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COLÉGIO ISAAC NEWTON PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) PROF. LUCIANO VIEIRA Fonte: Trabalho de Prática IV - UFMS.

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1 COLÉGIO ISAAC NEWTON PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) PROF. LUCIANO VIEIRA Fonte: Trabalho de Prática IV - UFMS

2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) Definição: é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo é igual ao produto do termo anterior com uma constante q. O número q é chamado razão da progressão geométrica. A P.G. também é um tipo de seqüência bastante presente no nosso cotidiano. Observe a situação: Em 2007, uma empresa produziu peças de um produto. A empresa fez uma previsão que a cada ano, sua produção deve aumentar em 10% em relação ao ano anterior. Quantas peças serão produzidas a cada ano até 2012?. ( , , , , , )

3 REPRESENTAÇÃO P.G. (a 1, a 2, a 3,..., a n ) a 1 é o 1º termo da P.G.; n é o nº de termos da P.G.; a n é o último termo da P.G. ou o termo procurado ou o enésimo termo; q é a razão da P.G. O CÁLCULO DA RAZÃO Podemos usar duas fórmulas para encontrarmos a razão de uma P.G. Vejamos:... CLASSIFICAÇÃO P.G. FINITA: nº finito de termos Exemplo: (3, 6, 12, 24) a 1 = 3 a 4 = a n = 24 n = 4 q = 2 P.G. INFINITA: nº infinito de termos Exemplo: (2, 8, 32, 128, 512,...) a 1 = 2 q = 4

4 P.G. CRESCENTE: o termo posterior é maior que o anterior. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a 1 0 e q 1, ou a 1 0 e 0 q 1. Exemplos: (2, 4, 8,...); q = 2 (-4, -2, -1, -1/2,...); q = 1/2 P.G. DECRESCENTE: o termo posterior é menor que o anterior. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a 1 0 e 0 q 1, ou a 1 0 e q 1. Exemplos: (8, 4, 2, 1, ½,...); q = ½ (-1, -2, -4, -8,...); q = 2 P.G. CONSTANTE: todos os termos da P.G. são iguais, ou seja q = 1 Exemplo: (5, 5, 5, 5,...); q = 1

5 P.G. OSCILANTE: todos os seus termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais oposto. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a 1 0 e q 0. Exemplo: (3, -6, 12, -24, 48, -96,...); q = -2 P.G. QUASE NULA: o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero, isto é, a 1 0 e q = 0. Exemplo: (9, 0, 0, 0, 0,...); q = 0

6 FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.G. Voltando a situação da empresa, onde temos a P.G. ( , , , , , ), podemos calcular a quantidade de peças produzidas ano a ano multiplicando a produção inicial por potências 1,1 (110%). Assim, se quiséssemos saber a produção no ano de 2010, teríamos: a 1 = q = 1,1 Logo, a produção do ano de 2010 seria: a 2010 = a 1. q 3 a 2010 = (1,1) 3 a 2010 = ,331 a 2010 = Observem que , corresponde ao 4º termo da P.G.

7 Assim, podemos escrever todos os termos da P.G. da seguinte maneira: a 1 = a 1. q 0 a 2 = a 1. q 1 a 3 = a 1.q 2 a 4 = a 1. q 3 a 5 = a 1. q 4 a 6 = a 1. q 5 Portanto, qualquer termo a n é igual ao produto de a 1 pela potência q (n – 1), ou seja, a fórmula do termo geral da P.G. é expressa por: a n = a 1. q (n - 1) onde, a n é o último termo da P.G. ou o termo desejado ou o enésimo termo; a 1 é o primeiro termo da P.G; n é o número de termos da P.G. q é a razão da P.G.

8 A fórmula do termo geral da P.G. nos permite calcular a lei de formação de uma P.G., a razão (q), o número de termos (n), o primeiro termo (a 1 ) e o último termo ou o termo desejado (a n ). Exemplos: Dê a fórmula do termo geral ou lei de formação da P.G. (2, 4,...). a n = a 1. q (n – 1) a n = 2. 2 (n – 1) a n = 2 (n) Qual o quarto termo da P.G. (2, 8,...)? a 4 = 2. 4 (4 – 1) a 4 = a 4 = Quantos elementos tem a P.G. ( 3, 6,..., 192)? 192 = 3. 2 (n – 1) = 2 (n – 1) 64 = 2 (n – 1) n = 8

9 REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA P.G. Três termos: Cinco termos: Para P.G. com número par de termos, ou seja, sem termo central, usamos uma notação diferente em que o q da razão é em função de outro número qualquer, ou seja, q = y 2. Dois termos: Quatro termos:

10 PROPRIEDADES DA P.G. P 1 – Média Geométrica Uma seqüência de três termos em que o primeiro é diferente de zero, é P.G. se, e somente se, o quadrado do termo médio (a m ) é igual ao produto dos outros dois, isto é, sendo a 0, temos: (a, b, c) é P.G. b 2 = a.c Demonstração: Vamos analisar duas hipóteses: b 0 ou b = 0 1ª hipótese: b 0 Como a 0 e b 0, temos: Logo: (a, b, c,) é P.G. b 2 = ac 2ª hipótese: b = 0 Como a 0 e b = 0, temos: Logo: (a, b, c,) é P.G. b 2 = ac

11 P 2 – Produto dos termos eqüidistantes Numa P.G finita, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. Seja a P.G. (a 1, a 2, a 3,..., a n – 2, a n – 1, a n ), temos: a 1. a n = a 2. a n – 1 = a 3. a n – 2... : Exemplo: (2, 4, 8, 16,..., 32, 64, 128, 256)

12 INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA Interpolar, inserir ou intercalar meios geométricos entre dois números dados (extremos) é obter uma P.G. na qual os números dados sejam o primeiro e o último termo. Para isso devemos calcular a razão dessa P.G. Exemplo: Interpolar 4 meios geométricos entre 1 e 243. Observemos que a 1 = 01, a n = 243 e n = 06 (04 meios + 02 extremos). Então, falta calcular a razão da P.G. para que possamos inserir os meios. Logo,

13 SOMA DOS PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G. SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G. A soma dos n termos de uma P.G. (a n ) de razão q 1 é dada pelas fórmulas: Onde, S n = soma dos n termos da P.G.; a 1 = 1º termo da P.G; n = número de termos da P.G; q = razão da P.G. a n = enésimo termo da P.G.

14 Exemplo: Dada a P.G. (3, 6,...), determine a soma de seus 4 primeiros termos. Primeiro vamos retirar os dados que o exercício nos fornece: a 1 = 3 n = 4 q = a 2 a 1 q = 2 P.G. até o 4º termo (3, 6, 12, 24) a n = a 4 = 24 Agora é só aplicar a fórmula da soma.

15 SOMA DOS INFINITOS TERMOS DA P.G. Nas progressões geométricas em que -1 < q < 1, a soma dos n primeiros termos tem um limite finito quando n. Neste caso, q n aproxima-se de zero para n suficientemente grande, ou seja, Sabemos que Logo, Isto é:

16 Exemplo: Calcule o limite da soma dos termos da P.G. Neste caso, Então: Logo, Isso significa que quanto maior for n, a soma será mais próxima de 1.

17 PRODUTO DOS TERMOS DA P.G. O produto P n dos n termos de uma P.G. pode ser obtido por duas maneiras: Primeira maneira: Exemplo: Determine o produto dos 04 primeiros termos da P.G. (3, 6,...). Pela primeira maneira Segunda Maneira: Pela segunda maneira

18 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA P.G n anan a0a0 a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 a n = a 0. q n

19 COMO DIFERENCIAR P.A DE P.G Não existe outra maneira senão calculando a razão da seqüência apresentada. Exemplo: Dada a seqüência (1, 2, 4, 8, 16, 32,...), verifique se é P.A. ou P.G. Resolução: de cara vemos que não se trata de P.A., pois: 2 – 1 = 1; 4 – 2 = 2; 8 – 4 = 4. Verifiquemos se é P.G. 2 1 = 2; 4 2 = 2; 8 4 = 2. Portanto, temos que a seqüência dada é uma P.G.

20 COMPARAÇÃO DOS GRÁFICOS DE P.A. E P.G. A produção de alimentos cresce em progressão aritmética enquanto a população cresce em progressão geométrica. Conclusão: Fome Mundial Thomas Malthus

21 BIBLIOGRAFIA Dante, Luiz Roberto. Matemática Contextos e Aplicações Volume Único. São Paulo. Ática Paiva, Manoel. Matemática Volume Único. São Paulo. Moderna Silva, Claudio Xavier da; Filho, Benigno Barreto. Matemática Aula por Aula. São Paulo. FTD. 2005; Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo. Atual. 2004; Souza, Maria Helena de. Spinelli, Walter. Matemática. São Paulo: Ática, ia.pdf - Consultado em 06/10/2009 às 11:46; ia.pdf - Consultado em 06/10/2009 às 11:46 Consultado em 06/10/2009; Consultado em 06/10/2009 Consultado em 06/10/2009; Consultado em 06/10/2009

22 JOGANDO COM A P.A. Objetivos: estruturar seqüências lógicas, na forma de uma Progressão Aritmética, onde exista: - uma razão (r) - um 1º termo (a 1 ) - o número de termos (n) - o último termo da seqüência (a n ). O número de termos será fixo em todos os jogos, pois equivale ao número de cartas, seis. Diante disso, para a confecção do jogo será utilizado: tesoura; régua; lápis; pincel atômico ou caneta; papel cartão ou cartolina da cor desejada. O número de participantes do jogo pode variar entre 3 a 5, a critério do professor e da disponibilidade da sala. Seguiremos os seguintes passos para a confecção do material a ser utilizado durante o jogo:

23 Primeiro passo: Riscamos no papel cartão ou cartolina retângulos 6 cm x 8 cm, que serão as cartas. Segundo passo: Enumeramos as cartas de 1 a 30, duas vezes, totalizando 60 cartas. Terceiro passo: Recortamos os retângulos. Quarto passo: Depois de pronto, embaralhamos e iniciamos o jogo. O desenvolvimento do jogo Jogando com a P. A. acontece da seguinte forma: Um dos jogadores distribui seis cartas a cada participante, uma a uma. De acordo com as cartas em mãos, cada jogador raciocina de maneira lógica, e define qual será a razão de sua seqüência. Essa razão deve variar de dois a cinco, impreterivelmente. Essa razão pode ser modificada de acordo com a estratégia do jogador e o andamento do jogo. A razão escolhida deve ser mantida sobre sigilo.

24 O jogador à direita de quem distribuiu as cartas, pega uma carta e descarta outra que não é compatível à sua seqüência. As cartas descartadas só podem ser adquiridas pelo jogador à direita do descartante. Esse movimento continua até o final do jogo, em sentido anti-horário. O jogador que errar a seqüência ou os termos da P.A. sai do jogo e os outros participantes continuam. Caso as cartas acabem sem nenhum dos participantes ter completado sua seqüência, todas as cartas que foram descartadas serão embaralhadas e adquiridas novamente até uma seqüência ser completada. Será considerado vencedor do jogo, quem completar primeiro sua seqüência, com a razão escolhida, e falar aos outros participantes qual é a razão, e os termos, a 1, a n e n.

25 LISTA DE EXERCÍCIOS Dada a P.A. (-19, -15, -11,...), calcule o seu enésimo termo Encontre o valor de x para que a seqüência (2x, x + 1, 3x) seja um P.A.. Escreva a P.A. e dê o valor da razão A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Quantos termos tem a P.A.? Qual a soma dos termos da P.A. (-16, ___, -12, ___,..., 84)? Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em P.A.. Determine o termo a m dessa seqüência Qual é o vigésimo termo da P.A. (2, 8,...)? Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual a razão da P.A. obtida? Três números estão em P.A; o produto deles é 66 e a soma é 18. Calcule os três números, e escreva as P.A..

26 9. 9. No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de uma montadora esta em P.A. crescente. Em janeiro, a produção foi de carros, e em junho, de carros. Qual foi a produção dessa montadora nos meses de fevereiro, março, abril e maio? O jardim de uma praça pública possui 60 roseiras plantadas ao lado de um caminho reto e separadas a uma distancia de um metro uma da outra. Para regá-las, o jardineiro enche um regador em uma torneira que também esta ao lado do caminho e a 15 metros antes da primeira roseira. A cada viagem, ele rega três roseiras. Começando e terminando na torneira, qual a distancia total que ele terá de caminhar até regar todas as roseiras? Três números estão em P.G.; o produto deles é 729 e a soma 39. Quais são esses números? Escreva as P.G.? Numa P.G. (2, 1,...), qual o seu enésimo termo?

27 Numa P.G. crescente, o primeiro termo é 3 e o quinto termo é Qual a razão da P.G.? Qual o oitavo termo de uma P.G. na qual ? Quantos meios geométricos existe entre 1/16 e 64 com razão 4? Determine x de modo que (5, 2x + 4, 6x + 2) seja uma P.G Obtenha o 11º termo da P.G. (1/27, 1/9, 1/3,...) e a soma dos 11 primeiros termos Na P.G. (a 1, a 2, a 3,...) de razão q = 2, sabe-se que a soma dos 08 primeiros termos é 765. Determine o valor de a Qual a soma dos infinitos termos da P.G. (5, 5/2, 5/4,...)? No primeiro semestre de 2007, a produção mensal de uma indústria cresceu em P.G.. Em janeiro, a produção foi de unidades e em junho foi de unidades. Qual foi a produção dessa indústria nos meses de fevereiro, março, abril e maio? Dê o produto dos n termos da P.G. (1, -3, 9, -27).

28 Calcule a soma dos 30 primeiros múltiplos positivos de Calcule x e y, para que a sucessão (2, x, 2x +6, y) seja uma P.G. crescente Sabe-se que (x, 3x – 1, 8x – 4) é uma P.G.. Calcule x e a razão A sucessão (1, a, b) é uma P.A., e a sucessão (1, a, b + 1) é uma P.G.. Calcule a e b São dados três números inteiros em P.G. cuja soma é 26. Determine esses números sabendo que o primeiro, o dobro do segundo e o triplo do terceiro formam uma P.A Na P.G. (2, 4, 8,...), qual é a posição do termo 1024? Complete a P.G. (9/4, ___, ___, ___, ___, 8/27) Determine a soma de todos os naturais múltiplos de 4 que possuem 02 algarismos Verifique se a sucessão é uma progressão, classifique-a e dê a razão.


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