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Aula 9 análise das equações de conservação. sistema físico modelo de camadas múltiplas transporte em suspensão transporte por arrastamento camada de mistura.

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1 Aula 9 análise das equações de conservação

2 sistema físico modelo de camadas múltiplas transporte em suspensão transporte por arrastamento camada de mistura substrato h = h s + h b : profundidade do escoamento h s : espessura da camada de transporte em suspensão h b : espessura da camada de transporte por arrastamento L a : espessura da camada de mistura Y b : cota do fundo LaLa

3 modelo conceptual massa total conservação da massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : cota do fundo : velocidade média do escoamento equações de fecho: : concentração de sedimentos : declive da linha de energia

4 análise das equações motivação considere-se a equação de advecção pura de uma grandeza C: seja, para simplificar o cálculo, e G constantes. em particular, seja: considere-se o problema de valores iniciais e de fronteira representado por (A) e pelas condições de fronteira e iniciais: (A) comportamento esperado: C x

5 análise das equações motivação discretize-se a derivada espacial por diferenças upwind e a derivada temporal por diferenças de 1ª ordem: i i+1 i 1 n n +1 discretize-se o domínio de cálculo em 10 secções de cálculo (9 trechos) e proceda-se ao cálculo numérico considerando

6 motivação i i+1 i 1 n n +1 discretize-se o domínio de cálculo em 10 secções de cálculo (9 trechos) e proceda-se ao cálculo numérico análise das equações

7 motivação i i+1 i 1 n n +1 análise: note-se que a derivada material de uma grandeza C se escreve, num referencial Eulereano: análise das equações comparando com a equação (A) conclui-se que i.e., tem o significado físico de uma velocidade de propagação conclusão: existe uma velocidade física para a propagação de informação relativa a um fenómeno essencialmente advectivo e, também, uma velocidade numérica de propagação; num modelo numérico, terão que ser compatíveis!

8 motivação i i+1 i 1 n n +1 direcção de propagação física: jusante para montante análise das equações direcção de propagação numérica: montante para jusante se se colocar a condição de fronteira na secção correcta (jusante) e se discretizar o termo equação convectivo da equação (A) por diferenças finitas de 1ª ordem downwind obtém-se

9 objectivos da análise matemática dos modelos de transporte de sedimentos - determinar as velocidades (magnitude e sentido) de propagação de informação inerentes ao modelo conceptual análise das equações - determinar a natureza da informação propagada - determinação do número e natureza das condições de fronteira e iniciais aplicações - escolha dos esquemas numéricos em face da correcta propagação da informação no domínio de cálculo

10 conservação da massa de sedimentos velocidade de propagação: exemplo, modelo #5 t x P t x P grandeza transportada: análise das equações derivada temporal gradiente velocidade de propagação termos de fonte (perturbações na cota do fundo) forma canónica não-conservativa de uma pde (equação diferencial parcial)

11 exemplo, modelo #5 t x M t x 1 condição de fronteira a montante 1 condição inicial condições no contorno: I J 1 condição de fronteira a jusante 1 condição inicial análise das equações

12 problema unidimensional, caso geral: sistema de n pdes de 1ª ordem quanto à determinação das velocidades de propagação, os conceitos fundamentais são: análise das equações linearidade/não linearidade hiperbolicidade forma canónica não-conservativa de um sistema de n pdes A e B : por analogia com a equação diferencial única do exemplo anterior, as matrizes A e B dão conta das direcções e velocidades de propagação de informação física V: vector das variáveis dependentes primitivas G: vector dos termos de fonte (irrelevante para as velocidades de propagação)

13 problema unidimensional, caso geral: sistema de n pdes de 1ª ordem análise das equações os sistemas de equações de conservação associados a processos fluviais são sistemas de pdes de 1ª ordem quasi-lineares, i.e., as matrizes A e B são função das variáveis dependentes primitivas mas não das suas derivadas. linearidade/não linearidade exemplo:

14 hiperbolicidade do sistema análise das equações. o sistema é hiperbólico se tiver n direcções de propagação independentes (ver acetato para a noção de fase, velocidades de fase = características do sistema) definição:. o sistema é hiperbólico se o polinómio característico (ex: ) tiver n raízes reais distintas. o sistema é hiperbólico se a matriz A -1 B admitir n vectores próprios independentes nota: as características do sistema permitem conhecer a velocidade e a direcção de propagação da informação no domínio; falta conhecer as grandezas efectivamente propagadas!

15 hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant forma conservativa análise das equações forma não-conservativa (TPC) polinómio característico

16 hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant características do sistema: análise das equações propagação da informação para jusante (cheias) propagação da informação para montante ou jusante (efeitos de regolfo) t x P escoamento lento t x P escoamento rápido

17 hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant que informação é propagada ao longo das linhas características? ou... análise das equações pode um sistema ser escrito na forma ? sim, pode, desde que, sendo S uma matriz de mudança de base, seja possível proceder à transformação nesse caso com variáveis características: informação propagada ao longo das linhas características

18 hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant a matriz de mudança de base é, por definição composta pelos vectores próprios de M. em rigor, as linhas de S são os vectores próprios esquerdos de M. análise das equações para as equações de Saint-Venant, B = M e os vectores próprios são:

19 hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant análise das equações

20 hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant análise das equações informação propagada ao longo de

21 hiperbolicidade do sistema exemplo: equações de Saint-Venant análise das equações ao longo de exemplo: escoamento lento t x P

22 hiperbolicidade do sistema exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média análise das equações massa total conservação da massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura o polinómio característico,, é. tem três raízes reais distintas (três vectores próprios independentes). é portanto um sistema hiperbólico!

23 análise das equações hiperbolicidade do sistema exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média linhas características, comparação com as equações de Saint-Venant para água limpa concentrações calculadas por: linha vermelha ( ) fórmula de Meyer-Peter & Muller; linha azul ( ) fórmula de Bagnold. notas: - (1) é, fundamentalmente, idêntica à água limpa; - (2) e (3) são afectadas pelo transporte de sedimentos; - se Fr < 0.7 o sistema exibe duas escalas distintas.

24 análise das equações hiperbolicidade do sistema exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média t x P Fr < 0.7 t x P Fr > 1.0 aspecto das linhas características (notar que as características não mudam de sinal com Fr... como se define o regime crítico?)

25 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões separação de escalas: se Fr < 0.7, (2) é aproximadamente igual a e (3) é aproximadamente igual a s (justifica o modelo #5) massa total massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura

26 análise das equações separação de escalas: se Fr < 0.7, o modelo #5 representa uma boa aproximação. resolução desacoplada (I) do sistema de equações porque t x P t x P - propagação na fase líquida resolvida como uma sucessão de regimes permanentes; velocidades de propagação (1) e (2) infinitas ( (2) determina o sinal, consoante o número de Froude); - num dado t, a equação da fase líquida é resolvida antes da equação relativa à evolução morfológica (problemas: ver acetatos). estudo da hiperbolicidade; conclusões

27 análise das equações separação de escalas: se Fr < 0.7, o modelo #5 representa uma boa aproximação. resolução desacoplada (II) do sistema de equações porque t x - num dado t, as equações (dinâmicas completas, ie. com termos de inércia local) da fase líquida são resolvidas antes das equações relativas à conservação da massa de sedimentos e do leito (problemas: ver acetatos). estudo da hiperbolicidade; conclusões M - localmente:

28 análise das equações condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em equilíbrio: M t x J I montante: hidrograma de caudais sólidos e líquidos ou hidrograma de caudais sólidos e alturas do escoamento jusante: curva de vazão (Fr < 1) ou evolução temporal da cota do fundo (Fr > 1) iniciais: h, u e Y b CFM 1 CFM 2 CFJ CIs estudo da hiperbolicidade; conclusões

29 análise das equações condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em equilíbrio: M t x J I montante: notar que a variável dependente é a cota do fundo, Y b, mas a condição de fronteira relativa a s = (2) é expressa em termos de Q s. há que converter, na vizinhança da fronteira, o caudal sólido em equilíbrio em cotas do fundo; CFM 1 CFM 2 CFJ CIs estudo da hiperbolicidade; conclusões em modelos desacoplados este procedimento pode levar ao mau- condicionamento do problema (oscilações que crescem a partir da fronteira).

30 análise das equações condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em desequilíbrio (C b é variável dependente): t x CIs estudo da hiperbolicidade; conclusões I CFM 1 CFM 2 M CFJ J P notas: i) Q s é facilmente introduzido na equação de conservação da massa de sedimentos na camada de transporte; ii) não se pode prescrever a cota do fundo nas fronteiras sob pena de provocar o mau condicionamento do problema.

31 análise das equações condições iniciais e de fronteira: - em geral, o número de condições independentes a especificar numa dada superfície de contorno é igual ao número de linhas características que entram por essa superfíce; - simbolicamente: estudo da hiperbolicidade; conclusões em que C (k) é a expressão vectorial da linha caracterísitca cuja velocidade de fase é (k).

32 análise das equações problemas descontínuos, soluções fracas. estudo da hiperbolicidade; conclusões forma conservativa: forma não-conservativa: com: o aparecimento de soluções descontínuas é inevitável!

33 análise das equações problemas descontínuos, soluções fracas. estudo da hiperbolicidade; conclusões dxdx dtdt t1t1 t 1 +dt x1x1 x 1 +dx U+U+ U caminho do choque

34 análise das equações soluções fracas – solução descontínua num número contável de pontos. exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations. estudo da hiperbolicidade; conclusões teorema de Lax (1957): se i) o sistema de equações é estritamente hiperbólico, se os fluxos são funções contínuas e diferenciáveis e iii) se a amplitude da descontinuidade inicial é finita, então a solução do problema de Riemann consiste em n ondas (choques ou ondas de expansão), em que n é a dimensão da matriz jacobiana do sistema, mediados por n+1 estados constantes.

35 análise das equações soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos. exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations. estudo da hiperbolicidade; conclusões x t onda de expansão associada a choque associado a através do choque - condições de Rankine-Hugoniot: através da onda de expansão – quasi-invariantes de Riemann:

36 análise das equações soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos. exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations. estudo da hiperbolicidade; conclusões solução para a onda de expansão: solução para o estado constante e para o choque: incógnitas: h *, u * e S

37 análise das equações soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos. exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow- water equations. estudo da hiperbolicidade; conclusões


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