análise das equações de conservação

Apresentação em tema: "análise das equações de conservação"— Transcrição da apresentação:

1 análise das equações de conservação
Aula 9 análise das equações de conservação

2 sistema físico modelo de camadas múltiplas La
transporte em suspensão La transporte por arrastamento camada de mistura substrato h = hs + hb: profundidade do escoamento hs : espessura da camada de transporte em suspensão hb : espessura da camada de transporte por arrastamento La : espessura da camada de mistura Yb : cota do fundo

3 modelo conceptual granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente massa total conservação da massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura variáveis dependentes: equações de fecho: : profundidade do escoamento : concentração de sedimentos : velocidade média do escoamento : declive da linha de energia : cota do fundo

4 análise das equações motivação
considere-se a equação de advecção pura de uma grandeza C: (A) seja, para simplificar o cálculo,  e G constantes. em particular, seja: considere-se o problema de valores iniciais e de fronteira representado por (A) e pelas condições de fronteira e iniciais: C x comportamento esperado:

5 análise das equações motivação
discretize-se a derivada espacial por diferenças “upwind” e a derivada temporal por diferenças de 1ª ordem: i i+1 i1 n n+1 discretize-se o domínio de cálculo em 10 secções de cálculo (9 trechos) e proceda-se ao cálculo numérico considerando

6 análise das equações motivação
discretize-se o domínio de cálculo em 10 secções de cálculo (9 trechos) e proceda-se ao cálculo numérico i i+1 i1 n n+1

7 análise das equações motivação análise:
note-se que a derivada material de uma grandeza C se escreve, num referencial Eulereano: i i+1 i1 n n+1 comparando com a equação (A) conclui-se que i.e.,  tem o significado físico de uma velocidade de propagação conclusão: existe uma velocidade física para a propagação de informação relativa a um fenómeno essencialmente advectivo e, também, uma velocidade numérica de propagação; num modelo numérico, terão que ser compatíveis!

8 análise das equações motivação
direcção de propagação física: jusante para montante i i+1 i1 n n+1 direcção de propagação numérica: montante para jusante se se colocar a condição de fronteira na secção correcta (jusante) e se discretizar o termo equação convectivo da equação (A) por diferenças finitas de 1ª ordem “downwind” obtém-se

9 análise das equações objectivos da análise matemática dos modelos de transporte de sedimentos - determinar as velocidades (magnitude e sentido) de propagação de informação inerentes ao modelo conceptual - determinar a natureza da informação propagada aplicações - determinação do número e natureza das condições de fronteira e iniciais - escolha dos esquemas numéricos em face da correcta propagação da informação no domínio de cálculo

10 análise das equações exemplo, modelo #5 velocidade de propagação:
conservação da massa de sedimentos velocidade de propagação termos de fonte forma canónica não-conservativa de uma pde (equação diferencial parcial) derivada temporal gradiente velocidade de propagação: t x P t x P grandeza transportada: (perturbações na cota do fundo)

11 análise das equações exemplo, modelo #5 condições no contorno: t t x J
1 condição de fronteira a montante 1 condição inicial 1 condição de fronteira a jusante 1 condição inicial

12 análise das equações problema unidimensional, caso geral: sistema de n pdes de 1ª ordem forma canónica não-conservativa de um sistema de n pdes V: vector das variáveis dependentes primitivas G: vector dos termos de fonte (irrelevante para as velocidades de propagação) A e B : por analogia com a equação diferencial única do exemplo anterior, as matrizes A e B dão conta das direcções e velocidades de propagação de informação física quanto à determinação das velocidades de propagação, os conceitos fundamentais são: linearidade/não linearidade hiperbolicidade

13 análise das equações problema unidimensional, caso geral: sistema de n pdes de 1ª ordem linearidade/não linearidade os sistemas de equações de conservação associados a processos fluviais são sistemas de pdes de 1ª ordem quasi-lineares, i.e., as matrizes A e B são função das variáveis dependentes primitivas mas não das suas derivadas. exemplo:

14 análise das equações hiperbolicidade do sistema definição:
(ver acetato para a noção de fase, velocidades de fase = características do sistema) definição: . o sistema é hiperbólico se tiver n direcções de propagação independentes . o sistema é hiperbólico se o polinómio característico (ex: ) tiver n raízes reais distintas . o sistema é hiperbólico se a matriz A-1B admitir n vectores próprios independentes nota: as características do sistema permitem conhecer a velocidade e a direcção de propagação da informação no domínio; falta conhecer as grandezas efectivamente propagadas!

15 análise das equações hiperbolicidade do sistema
exemplo: equações de Saint-Venant forma conservativa forma não-conservativa (TPC) polinómio característico

16 análise das equações hiperbolicidade do sistema
exemplo: equações de Saint-Venant características do sistema: propagação da informação para jusante (cheias) propagação da informação para montante ou jusante (efeitos de regolfo) t x P escoamento lento t x P escoamento rápido

17 análise das equações hiperbolicidade do sistema
exemplo: equações de Saint-Venant que informação é propagada ao longo das linhas características? ou... pode um sistema ser escrito na forma ? variáveis características: informação propagada ao longo das linhas características sim, pode, desde que, sendo S uma matriz de mudança de base, seja possível proceder à transformação nesse caso com

18 análise das equações hiperbolicidade do sistema
exemplo: equações de Saint-Venant a matriz de mudança de base é, por definição composta pelos vectores próprios de M. em rigor, as linhas de S são os vectores próprios esquerdos de M. para as equações de Saint-Venant, B = M e os vectores próprios são:

19 análise das equações hiperbolicidade do sistema
exemplo: equações de Saint-Venant

20 análise das equações hiperbolicidade do sistema
exemplo: equações de Saint-Venant informação propagada ao longo de informação propagada ao longo de

21 análise das equações hiperbolicidade do sistema
exemplo: equações de Saint-Venant ao longo de ao longo de exemplo: escoamento lento t x P

22 análise das equações hiperbolicidade do sistema
exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média massa total conservação da massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura o polinómio característico, , é . tem três raízes reais distintas (três vectores próprios independentes). é portanto um sistema hiperbólico!

23 análise das equações hiperbolicidade do sistema
exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média linhas características, comparação com as equações de Saint-Venant para água limpa concentrações calculadas por: linha vermelha ( ) fórmula de Meyer-Peter & Muller; linha azul ( ) fórmula de Bagnold. notas: - (1) é, fundamentalmente, idêntica à água limpa; - (2) e (3) são afectadas pelo transporte de sedimentos; - se Fr < 0.7 o sistema exibe duas escalas distintas.

24 análise das equações hiperbolicidade do sistema
exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média aspecto das linhas características (notar que as características não mudam de sinal com Fr... como se define o regime crítico?) Fr < 0.7 Fr > 1.0 t x t P P x

25 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões
separação de escalas: se Fr < 0.7, (2) é aproximadamente igual a e (3) é aproximadamente igual a s (justifica o modelo #5) massa total massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura

26 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões
separação de escalas: se Fr < 0.7, o modelo #5 representa uma boa aproximação. resolução desacoplada (I) do sistema de equações porque - propagação na fase líquida resolvida como uma sucessão de regimes permanentes; velocidades de propagação l(1) e l(2) infinitas (l(2) determina o sinal, consoante o número de Froude); - num dado Dt, a equação da fase líquida é resolvida antes da equação relativa à evolução morfológica (problemas: ver acetatos). t x t x P P

27 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões
separação de escalas: se Fr < 0.7, o modelo #5 representa uma boa aproximação. resolução desacoplada (II) do sistema de equações porque - num dado Dt, as equações (dinâmicas completas, ie. com termos de inércia local) da fase líquida são resolvidas antes das equações relativas à conservação da massa de sedimentos e do leito (problemas: ver acetatos). - localmente: t x M

28 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões
condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em equilíbrio: jusante: curva de vazão (Fr < 1) ou evolução temporal da cota do fundo (Fr > 1) t x M CFM 1 J CFM 2 montante: hidrograma de caudais sólidos e líquidos ou hidrograma de caudais sólidos e alturas do escoamento CFJ I CIs iniciais: h, u e Yb

29 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões
condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em equilíbrio: montante: notar que a variável dependente é a cota do fundo, Yb, mas a condição de fronteira relativa a ls = l(2) é expressa em termos de Qs. há que converter, na vizinhança da fronteira, o caudal sólido em equilíbrio em cotas do fundo; t x M J CFM 1 CFM 2 CFJ I em modelos desacoplados este procedimento pode levar ao mau-condicionamento do problema (oscilações que crescem a partir da fronteira). CIs

30 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões
condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em desequilíbrio (Cb é variável dependente): notas: i) Qs é facilmente introduzido na equação de conservação da massa de sedimentos na camada de transporte; ii) não se pode prescrever a cota do fundo nas fronteiras sob pena de provocar o mau condicionamento do problema. t x P CFM 1 CFM 2 M CFJ J I CIs

31 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões
condições iniciais e de fronteira: - em geral, o número de condições independentes a especificar numa dada superfície de contorno é igual ao número de linhas características que “entram” por essa superfíce; - simbolicamente: em que C(k) é a expressão vectorial da linha caracterísitca cuja velocidade de fase é l(k).

32 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões
problemas descontínuos, soluções fracas. forma conservativa: forma não-conservativa: com: o aparecimento de soluções descontínuas é inevitável!

33 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões t1+dt U+ dt
problemas descontínuos, soluções fracas. t1+dt U+ caminho do choque dt U- t1 x1 dx x1+dx

34 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões
soluções fracas – solução descontínua num número contável de pontos. exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations. teorema de Lax (1957): se i) o sistema de equações é estritamente hiperbólico, se os fluxos são funções contínuas e diferenciáveis e iii) se a amplitude da descontinuidade inicial é finita, então a solução do problema de Riemann consiste em n ondas (choques ou ondas de expansão), em que n é a dimensão da matriz jacobiana do sistema, mediados por n+1 estados constantes.

35 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões
soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos. exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations. onda de expansão associada a l- t através do choque - condições de Rankine-Hugoniot: choque associado a l+ x através da onda de expansão – quasi-invariantes de Riemann:

36 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões
soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos. exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations. solução para a onda de expansão: solução para o estado constante e para o choque: incógnitas: h*, u* e S

37 análise das equações estudo da hiperbolicidade; conclusões
soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos. exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.