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LEI NORMAL: a rainha das leis do acaso Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Lição Delfos, 14 de Abril de 2007.

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1 LEI NORMAL: a rainha das leis do acaso Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Lição Delfos, 14 de Abril de 2007

2 Plano da exposição Lei normal: fotografia e assinatura Lei normal ou lei dos erros A lei dos grandes números O teorema central do limite de de Moivre- Laplace Aplicação aos estudos de opinião O teorema central do limite de Laplace Aplicação ao controlo de qualidade

3 Observações que seguem a lei normal

4 Média a desvio-padrão de uma amostra Observações

5 Observações que seguem a lei normal

6 N(8.7,3.3)

7 Observações que seguem a lei normal

8 N(1000.2,9.6)

9 Observações que seguem a lei normal Área =~ Proporção de pacotes com peso entre 995 e 1005 gramas

10 Observações que seguem a lei normal

11 N(1010.1,20.0)

12 Observações que seguem a lei normal Área =~ Proporção de pacotes com peso entre 995 e 1005 gramas

13 A lei normal: fotografia e assinatura médiadesvio-padrão

14 A lei normal: fotografia e assinatura

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16 Regra

17 Lei normal ou lei dos erros O matemático Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) tem o seu nome ligado à lei normal.

18 Lei normal ou lei dos erros Grandeza observada = Grandeza verdadeira + Erro Erro = Grandeza observada - Grandeza verdadeira

19 Lei normal ou lei dos erros Erro = Peso observado -1000

20 Lei normal ou lei dos erros Antes de Gauss era assumido que a distribuição do erro era: 1) Simétrica relativamente à origem; 2) Unimodais; 3) Suporte finito

21 Lei normal ou lei dos erros As distribuições de erro habitualmente consideradas não permitiam justificar teoricamente a prática corrente de tomar a média das observações como estimativa do verdadeiro valor da grandeza desconhecida.

22 Lei normal ou lei dos erros Em 1809 Gauss determina a forma que deve ter a distribuição dos erros de modo que a média das observações seja o estimador teórico da grandeza desconhecida :

23 Lei dos grandes números de Jacques Bernoulli ( ) Para uma qualquer experiência aleatória, quando o número de repetições desta é elevado, a proporção de ocorrências desse acontecimento aproxima-se, tanto quanto queiramos, da probabilidade desse acontecimento (1713). dado1.xlsdado2.xls

24 Distribuição da proporção amostral

25 Teorema central do limite de de Moivre ( ) – Laplace ( ) Quando o tamanho da amostra é grande, a proporção amostral é aproximadamente normal: onde é a probabilidade do acontecimento em causa (1733, 1812).

26 Quando p=1/3 e n=10: Teorema central do limite de de Moivre ( ) – Laplace ( )

27 Quando p=1/3 e n=40: Teorema central do limite de de Moivre ( ) – Laplace ( )

28 Uma aplicação aos estudos de opinião +

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30 Para aproximadamente 95% das amostras:

31 Para a amostra anterior: Uma aplicação aos estudos de opinião Margem de erro: No caso do PS temos: + +

32 Uma aplicação aos estudos de opinião Intervalo de confiança a 95%:

33 Distribuição da média amostral A proporção amostral é uma média: com Será a aproximação normal válida para uma qualquer média?

34 Distribuição da média amostral

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47 Se é calculada a partir de observações independentes com média e desvio-padrão, então Teorema central do limite de Laplace ( ) para grande (1812).

48 Aplicação ao controlo de qualidade Um processo de empacotamento de açúcar está conforme se o peso médio dos pacotes for de 1000 gramas com uma variabilidade de 7 gramas:

49 Aplicação ao controlo de qualidade

50 Para obtemos Aplicação ao controlo de qualidade Para aproximadamente 99,7% das amostras

51 Carta de controlo

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71 Modelo de Galton

72 Movimento Browniano

73 BOM TRABALHO DURANTE O FIM-DE-SEMANA. DIVIRTAM-SE.


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