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Econometria 1. Propriedades finitas dos estimadores MQO 2. Estimação da Variância do estimador de MQO.

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1 Econometria 1. Propriedades finitas dos estimadores MQO 2. Estimação da Variância do estimador de MQO

2 Econometria 1. Propriedades finitas dos estimadores MQO

3 Algumas considerações Parâmetros, estimativas e estimadores Propriedades de um estimador – a distribuição amostral Propriedades de Amostras Finitas Propriedades assintóticas ou de grandes amostras.

4 Algumas considerações Resultados de Amostras finitas: Não viés Distribuição precisa de algumas estatísticas de testes. Hipóteses fortes necessárias: regressores não estocásticos e distúrbios normalmente distribuídos.

5 MQO

6 Derivando as Propriedades Desta forma, b = um vetor de parâmetros + uma combinação linear de distúrbios, cada um vezes um vetor. b é um vetor de variáveis aleatórias. Regressores (X) não são estocásticos. A análise é feita condicional a X, ou seja, os resultados não dependem de um X particular. O resultado é geral, independente de X.

7 Propriedades do estimador de MQO b não é viesado! Valor esperado de b: E[b|X] = E[ + (X X) -1 X |X] = + (X X) -1 X E[ |X] = + 0 E[b] = E X {E[b|X]} = E[b]. (Lei das expectativas iteradas!!!)

8 Propriedades do Estimador MQO Um resultado importante sobre especificação Omissão de variáveis: y = X X (modelo verdadeiro) Dois conjuntos de variáveis. O que acontece se o segundo conjunto de variáveis é excluído da minha regressão?

9 Propriedades do Estimador MQO Qual a esperança do estimador desta regressão menor? E[b 1 |(y = X X )] b 1 = (X 1 X 1 ) -1 X 1 y = = (X 1 X 1 ) -1 X 1 (X X ) E[b 1 ] = 1 + (X 1 X 1 ) -1 X 1 X 2 2 O estimador é viesado.

10 Um resultado importante sobre especificação (inclusão de uma variável irrelevante): y = X X (modelo verdadeiro, mas 2 é igual a 0). O que acontece se a regressão for computada usando X 1 e X 2 ? E[b 1.2 | 2 = 0] = 1 O estimador não será viesado. Contudo, perde-se eficiência. Propriedades do Estimador MQO

11 Aplicação empírica: Quantidade = 1 Preço + 2 Renda + Se regredimos Quantidade em Preço. O que encontramos? Propriedades do Estimador MQO

12 Usualmente, 1 0, Cov[Preço,Renda] > 0. Desta forma, a regressão que omite variável (omite renda), irá super-estimar o coeficiente de preço (podendo até reverter o sinal do coeficiente). Propriedades do Estimador MQO

13 Outro exemplo prático Determinar os efeitos que fumar durante a gravidez exerce sobre a saúde do recém-nascido. A medida de saúde do recém nascido é o peso de nascimento (bwght). Como outros fatores que afetam o peso de nascimento, além de fumar, estão provavelmente correlacionados com o fumo, devemos levar em consideração tais fatores. Por exemplo, uma renda maior geralmente permite acesso a pré-natais melhores, bem como uma melhor nutrição da mulher. Considere o modelo:

14 14 Outro exemplo prático

15 15 Outro exemplo prático

16 16 Equações estimadas

17 17 Resultados O efeito de fumar é relativamente menor quando a renda familiar é adicionada na regressão, mas a diferença não é grande. Isto decorre do fato de faminc e cigs não serem muito correlacionados e do coeficente de faminc ser praticamente pequeno. (A variável faminc está em milhares, logo, R$10,000 a mais aumenta o peso de nascimento somente em 0,93 quilos). Corr(faminc, cigs)=-0,173

18 18 Viés de variável omitida A variável omitida é faminc Espera-se que o efeito de faminc sobre o peso de nascimento seja positivo (β 2 >0) Corr(faminc, cigs)=-0,173 O coeficiente passou de -0,463 para -0,513.

19 19 Direção do viés Corr(x 1, x 2 ) > 0Corr(x 1, x 2 ) < 0 2 > 0 Viés positivoViés negativo 2 < 0 Viés negativoViés positivo

20 20 Outro exemplo prático

21 21 Outro exemplo prático

22 22 Outro exemplo prático

23 23 Outro exemplo prático

24 24 Direção do viés Corr(x 1, x 2 ) > 0Corr(x 1, x 2 ) < 0 2 > 0 Viés positivoViés negativo 2 < 0 Viés negativoViés positivo

25 Variância do Estimador MQO Hipóteses sobres os distúrbios: i tem média zero e não é correlacionado com qualquer outro elemento j Var[ i |X] = 2. A variância de i não depende do dado da amostra. Não depende de X.

26 Variância do Estimador MQO

27

28 Erros de especificação Omitindo variáveis relevantes: Suponha que o modelo correto é y = X X Computar MQO omitindo X 2. É fácil provar que: Var[b 1 ] é menor que a Var[b 1.2 ]. Temos uma menor variância quando omitimos X 2. (Omitindo X 2, 2 = 0 posso usar mais informação extra para estimação). Mesmo que a informação não seja correta, reduz a variância.

29 Erro de especificação (Não há almoço grátis!!) E[b 1 ] = 1 + (X 1 X 1 ) -1 X 1 X Desta forma, b 1 é viesado.(!!!) O viés pode reverter até o sinal do coeficiente. b 1 deve ser mais preciso A variância é menor contudo o viés é positivo. Se o viés é pequeno se favorece a regressão mais simples. Suponha X 1 X 2 = 0. Viés vai embora A informação não está correta, é irrelevante. b 1 é igual a b 1.2.

30 Erro de especificação: Inclusão de variável irrelevante Os resultados são contrários aos encontrados acima. Inserir resultados supérfluos aumenta a variância. (reduz precisão) Não causa viés, se X 2 é supérflua, 2 = 0, e E[b 1.2 ] = 1.

31 Teorema de Gauss-Markov O EMQO é o melhor estimador linear dentro da classe de estimadores lineares não viesados. 1. Estimador linear 2. Não viesado: E[b|X] = β Teorema: Var[b*|X] – Var[b|X] é uma matriz definida não negativa para qualquer outro estimador linear não viesado b* que não seja igual a b. Definição: b é eficiente na classe de estimadores.

32 Teorema de Gauss-Markov Resultado geral para a classe de estimadores lineares e não viesados

33 Teorema de Gauss-Markov Como achar a Matriz de variância-covariância de b * ?

34 Teorema de Gauss-Markov Como D é uma matriz definida não negativa, temos que a var(b*/x) é sempre maior que a var(b/x).

35 Fixar X ou Condicionar em X? O papel da hipótese dos regressores não estocásticos, Incondicional: Tomar a média em torno de X: Os resultados valem para X estocástico bem como para X não estocástico.

36 Econometria 2. Estimação da Variância do estimador de MQO

37 Contexto A variância verdadeira de b é 2 E[(X X) -1 ] Como usamos os dados da amostra para estimar esta matriz? Como queremos formar intervalos de confiança das estimativas da regressão bem como formular hipóteses, temos que ter estimativas da variabilidade da distribuição.

38 Estimando 2 Usaremos os resíduos ao invés dos distúrbios: Análogo amostral: e e/n para /n Observação imperfeita de i = e i + ( - b) x i Viés para baixo de e e/n. E[e e] = (n-K) 2

39 Esperança de ee

40 Valor esperado do quadrado dos resíduos Traço: soma dos elementos da diagonal

41 Estimando σ 2 O estimador não viesado é s 2 = e e/(n-K). s 2 = e e/(n-K) = M /(n-K). Est [Var (b/X)] = s 2 [(X X) -1 Erro padrão de coeficiente individual é a raiz quadrada do elemento da diagonal.

42 XX (XX) -1 s 2 (XX) -1

43 Ordinary least squares regression LHS=G Mean = Standard deviation = Number of observs. = 36 Model size Parameters = 7 Degrees of freedom = 29 Residuals Sum of squares = Standard error of e = <= sqr[ /(36 – 7)] Fit R-squared = Adjusted R-squared = Variable| Coefficient Standard Error t-ratio P[|T|>t] Mean of X Constant| PG| *** Y|.02365*** TREND| ** PNC| PUC| PPT| **


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