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1 Programação Linear Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães

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Apresentação em tema: "1 Programação Linear Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães"— Transcrição da apresentação:

1 1 Programação Linear Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães

2 2 Tema da aula 12 Pesquisa Operacional: Método Simplex

3 3 O método Simplex é um algoritmo que permite resolver problemas de Programação Linear. A idéia básica do método Simplex consiste em resolver repetidas vezes um sistema de equações lineares para obter uma sucessão de soluções básicas, cada uma "melhor" do que a anterior, até se chegar a uma solução básica ótima.

4 Método Simplex Problema de PL Um empreendedor decidiu comerciar barcos. Depois de empregar alguns trabalhadores e de descobrir os preços aos quais venderia os modelos, chegou às seguintes observações: cada modelo comum rende um lucro de R$ 520,00, e cada modelo rápido rende um lucro de R$ 450,00. Um modelo comum requer 40 horas para ser construído e 24 horas para o acabamento. Cada modelo rápido requer 25 horas para a construção e 30 horas para o acabamento. Este empreendedor dispõe de 400 horas de trabalho por mês para a construção e 360 horas para o acabamento. Quanto deve produzir de cada um dos modelos de maneira a maximizar o lucro? 4

5 Método Simplex Modelo Comum Modelo Rápido Disponibilidade Horas construção Horas acabamento Lucro Montagem do Modelo – Variáveis de decisão x 1 : quantidade de barcos a produzir do Modelo Comum x 2 : quantidade de barcos a produzir do Modelo Rápido – Função-objetivo: Maximizar o lucro. 5

6 Método Simplex – Conjunto de restrições Tempo para construção Tempo para acabamento 6

7 Método Simplex Modelo Restrições de não- negatividade 7

8 Método Simplex Passo 1: Introduzir as variáveis de folga. 1ª Iteração Procedimento do Método Simplex 8

9 Método Simplex Passo 2: Montagem do quadro de cálculos. BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x3x3 x4x4 L

10 Método Simplex Passo 3: Escolha da solução básica viável inicial. – Variáveis não-básicas: – Variáveis básicas: – Função objetivo: BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x3x3 x4x4 L

11 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x3x3 x4x4 L Passo 4: Variável que deve entrar na base. – Qual é o produto que mais contribui para o lucro? X1X1 11

12 Método Simplex Passo 5: Variável que deve sair da base. Divisões: 1ª linha: 2ª linha: O menor quociente ocorreu na 1ª linha. Logo, a variável que deve sair é : X 3 12

13 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x3x x4x L Pivô 13

14 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 1 x4x4 0 L 0 Passo 6: Transformação da matriz. Deverão ser realizadas as operações com as linhas da matriz, de forma que a coluna de X 1 venha a se tornar um vetor identidade, com o elemento 1 na 1ª linha. Entra X 1 no lugar de X 3 14

15 Método Simplex 10,625 0, BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x4x4 L 1ª operação: Dividir a 1ª linha por

16 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x4x4 L 10,625 0, ª operação: Substituir a 2ª linha pela soma dela mesma com a 1ª linha multiplicada por (-24)

17 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x4x4 L ,625 0, ,

18 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x4x ,61120 L ª operação: Substituir a 3ª linha pela soma dela mesma com a 1ª linha multiplicada por ,625 0,

19 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x4x4 L Assim, obtemos o seguinte quadro: 1 0,625 0, ,

20 Método Simplex Nova solução: (voltar para o passo 3) – Variáveis não-básicas: – Variáveis básicas: – Função objetivo: BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x4x4 L 1 0,625 0, ,

21 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 1 0,6250, x4x ,61120 L Passo 4: Variável que deve entrar na base. – Qual é o produto que mais contribui para o lucro? X2X2 2ª Iteração 21

22 Método Simplex Passo 5: Variável que deve sair da base: Divisões: 1ª linha: 2ª linha: O menor quociente ocorreu na 2ª linha. Logo, a variável que deve sair é: X 4 22

23 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 1 0,6250, x4x ,61120 L Pivô 23

24 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 1 0 x4x4 01 L00 Passo 6: Transformação da matriz. Encontrar o vetor identidade para a variável com o elemento 1 na 2ª linha. 24

25 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 1 0,6250, x4x ,61120 L ª operação: Dividir a 2ª linha por

26 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x4x4 L 1 0,625 0, ,04 1/

27 Método Simplex 2ª operação: Substituir a 1ª linha pela soma dela mesma com a 2ª linha multiplicada por (-0,625). BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x4x4 L 1 0,625 0, ,04 1/

28 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 100,05-0,0425 x4x4 L ,04 1/

29 Método Simplex 3ª operação: Substituir a 3ª linha pela soma dela mesma com a 2ª linha multiplicada por 125. BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 100,05-0,0425 x4x4 L ,04 1/

30 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x2x2 L Assim, obtemos o seguinte quadro: 1 0 0,05 -0, ,04 1/ /

31 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x2x2 L Assim, obtemos o seguinte quadro: 1 0 0,05 -0, ,04 1/ /

32 Método Simplex BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x2x2 L Assim, obtemos o seguinte quadro: 1 0 0,05 -0, ,04 1/ /

33 Método Simplex Nova solução: (voltar para o passo 3) – Variáveis não-básicas: – Variáveis básicas: – Função objetivo: BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x2x2 L 1 0 0,05 -0, ,04 1/ /

34 Método Simplex Nova solução: (voltar para o passo 3) – Variáveis não-básicas: – Variáveis básicas: – Função objetivo: BASEx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 b x1x1 x2x2 L 1 0 0,05 -0, ,04 1/ /

35 Método Simplex Passo 4: Ao procurarmos a próxima variável que deve entrar na base, verificamos que todos os coeficientes da 3ª linha são positivos ou nulos, o que significa que qualquer aumento no valor das variáveis não-básicas faria diminuir o valor de L. Logo, concluímos que a solução encontrada é ótima. 3ª Iteração 35

36 Método Simplex Resposta (Solução ótima) 5 barcos modelo comum 8 barcos modelo rápido Lucro = 6200 reais 36

37 Método Simplex Passo 1:Introduzir as variáveis de folga; uma para cada desigualdade. Passo 2:Montar um quadro para os cálculos, colocando os coeficientes de todas as variáveis com os respectivos sinais e, na última linha, incluir os coeficientes da função objetivo transformada. Passo 3:Estabelecer uma solução básica inicial, usualmente atribuindo valor zero às variáveis originais e achando valores positivos para as variáveis de folga. Procedimento do Método Simplex (Problemas de Maximização) 37

38 Método Simplex Passo 4:Como próxima variável a entrar na base, escolher a variável não básica que oferece, na última linha, a maior contribuição para o aumento da função objetivo (ou seja, tem o maior valor negativo). Se todas as variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes nulos ou positivos nesta linha, a solução atual é ótima. Se alguma dessas variáveis tiver coeficiente nulo, isto significa que ela pode ser introduzida na base sem aumentar o valor da função objetivo. Isso quer dizer que temos uma solução ótima, com o mesmo valor da função Objetivo. 38

39 Método Simplex Passo 5:Para escolher a variável que deve deixar a base, deve-se realizar o seguinte procedimento: a)Dividir os elementos da última coluna pelos correspondentes elementos positivos da coluna da variável que vai entrar na base. caso não haja elemento algum positivo nesta coluna, o processo deve parar, já que a solução seria ilimitada. b)O menor quociente indica a equação cuja respectiva variável básica deverá ser anulada, tornando-se variável não básica. 39

40 Método Simplex Passo 6:Usando operações válidas com as linhas da matriz, transformar o quadro de cálculos de forma a encontrar a nova solução básica. A coluna da nova variável básica deverá se tornar um vetor identidade, onde o elemento 1 aparece na linha correspondente à variável que está sendo anulada. Passo 7:Retornar ao passo 4 para iniciar outra iteração. 40

41 41 Memória de aula 1.Formulação de um problema utilizando modelos matemáticos. 1.Algoritmo Simplex. Passo 1: Introduzir as variáveis de folga. Passo 2: Montagem do quadro de cálculos. Passo 3: Escolha da solução básica viável inicial. Passo 4: Variável que deve entrar na base. Passo 5: Variável que deve sair da base. Passo 6: Transformação da matriz. Passo 7: Nova solução (voltar para o passo 3 até encontrar a solução ótima).

42 42 Bibliografia indicada LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).http://www.ericolisboa.eng.br ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. Rio de Janeiro: Editora LTC, LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões: modelagem em Excel. Rio de Janeiro: Editora Elsevier, 2004.


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