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ENG309 – Fenômenos de Transporte III Prof. Dr. Marcelo José Pirani Departamento de Engenharia Mecânica UFBA – Universidade Federal da Bahia.

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1 ENG309 – Fenômenos de Transporte III Prof. Dr. Marcelo José Pirani Departamento de Engenharia Mecânica UFBA – Universidade Federal da Bahia

2 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Figura 8.1: Desenvolvimento de Camada Limite fluidodinâmica laminar em um tubo circular. 8.1.1. Condições de Escoamento 8.1. Considerações Fluidodinâmicas

3 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.1. Condições de Escoamento 8.1. Considerações Fluidodinâmicas Experiência de Reynolds.

4 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.1. Condições de Escoamento 8.1. Considerações Fluidodinâmicas Esquema do experimento.

5 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.1. Condições de Escoamento 8.1. Considerações Fluidodinâmicas Padrões de Escoamento.

6 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Escoamento Externo 8.1.1. Condições de Escoamento Escoamento Interno Laminar Turbulento Laminar Turbulento Região de Entrada Região Plenamente Desenvolvida Região de Entrada Região Plenamente Desenvolvida

7 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular Onde: - u m é a velocidade média do fluido na seção transversal - D é o diâmetro do tubo Número de Reynolds Crítico 8.1.1. Condições de Escoamento (8.1) (8.2)

8 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento laminar (Re 2300, entrada convergente arredondada) Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento turbulento (Re > 2300) 8.1.1. Condições de Escoamento Para escoamento turbulento será admitido x/D>10

9 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.2. A Velocidade Média Escoamento Externo Velocidade da corrente livre Escoamento Interno Velocidade média Número de Reynolds então fica: (8.6) Isolando u m resulta:

10 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.2. A Velocidade Média Representando a vazão mássica pela integral de.u na seção transversal, tem-se: Como então (8.8) (8.7)

11 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.2. A Velocidade Média roro dr r r roro

12 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Para escoamento laminar de um fluido incompressível com propriedades físicas constantes, na região plenamente desenvolvida, as equações de continuidade e quantidade de movimento em coordenadas cilíndricas tem, respectivamente, as formas:

13 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Na região plenamente desenvolvida, as partículas de fluido movimentam-se paralela ao eixo x, assim: Fazendo v=0 na equação da continuidade, resulta: Ou seja, a componente axial u independe de x

14 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido A equação do momento em r, considerando v=0 e F r =0 resulta: Ou seja, a pressão é independente de r ( )

15 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido A equação do momento em x, considerando: ou ou ainda: (8.12)

16 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Integrando a 1 ª vez resulta: Integrando a 2 ª vez, resulta:

17 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Utilizando as condições de contorno e (8.13) em resulta:

18 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Substituindo resulta: em Isolando dp/dx e substituindo em (8.13), resulta: (8.13) (8.8) (8.15) (8.14)

19 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Para o engenheiro é importante o conhecimento da queda de pressão do escoamento em uma tubulação. A queda de pressão determina a potência da bomba ou do ventilador Para a determinação da queda de pressão é conveniente a utilização do fator de atrito, dado por: (8.16)

20 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Não se deve confundir fator de atrito f com coeficiente de atrito C f (8.17) Como s = - (du/dr) r = ro e com (8.13) a relação entre f e C f fica: (8.18)

21 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Substituindo e em (8.19) resulta

22 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Para escoamento turbulento plenamente desenvolvido Diagrama de Moody

23 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido

24 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Para escoamento turbulento plenamente desenvolvido e superfície lisa Para uma ampla faixa de Re D (por Petukhov) (8.20a) (8.20b) (8.21)

25 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Com a determinação do fator de atrito, a queda de pressão pode ser determinada como segue: (8.22a) Com a determinação da queda de pressão a potência requerida pela bomba pode ser determinada como segue: Onde é a vazão volumétrica (8.22b)

26 8.2. Considerações Térmicas CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno

27 8.2. Considerações Térmicas CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Comprimento de entrada térmica para escoamento laminar (8.23) em comparação ao comprimento de entrada fluidodinâmica Comprimento de entrada térmica para escoamento turbulento

28 8.2. Considerações Térmicas CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.1. A Temperatura Média Escoamento ExternoEscoamento Interno Velocidade na corrente livre Velocidade Média Temperatura na corrente livre Temperatura Média Equação 1.11e As temperaturas nas seções transversais não são uniformes para a convecção em escoamento interno É necessária a definição de uma temperatura média

29 8.2. Considerações Térmicas CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.1. A Temperatura Média Para escoamento em tubo circular com e c p constantes e : (8.24) (8.25) (8.26)

30 8.2. Considerações Térmicas CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.2. Lei do Resfriamento de Newton (8.27) Onde h é o coeficiente de transferência de calor local T m e T (para esc. externo) são essencialmente diferentes - T é constante ao longo do escoamento (ao longo de x) - T m varia ao longo do escoamento (ao longo de x)

31 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de fato atingidas?

32 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas Introduzindo uma diferença de temperaturas adimensional na forma O escoamento é considerado termicamente desenvolvido quando: (8.28) Válida para - Temperatura Superficial Uniforme e - Fluxo Térmico Uniforme na superfície

33 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas Como a diferença de temperatura adimensional é independente de x, sua derivada em relação a r também é independente de x, ou seja: Da Lei de Fourier Da Lei do Resfriamento de Newton Manipulando as 3 equações anteriores, resulta:

34 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas No escoamento termicamente plenamente desenvolvido de um fluido com propriedades constantes o coeficiente de transferência de calor por convecção local (h) é uma constante independente de x. Na entrada, h varia com x (8.28)

35 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas Figura 8.5: Variação de h em um tubo.

36 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas Para fluxo térmico na superfície uniforme, tem-se: Para temperatura superficial constante, tem-se:

37 8.3. O Balanço de Energia CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.1. Considerações Gerais Partindo da Equação (1.11e) e aplicando acima: (8.34) (8.36)

38 8.3. O Balanço de Energia CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.1. Considerações Gerais representando Rearranjando e substituindo (8.37)

39 8.3. O Balanço de Energia CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.1. Considerações Gerais (8.37) A solução da equação (8.37) depende da condição térmica da superfície. Serão consideradas dois casos: - Fluxo térmico constante na superfície; - Temperatura superficial constante.

40 8.3. O Balanço de Energia CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.2. Fluxo Térmico na Superfície Constante Integrando a Equação (8.37) desde x=0: (8.37) A taxa de transferência de calor é dada por: (8.38)

41 8.3. O Balanço de Energia CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.2. Fluxo Térmico na Superfície Constante

42 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Fazendo (T s -T m )= T na equação (8.37) Separando variáveis e integrando

43 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Resolvendo a integração, resulta: Lembrando que é, por definição o coeficiente de convecção médio,ou tem-se: (8.41a)

44 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Reordenando resulta: Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição x no interior do tubo, o resultado tem a forma mais geral: (T s -T m ) Decai exponencialmente com x (8.41b) (8.42)

45 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante

46 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Taxa de transferência de calor Da equação (8.34) Somando e subtraindo T s Substituindo tirado da Equação (8.41a)

47 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Taxa de transferência de calor Onde - É a área da superfície do tubo - É a média logarítmica de temperatura dada por: (8.44) (8.43)

48 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Taxa de transferência de calor Se no lugar da temperatura da superfície for conhecida a temperatura do fluido externo ao tubo, tem-se: e Onde é o coeficiente global de transferência de calor desenvolvido no capítulo 3 (8.45a) (8.46a)

49 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Taxa de transferência de calor As equações (8.45a) e (8.46a) podem ser escritas como: e Onde (8.45b) (8.46b)

50 8.4. Escoamento Laminar em Tubos Circulares: Análise Térmica e Correlações da Convecção CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.4.1. Região Plenamente Desenvolvida Para fluxo de calor constante Para temperatura da superfície constante (8.53) (8.55) Obs.: - Fluido incompressível com propriedades constantes - k é avaliado em T m

51 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.4.2. A Região de Entrada (8.56) Comprimento de entrada térmica ou comprimento de entrada combinada com Pr 5 (T s constante) Obs.: Exceto para s todas as propriedades devem ser estimadas em :

52 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.4.2. A Região de Entrada (8.57) Comprimento de entrada combinada (T s constante) Obs.: Exceto para s todas as propriedades devem ser estimadas em :

53 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.4.2. A Região de Entrada

54 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.59) Equação de Colburn (Escoamento plenamente desenvolvido)

55 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.60) Equação de Dittus-Boelter Todas as propriedades devem ser estimadas a T m

56 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.61) Equação de Sieder e Tate (Escoamento com grandes variações das propriedades) Exceto para s todas as propriedades devem ser estimadas a T m

57 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.62) Equação de Gnielinski (Menor erro) As propriedades devem ser estimadas a T m

58 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.64) (8.65) Equação de Skupinski et al. (Metais Líquidos) Equação de Seban e Shimazaki (Metais Líquidos)

59 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno É razoável admitir que o número de Nusselt médio em todo o tubo seja igual ao valor associado a região de escoamento plenamente desenvolvido para L/D > 60. Ao se determinar o número de Nusselt médio todas as propriedades dos fluidos devem ser estimadas na média aritmética da temperatura média, ou seja:

60 8.6. Correlações da Convecção: Tubos Não-Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.66) Utiliza-se as mesmas correlações dos tubos circulares; Deve ser utilizado o diâmetro hidráulico definido como: onde: - A tr é a área da seção transversal; - P é o perímetro molhado

61 8.6. Correlações da Convecção: Tubos Não-Circulares, Escoamento Laminar CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno

62 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno

63 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.67) (8.68) (8.69) (8.70) (8.71)

64 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Escoamento laminar plenamente desenvolvido; Uma superfície termicamente isolada e a outra superfície a temperatura constante.

65 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.73) (8.72) Escoamento laminar plenamente desenvolvido; Fluxo térmico constante em ambas as superfícies.

66 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.73) (8.72)

67 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Escoamento turbulento plenamente desenvolvido; Utilizar equação de Dittus-Boelter (Equação 8.60) com o emprego do diâmetro hidráulico (8.60) (8.71)


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