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ENG309 – Fenômenos de Transporte III Prof. Dr. Marcelo José Pirani Departamento de Engenharia Mecânica UFBA – Universidade Federal da Bahia.

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1 ENG309 – Fenômenos de Transporte III Prof. Dr. Marcelo José Pirani Departamento de Engenharia Mecânica UFBA – Universidade Federal da Bahia

2 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Figura 8.1: Desenvolvimento de Camada Limite fluidodinâmica laminar em um tubo circular Condições de Escoamento 8.1. Considerações Fluidodinâmicas

3 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Condições de Escoamento 8.1. Considerações Fluidodinâmicas Experiência de Reynolds.

4 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Condições de Escoamento 8.1. Considerações Fluidodinâmicas Esquema do experimento.

5 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Condições de Escoamento 8.1. Considerações Fluidodinâmicas Padrões de Escoamento.

6 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Escoamento Externo Condições de Escoamento Escoamento Interno Laminar Turbulento Laminar Turbulento Região de Entrada Região Plenamente Desenvolvida Região de Entrada Região Plenamente Desenvolvida

7 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular Onde: - u m é a velocidade média do fluido na seção transversal - D é o diâmetro do tubo Número de Reynolds Crítico Condições de Escoamento (8.1) (8.2)

8 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento laminar (Re 2300, entrada convergente arredondada) Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento turbulento (Re > 2300) Condições de Escoamento Para escoamento turbulento será admitido x/D>10

9 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno A Velocidade Média Escoamento Externo Velocidade da corrente livre Escoamento Interno Velocidade média Número de Reynolds então fica: (8.6) Isolando u m resulta:

10 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno A Velocidade Média Representando a vazão mássica pela integral de.u na seção transversal, tem-se: Como então (8.8) (8.7)

11 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno A Velocidade Média roro dr r r roro

12 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Para escoamento laminar de um fluido incompressível com propriedades físicas constantes, na região plenamente desenvolvida, as equações de continuidade e quantidade de movimento em coordenadas cilíndricas tem, respectivamente, as formas:

13 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Na região plenamente desenvolvida, as partículas de fluido movimentam-se paralela ao eixo x, assim: Fazendo v=0 na equação da continuidade, resulta: Ou seja, a componente axial u independe de x

14 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido A equação do momento em r, considerando v=0 e F r =0 resulta: Ou seja, a pressão é independente de r ( )

15 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido A equação do momento em x, considerando: ou ou ainda: (8.12)

16 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Integrando a 1 ª vez resulta: Integrando a 2 ª vez, resulta:

17 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Utilizando as condições de contorno e (8.13) em resulta:

18 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Substituindo resulta: em Isolando dp/dx e substituindo em (8.13), resulta: (8.13) (8.8) (8.15) (8.14)

19 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Para o engenheiro é importante o conhecimento da queda de pressão do escoamento em uma tubulação. A queda de pressão determina a potência da bomba ou do ventilador Para a determinação da queda de pressão é conveniente a utilização do fator de atrito, dado por: (8.16)

20 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Não se deve confundir fator de atrito f com coeficiente de atrito C f (8.17) Como s = - (du/dr) r = ro e com (8.13) a relação entre f e C f fica: (8.18)

21 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Substituindo e em (8.19) resulta

22 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Para escoamento turbulento plenamente desenvolvido Diagrama de Moody

23 Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido

24 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Para escoamento turbulento plenamente desenvolvido e superfície lisa Para uma ampla faixa de Re D (por Petukhov) (8.20a) (8.20b) (8.21)

25 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Com a determinação do fator de atrito, a queda de pressão pode ser determinada como segue: (8.22a) Com a determinação da queda de pressão a potência requerida pela bomba pode ser determinada como segue: Onde é a vazão volumétrica (8.22b)

26 8.2. Considerações Térmicas CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno

27 8.2. Considerações Térmicas CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Comprimento de entrada térmica para escoamento laminar (8.23) em comparação ao comprimento de entrada fluidodinâmica Comprimento de entrada térmica para escoamento turbulento

28 8.2. Considerações Térmicas CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno A Temperatura Média Escoamento ExternoEscoamento Interno Velocidade na corrente livre Velocidade Média Temperatura na corrente livre Temperatura Média Equação 1.11e As temperaturas nas seções transversais não são uniformes para a convecção em escoamento interno É necessária a definição de uma temperatura média

29 8.2. Considerações Térmicas CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno A Temperatura Média Para escoamento em tubo circular com e c p constantes e : (8.24) (8.25) (8.26)

30 8.2. Considerações Térmicas CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Lei do Resfriamento de Newton (8.27) Onde h é o coeficiente de transferência de calor local T m e T (para esc. externo) são essencialmente diferentes - T é constante ao longo do escoamento (ao longo de x) - T m varia ao longo do escoamento (ao longo de x)

31 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Condições Plenamente Desenvolvidas As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de fato atingidas?

32 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Condições Plenamente Desenvolvidas Introduzindo uma diferença de temperaturas adimensional na forma O escoamento é considerado termicamente desenvolvido quando: (8.28) Válida para - Temperatura Superficial Uniforme e - Fluxo Térmico Uniforme na superfície

33 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Condições Plenamente Desenvolvidas Como a diferença de temperatura adimensional é independente de x, sua derivada em relação a r também é independente de x, ou seja: Da Lei de Fourier Da Lei do Resfriamento de Newton Manipulando as 3 equações anteriores, resulta:

34 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Condições Plenamente Desenvolvidas No escoamento termicamente plenamente desenvolvido de um fluido com propriedades constantes o coeficiente de transferência de calor por convecção local (h) é uma constante independente de x. Na entrada, h varia com x (8.28)

35 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Condições Plenamente Desenvolvidas Figura 8.5: Variação de h em um tubo.

36 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Condições Plenamente Desenvolvidas Para fluxo térmico na superfície uniforme, tem-se: Para temperatura superficial constante, tem-se:

37 8.3. O Balanço de Energia CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Considerações Gerais Partindo da Equação (1.11e) e aplicando acima: (8.34) (8.36)

38 8.3. O Balanço de Energia CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Considerações Gerais representando Rearranjando e substituindo (8.37)

39 8.3. O Balanço de Energia CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Considerações Gerais (8.37) A solução da equação (8.37) depende da condição térmica da superfície. Serão consideradas dois casos: - Fluxo térmico constante na superfície; - Temperatura superficial constante.

40 8.3. O Balanço de Energia CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Fluxo Térmico na Superfície Constante Integrando a Equação (8.37) desde x=0: (8.37) A taxa de transferência de calor é dada por: (8.38)

41 8.3. O Balanço de Energia CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Fluxo Térmico na Superfície Constante

42 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Temperatura Superficial Constante Fazendo (T s -T m )= T na equação (8.37) Separando variáveis e integrando

43 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Temperatura Superficial Constante Resolvendo a integração, resulta: Lembrando que é, por definição o coeficiente de convecção médio,ou tem-se: (8.41a)

44 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Temperatura Superficial Constante Reordenando resulta: Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição x no interior do tubo, o resultado tem a forma mais geral: (T s -T m ) Decai exponencialmente com x (8.41b) (8.42)

45 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Temperatura Superficial Constante

46 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Temperatura Superficial Constante Taxa de transferência de calor Da equação (8.34) Somando e subtraindo T s Substituindo tirado da Equação (8.41a)

47 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Temperatura Superficial Constante Taxa de transferência de calor Onde - É a área da superfície do tubo - É a média logarítmica de temperatura dada por: (8.44) (8.43)

48 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Temperatura Superficial Constante Taxa de transferência de calor Se no lugar da temperatura da superfície for conhecida a temperatura do fluido externo ao tubo, tem-se: e Onde é o coeficiente global de transferência de calor desenvolvido no capítulo 3 (8.45a) (8.46a)

49 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Temperatura Superficial Constante Taxa de transferência de calor As equações (8.45a) e (8.46a) podem ser escritas como: e Onde (8.45b) (8.46b)

50 8.4. Escoamento Laminar em Tubos Circulares: Análise Térmica e Correlações da Convecção CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Região Plenamente Desenvolvida Para fluxo de calor constante Para temperatura da superfície constante (8.53) (8.55) Obs.: - Fluido incompressível com propriedades constantes - k é avaliado em T m

51 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno A Região de Entrada (8.56) Comprimento de entrada térmica ou comprimento de entrada combinada com Pr 5 (T s constante) Obs.: Exceto para s todas as propriedades devem ser estimadas em :

52 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno A Região de Entrada (8.57) Comprimento de entrada combinada (T s constante) Obs.: Exceto para s todas as propriedades devem ser estimadas em :

53 CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno A Região de Entrada

54 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.59) Equação de Colburn (Escoamento plenamente desenvolvido)

55 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.60) Equação de Dittus-Boelter Todas as propriedades devem ser estimadas a T m

56 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.61) Equação de Sieder e Tate (Escoamento com grandes variações das propriedades) Exceto para s todas as propriedades devem ser estimadas a T m

57 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.62) Equação de Gnielinski (Menor erro) As propriedades devem ser estimadas a T m

58 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.64) (8.65) Equação de Skupinski et al. (Metais Líquidos) Equação de Seban e Shimazaki (Metais Líquidos)

59 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno É razoável admitir que o número de Nusselt médio em todo o tubo seja igual ao valor associado a região de escoamento plenamente desenvolvido para L/D > 60. Ao se determinar o número de Nusselt médio todas as propriedades dos fluidos devem ser estimadas na média aritmética da temperatura média, ou seja:

60 8.6. Correlações da Convecção: Tubos Não-Circulares CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.66) Utiliza-se as mesmas correlações dos tubos circulares; Deve ser utilizado o diâmetro hidráulico definido como: onde: - A tr é a área da seção transversal; - P é o perímetro molhado

61 8.6. Correlações da Convecção: Tubos Não-Circulares, Escoamento Laminar CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno

62 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno

63 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.67) (8.68) (8.69) (8.70) (8.71)

64 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Escoamento laminar plenamente desenvolvido; Uma superfície termicamente isolada e a outra superfície a temperatura constante.

65 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.73) (8.72) Escoamento laminar plenamente desenvolvido; Fluxo térmico constante em ambas as superfícies.

66 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno (8.73) (8.72)

67 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno Escoamento turbulento plenamente desenvolvido; Utilizar equação de Dittus-Boelter (Equação 8.60) com o emprego do diâmetro hidráulico (8.60) (8.71)


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