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1 SISTEMAS DIGITAIS ALGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO DE CIRC. LÓGICOS Prof. José Bezerra de Menezes Filho CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DA PARAÍBA.

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1 1 SISTEMAS DIGITAIS ALGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO DE CIRC. LÓGICOS Prof. José Bezerra de Menezes Filho CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DA PARAÍBA DA PARAÍBA

2 2 PRINCÍPIOS DA ALGEBRA BOOLEANA Componentes da Álgebra de Boole:Componentes da Álgebra de Boole:Postulados;Propriedades; Teoremas fundamentais; Identidade. Variáveis Booleanas:Variáveis Booleanas: 0 e 1

3 3 POSTULADO DA COMPLEMENTAÇÃO Se A=0 A=1 Se A=1 A=0 Com base no postulado da complementação: Com base no postulado da complementação:A=A

4 4 Identidade com inversor

5 5 POSTULADO DA ADIÇÃO 0+0=00+0=0 0+1=10+1=1 1+0=11+0=1 1+1=11+1=1 IDENTIDADES: A+0=AA+0=A A=0 0+0=0, A=1 1+0=1 A+1=1A+1=1 A=0 0+1=1, A=1 1+1=1 A+A=AA+A=A A=0 0+0=0, A=1 1+1=1 A+A=1A+A=1 A=0 A=1 0+1=1 A=1 A=0 1+0=1

6 6 POSTULADOS DA MULTIPLICAÇÃO 0.0=00.0=0 0.1=00.1=0 1.0=01.0=0 1.1=11.1=1 IDENTIDADES: A.0=0A.0=0 A=0 0.0=0, A=1 1.0=0 A.1=AA.1=A A=0 0.1=0, A=1 1.1=1 A.A=AA.A=A A=0 0.0=0, A=1 1.1=1 A.A=0A.A=0 A=0 A=1 0.1=0 A=1 A=0 1.0=0

7 7 PROPRIEDADES COMUTATIVA E ASSOCIATIVA Propriedade comutativa Adição: A+B=B+A Multiplicação: A.B=B.A Propriedade Associativa Adição:A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+CMultiplicaçãoA.(B.C)=(A.B).C=A.B.C VÁLIDAS PARA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO VÁLIDAS PARA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO

8 8 PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA E 1º TEOREMA DE DE MORGAN Propriedade distributivaPropriedade distributiva A.(B+C)=A.B+A.C Ex.: A=1,B=1,C=0 1.(1+0) = 1+0= = 1+0=1 1º Teorema de De Morgan1º Teorema de De Morgan Complemento do produto é a soma dos complementos: 2 Elementos: A.B= A + B n Elementos: A.B....N=A+B+...N

9 9 2º TEOREMA DE DE MORGAN O Complemento da soma é igual ao produto dos complementos: 2 elementos: A+B=A.B n elementos: A+B+...N=A.B...N

10 10 IDENTIDADES AUXILIARES A+A.B=AA+A.B=AProva:A+A.B=A(1+B)=A.1=A (A+B).(A+C)=A+B.C(A+B).(A+C)=A+B.CProva: (A+B).(A+C)=A.A+A.C+B.A+B.C (A.A=A) (A+B).(A+C)=A+A.C+B.A+B.C=A(1+B+C)+B.C=A.1+B.C=A+B.C

11 11 IDENTIDADE AUXILIAR Continuação A+AB=A+BA+AB=A+BProva: A+A.B=(A+A.B) utilizando 2º Teor. DM (A+A.B)=[A.(A+B)] utilizando 1º Teor. DM [A.(A+B)]=(A.A+A.B) utilizando prop. Distr. e identidade A.A=0 (A.A+A.B)=(A.B) utilizando 1°Teor. DM (A.B)=A+B

12 12 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS Por que simplificar? A partir de expressões simples pode-se construir circuitos simples Processos de simplificação: a)Simplificação por Álgebra de Boole b)Simplificação por mapa de Veigh Karnaugh ( Mapa VK)

13 13 SIMPLIFICAÇÃO POR ÁLGEBRA DE BOOLE Exemplo 1:Exemplo 1:S=ABC+AC+ABS=A(BC+C+B)S=A[BC+(C+B)]S=[BC+BC]AS=A Exemplo 2: S=ABC+ABC+ABCS=AC(B+B)+ABCS=AC(B+B)+ABCS=AC+ABC

14 14 SIMPLIFICAÇÃO POR MAPA DE KARNAUGH

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19 19 MAPA DE VK P/ 2 VARIÁVEIS Possui grupo de 4 variáveis Possui grupos de 2 variáveis Regra:Regra: Grupo de 4(quadra): S=1Grupo de 4(quadra): S=1 Grupo de 2 (dupla): Sobra 1 variávelGrupo de 2 (dupla): Sobra 1 variável

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26 26 MAPA DE VK P/ 3 VARIÁVEIS Possui grupo de 8 variáveis Possui grupos de 2 variáveis do mesmo modo que o mapa de VK utilizado com 2 variáveis Possui grupos de 4 variáveis Regra:Regra: Grupo de 8 : S=1Grupo de 8 : S=1 Grupo de 2 (dupla): Sobram 2 variáveisGrupo de 2 (dupla): Sobram 2 variáveis Grupo de 4 (quadra): Sobram 1 variáveisGrupo de 4 (quadra): Sobram 1 variáveis

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30 30 MAPA DE VK P/ 4 VARIÁVEIS Possui grupo de 16 variáveis Possui grupos de 2 e de 4 variáveis do mesmo modo que o mapa de VK utilizado com 3 variáveis Possui grupos de 8 variáveis Regra:Regra: Grupo de 16 variáveis: S=1Grupo de 16 variáveis: S=1 Grupo de 2 (dupla): sobram 3 variáveis Grupo de 4 (quadra): sobram 2 variáveis Grupo de 8: sobra 1 variável

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33 33 CONDIÇÃO IRRELEVANTE Condição em que a saída pode assumir 0 ou 1 indiferentemente.Condição em que a saída pode assumir 0 ou 1 indiferentemente. Regras: X na entrada: o valor pode ser 0 ou 1. O valor da saída não depende da variável indicada por X. X na saída: Ou a entrada é impossível de aconter ou possibilita qualquer dos 2 valores (0 ou 1).

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