Soluções no Espaço de Estados e Realizações (C. T. Chen, Capítulo 4)

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1 Soluções no Espaço de Estados e Realizações (C. T. Chen, Capítulo 4)
Sistemas Lineares

2 Solução da descrição entrada-saída
Não há uma forma analítica simples de calcular a convolução 𝑦 𝑡 = 𝜏= 𝑡 0 𝑡 𝑔 𝑡,𝜏 𝑢 𝜏 𝑑𝜏 A forma mais simples é calcular numericamente esta equação discretizada, ou seja, calcular 𝑦 𝑘∆ = 𝑚= 𝑘 0 𝑘 𝑔 𝑘∆,𝑚∆ 𝑢 𝑚∆ ∆ (4.1)

3 Caso de Sistemas LIT Neste caso pode-se utilizar a relação 𝑦 𝑠 = 𝑔 (𝑠) 𝑢 (𝑠) para calcular a solução 𝑦(𝑡), via transformada inversa de Laplace (solução no domínio da frequência) Se o sistema é distribuído, 𝑔 (𝑠) não será uma função racional de s. Se for este o caso, exceto em alguns casos especiais é mais simples computar a solução diretamente no domínio do tempo, como em (4.1) Se o sistema é concentrado, 𝑔 (𝑠) será uma função racional de s. Neste caso, se 𝑢 (𝑠) também for uma função racional de s, então a solução pode ser obtida tomando-se a transformada de Laplace inversa de 𝑔 (𝑠) 𝑢 𝑠 . Tal método requer computar os polos, gerar a expansão em frações parciais e usar uma tabela de Transformadas de Laplace, para obter a transformada inversa de cada fração parcial. Em MATLAB usam-se as funções roots (cálculo dos polos) e residue (cálculo dos resíduos nos polos, para fazer a expansão em frações parciais).

4 Havendo polos repetidos, a computação da solução pode tornar-se muito sensível a pequenas variações nos dados, como erros causados por arredondamento. Portanto, computar a solução via Transformada de Laplace não é um método viável em computadores digitais, pois sempre haverá erros numéricos Um método mais adequado é transformar funções de transferência em equações no espaço de estados, e então calcular sua solução

5 Solução de Equações de Estado LIT
Sejam as equações no espaço de estados lineares e invariantes no tempo 𝐱 𝑡 =𝐀𝐱 𝑡 +𝐁𝐮 𝑡 𝐲 𝑡 =𝐂𝐱 𝑡 +𝐃𝐮 𝑡 onde 𝐀, 𝐁, 𝐂, e 𝐃 são matrizes constantes 𝑛𝑥𝑛, 𝑛𝑥𝑝, 𝑞𝑥𝑛, e 𝑞𝑥𝑝, respectivamente, 𝐱(𝑡) é um vetor 𝑛𝑥1, 𝐮(𝑡) é um vetor 𝑝𝑥1 e 𝐲(𝑡) é um vetor 𝑞𝑥1. Deseja-se obter a solução excitada pelo estado inicial 𝐱(0) e a entrada 𝐮(𝑡). Tal solução depende da função exponencial de 𝐀 estudada na Seção 3.6.

6 Propriedades importantes de 𝑒 𝐀𝑡
A função mais importante de 𝐀 é a função exponencial 𝑒 𝐀𝑡 . Dado que a série de Taylor 𝑒 𝜆𝑡 =1+𝜆𝑡+ 𝜆 2 𝑡 2 2! +⋯+ 𝜆 𝑛 𝑡 𝑛 𝑛! +⋯ converge para todos 𝜆 e 𝑡, tem-se que 𝑒 𝐀𝑡 =𝐈+𝐀𝑡+ 𝐀 2 𝑡 2 2! +⋯= 𝑘=0 ∞ 1 𝑘! 𝑡 𝑘 𝐀 𝑘 (3.51) Propriedades importantes de 𝑒 𝐀𝑡 𝑒 𝟎 =𝐈 𝑒 𝐀( 𝑡 1 + 𝑡 2 ) = 𝑒 𝐀 𝑡 1 𝑒 𝐀 𝑡 (3.53) 𝑒 𝐀𝑡 −1 = 𝑒 −𝐀𝑡 (3.54)

7 Para provar (3. 54), toma-se (3
Para provar (3.54), toma-se (3.53) com 𝑡 2 =− 𝑡 1 e leva-se em conta (3.52). Para calcular 𝑑 𝑑𝑡 𝑒 𝐀𝑡 , basta diferenciar termo a termo (3.51), obtendo-se 𝑑 𝑑𝑡 𝑒 𝐀𝑡 = 𝑘=1 ∞ 1 (𝑘−1)! 𝑡 𝑘−1 𝐀 𝑘 =𝐀 𝑘=1 ∞ 1 (𝑘−1)! 𝑡 𝑘−1 𝐀 𝑘−1 = 𝑘=1 ∞ 1 (𝑘−1)! 𝑡 𝑘−1 𝐀 𝑘−1 𝐀=𝐀 𝑚=0 ∞ 1 𝑚! 𝑡 𝑚 𝐀 𝑚 = 𝑚=0 ∞ 1 𝑚! 𝑡 𝑚 𝐀 𝑚 𝐀=𝐀 𝑒 𝐀𝑡 = 𝑒 𝐀𝑡 𝐀 que é o resultado em (3.55).

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9 Verificando que (4.5) é solução de (4.2)
Devemos mostrar que (4.5) satisfaz (4.2) e a condição inicial 𝐱(𝑡)=𝐱(0) em 𝑡=0. Para 𝑡=0, (4.5) se reduz a 𝐱 0 = 𝑒 𝐀.0 𝐱 0 = 𝑒 𝟎 𝐱 0 =𝐈𝐱 0 =𝐱(0) e, portanto, (4.5) satisfaz a condição inicial.

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11 Cálculo de 𝐱(𝑡) e 𝐲(𝑡) Tais valores são calculados no domínio do tempo. Para isto basta calcular 𝑒 𝐀𝑡

12 Como calcular 𝑒 𝐀𝑡 Opções para cálculo da inversa de (𝑠𝐈−𝐀)

13 Exemplo 4.1 𝑠 𝑠+1 2

14 Exemplo 4.1 𝑠 𝑠+1 2

15 Exemplo 4.2 𝑠 𝑠+1 2

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17 Discretização Simples, porém imprecisa

18 Método exato

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21 Solução de equação no espaço de estados discreta

22 Solução geral para o caso discreto

23 Equações de estado equivalentes
Escolhemos como variáveis de estado 𝑥 1 (corrente no indutor) e 𝑥 2 (tensão no capacitor).

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26 Equações de estados equivalentes

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28 Autovalores e FT de sistemas equivalentes

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30 Sistemas equivalentes ao estado zero

31 Exemplo 4.4

32 Forma canônica controlável
Formas canônicas Forma canônica controlável Forma de Jordan

33 Forma de Jordan com coeficientes reais

34 Realizações de um sistema LTI

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36 Decomposição direta para o caso SISO

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38 Solução de sistemas lineares variantes no tempo

39 Caso variante

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41 Exemplo

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43 Matriz fundamental

44 Exemplo 4.9

45 Prova

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