(t) saída: x(t) Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 2ª ordem Sistema de 2ª ordem

15 Sistemas Mecânicos de Translação
Exemplo de 2ª Ordem K f(t) Sistema f(t) m Força externa aplicada b

16 Função de Transferência
EQUAÇÃO DIFERENCIAL - Representação matemática do sistema no domínio do tempo para uma dada entrada a saída pode obter-se por resolução da equação diferencial Aplicando Transformada de Laplace unilateral e considerando condições iniciais nulas Transformada de Laplace unilateral FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA - Representação matemática do sistema no domínio da variável complexa s

17 Função de Transferência
SLIT r(t) y(t) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais G(s) R(s) Y(s) Para condições iniciais nulas A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente o sistema do ponto de vista de entrada-saída

18 Função de Transferência
SLIT r(t) y(t) Obtenção da solução da equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada-saída Resolução da eq.diferencial r(t) y(t) R(s) Y(s) TL TL-1 G(s) R(s) Y(s) A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída Se as condições iniciais forem nulas

19 Função de Transferência e Diagrama de Blocos
f(t) v(t) F(s) V(s) f(t) X(s) x(t) F(s) V(s) F(s) X(s) O mesmo sistema físico Modelos diferentes

20 Cruise Control (em plano horizontal)
Sistema físico f(t) v(t) modelo do sistema físico Vref(s) F(s) V(s) + _ Sistema controlado com controlador proporcional controlador

21 Sistemas Mecânicos de Rotação
rotação em torno de um eixo Lei de Newton-Euler T = soma dos binários aplicados ao sistema (N-m) = vector aceleração angular a que o corpo está sujeito (rad/s2) J = momento de inércia (Kg-m2) (suposto constante) A soma dos binários que actuam num corpo é igual ao produto do momento de inércia desse corpo pela sua aceleração angular.

22 Sistemas Mecânicos de Rotação
Elementos Básicos Inércia w - Velocidade angular Armazena energia cinética rotacional Mola Rotacional Mola armazena energia potencial rotacional K = constante da mola Ts(t) = binário de restituição da mola em resultado de uma deformação em torno do ponto de equilíbrio. é o binário que é necessário exercer para efectuar a rotação.

23 Sistemas Mecânicos de Rotação
Elementos Básicos Atrito Rotacional Atrito - Elemento dissipador de energia b - coeficiente de atrito viscoso O binário de atrito Td(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade angular simplificação da realidade é usualmente uma função não linear da velocidade

24 Sistemas mecânicos de rotação
Engrenagem (caixa de desmultiplicação) Roda dentada 1 – entrada Raio - # dentes - Roda dentada 2 – saída Raio - # dentes - A velocidade linear é igual no ponto de contacto das duas rodas a desmultiplicação angular é inversamente proporcional ao quociente do número de dentes.

25 Sistemas mecânicos de rotação
Engrenagem (caixa de desmultiplicação) Roda dentada 1 – entrada Raio - # dentes - Roda dentada 2 – saída Raio - # dentes - Supondo que a engrenagem não acumula nem dissipa energia a “multiplicação” de binário é directamente proporcional ao quociente do número de dentes das rodas. Energia rotacional Resumo q1 q2 T1 T2

26 Exemplo: Pêndulo Pêndulo L m mg
Massa toda concentrada na extremidade Braço de comprimento L [m] Binário aplicado Tc(t) [N.m] Pergunta: Como varia o ângulo q(t) como função de Tc(t)? L m mg Momento de inércia em torno do ponto de rotação = J = mL2 mgcos q Eq. Diferencial não linear Não se pode obter directamente a Função de Transferência Faz-se linearização mg mgsin q

27 Carro com pêndulo invertido
Massa do carro m Massa do pêndulo b Coeficiente de atrito no movimento do carro L Comprimento do pêndulo I Inércia do pêndulo F Força externa aplicada ao carro x Posição do carro q Ângulo do pêndulo relativamente à vertical Pretende-se: Equações da dinâmica de movimento do sistema em termos de x e de q

28 Carro com pêndulo invertido
Soma das forças no referencial horizontal associado ao carro N = força de reacção (desconhecida) aplicada pelo pêndulo Soma das forças no pêndulo na direcção horizontal

29 Carro com pêndulo invertido
Soma das forças perpendiculares ao pêndulo Soma dos momentos em torno do centróide do pêndulo

30 Carro com pêndulo invertido
Sistema de equações diferenciais não lineares

31 Sistemas Electromecânicos
Motor de corrente contínua Parâmetros característicos: Ra - resistência – Ohm La - indutância – Henry ea - tensão de entrada no circuito da armadura – Volt ia - corrente no circuito da armadura - Ampere vb - força contra-electromotriz – Volt Tm – binário disponível no veio do motor

32 Motor de corrente contínua
O rotor gira num campo magnético Equação do circuito da armadura Força contra-electromotriz tensão de entrada no estator tensão aos terminais da resistencia queda de tensão na bobina Forca contra-electromotriz Ea(s) + Ia(s) Qm(s) _ Vb(s)

33 Motor de corrente contínua
Binario acessível no veio do motor (proporcional a ia; Kt=Kb) Ea(s) + Ia(s) Tm(s) Qm(s) Kt _ Vb(s) termos em Tm termo em qm

34 Motor de corrente contínua
Equação do ROTOR Ea(s) + Ia(s) Tm(s) Qm(s) Kt _ Vb(s) Por reduções sucessivas do diagrama de blocos, obtenha a função de transferência do motor.

35 Motor de corrente contínua
Se La puder ser desprezada (em comparação com Ra) Função de TRANSFERÊNCIA da forma

36 Controlo de posição de um motor de corrente contínua
Qm(s) Ea(s) Wm(s) Dinâmica da velocidade angular Integrador (posicao angular é o integral da velocidade angular. Pólo em zero!) Sistema de controlo de posição angular do motor Ea(s) Qm(s) + K _ R(s)

37 Dinâmica de condução de um robot móvel
rodas motoras {R} {W} Pergunta: Como variam no tempo a posição (x,y) e orientação q do veículo em função das velocidades lineares das duas rodas ? 2 rodas motoras traseiras 2 rodas dianteiras não motorizadas vd(t) – velocidade linear da roda direita ve(t) – velocidade linear da roda esquerda L – distância entre rodas Sistema de 3 equações diferenciais não lineares

38 Dinâmica de condução de um robot móvel
rodas motoras {R} {W} Controlo: Que valores devem ter ve(t) e vd(t) para que o veículo siga um determinado caminho? Coordenadas do caminho a seguir ve (x,y,q) Controlador vd É com base neste modelo do sistema físico (é um modelo simplificado) que se projecta o controlador

39 Linearização m f(t) b Sistema não linear Aproximação linear
Exemplo: carro a alta velocidade Força externa aplicada f(t) v(t) m f(t) b Velocidade elevada Força de atrito: termo linear + termo quadrático Sistema não linear

40 Linearização: Exemplo
Sistema não linear Aproximação linear em torno de uma situação de equilíbrio Condição de equilíbrio O que é uma situação de equilíbrio ? Se o sistema estiver numa situação de equilíbrio e não houver nenhuma perturbação, ele mantém-se indefinidamente nessa situação O sistema está numa situação de equilíbrio quando uma força externa iguala a força de atrito dinâmica não linear Caracterização do equilíbrio Os pares (ve, fe) que satisfazem esta relação são pontos de equilíbrio do sistema

41 Linearização: exemplo
Estudo do comportamento do sistema em torno de uma situação de equilíbrio (ve, fe) Incrementos pequenos em torno do equilíbrio Ve=cte. linear linear ???

42 Linearização: exemplo
Apr. série de Taylor em torno do ponto de equilíbrio desprezando os termos não lineares (ordem superior à 1ª) v2 Apr. série de Taylor v ve Desprezando termos de ordem superior É válido para incrementos pequenos

43 Linearização: exemplo
Condição de equilíbrio Eq. diferencial linear Função de transferência

44 Linearização: exemplo
f(t) v(t) Sistema não linear df(t) dv(t) Sistema Linearizado Relaciona incrementos na saída com incrementos na entrada Os incrementos são em torno de um determinado ponto de equilíbrio (ve,fe) A localização do pólo depende da velocidade de operação ve Função de transferência

45 Pêndulo: Linearização
Não linear devido ao termo sinq m Ponto de equilíbrio do sistema mg Para q pequenos (pequenas perturbações em torno do ponto de equilíbrio) Modelo linear que descreve o comportamento do sistema, mas só para q pequenos