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Capítulo 6 Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões 2ª Edição © Gerson Lachtermacher,2005 Programação Inteira.

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1 Capítulo 6 Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões 2ª Edição © Gerson Lachtermacher,2005 Programação Inteira

2 Capítulo 6 Conteúdos do Capítulo Programação Inteira Problema Relaxado Solução Gráfica Solução por Enumeração Algoritmo de Branch-And-Bound Solução Excel Solução no Lindo Caso LCL Tecnologia S.A. Variáveis Binárias e Condições Lógicas Caso LCL Equipamentos S.A.

3 Capítulo 6 Programação Inteira São problemas de programação matemática em que a função objetivo, bem como as restrições, são lineares, porém uma ou mais variáveis de decisão podem apenas assumir valores inteiros. Esse problema pode apresentar dois tipos básicos: Programação Inteira Total - onde todas as variáveis de decisão são do tipo inteiro. Programação Inteira Mista - onde apenas uma parte das variáveis são do tipo inteiro, enquanto outras são do tipo real

4 Capítulo 6 Programação Inteira A primeira idéia que pode vir à mente é resolver o problema como se fosse um problema de programação linear e arredondar os valores ótimos encontrados para cada uma das variáveis de decisão inteiras. Para problemas de grande porte, isto geralmente gerará uma solução aceitável (próxima do ótimo real) sem a violação de nenhuma das restrições. Para problemas menores, esse tipo de procedimento poderá nos levar a soluções inviáveis ou não ótimas.

5 Capítulo 6 Programação Inteira Problema Relaxado A todo problema de programação inteira está associado um problema com a mesma função-objetivo e as mesmas restrições, com exceção da condição de variáveis inteiras. A esse problema se dá o nome de Problema Relaxado

6 Capítulo 6 Programação Inteira Solução Gráfica 0, xx xx xx xx xx xxts xxMax (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) e inteiros

7 Capítulo 6 Programação Inteira Solução Gráfica Maxxx stxx xx xx xx xx xx e inteiros , x2x2 x1x1 (5,28 ; 5,74) Solução Ótima para LP Relaxado

8 Capítulo 6 Programação Inteira Solução Gráfica Solução Ótima para LP Relaxado (5,28 ; 5,74) Solução Ótima para Problema Inteiro (6 ; 3) Solução Aproximada do LP Relaxado Ótimo (5 ; 5) x2x2 x1x1 (5,28 ; 5,74)

9 Capítulo 6 Programação Inteira LP Relaxado Em um problema de MAXIMIZAÇÃO, o valor ótimo da função-objetivo, do Problema Relaxado, sempre representa um limite superior ao respectivo Problema Inteiro. Em um problema de MINIMIZAÇÃO, o valor ótimo da função-objetivo, do Problema Relaxado, sempre representa um limite inferior ao respectivo Problema Inteiro.

10 Capítulo 6 Programação Inteira LP Relaxado Nenhum ponto inteiro vizinho ao ponto ótimo do problema relaxado é necessariamente viável. Mesmo que um dos vizinhos seja viável. Não é necessariamente o ponto ótimo inteiro. Não é obrigatoriamente uma solução aceitável. x2x2 x1x1 Solução Ótima para Prog.Inteira Solução Ótima para LP Relaxado

11 Capítulo 6 Programação Inteira Solução por Enumeração Uma idéia que pode resultar em uma solução para um problema de programação inteira é a de se enumerar todas as possíveis soluções. De forma exaustiva, o valor da função-objetivo é calculado para todas as soluções viáveis e é escolhido aquele que apresente o maior valor (no caso de maximização) ou o menor valor (no caso de minimização).

12 Capítulo 6 O problema com essa tática de solução está no fato de que ela só consegue ser aplicada a problemas pequenos. O número de combinações possíveis de soluções cresce de forma exponencial, isto é de forma muito rápida. Ex.: Um ILP com 100 variáveis de decisão do tipo binárias (assumem 0 ou 1) terá até soluções viáveis, isto é, 1,27 x soluções possíveis. Programação Inteira Solução por Enumeração

13 Capítulo 6 Algoritmo de Branch-And-Bound é mais utilizado atualmente para resolução de problemas do tipo ILP ou MILP. É uma metodologia geral para solução de ILP e MILP, e existem diversas variantes para tratar diversos tipos de problemas específicos. A idéia geral é a de se dividir o conjunto de soluções viáveis em subconjuntos sem interseções entre si, calculando-se os limites superior e inferior para cada subconjunto, e então eliminando certos subconjuntos de acordo com regras pré estabelecidas. Programação Inteira Algoritmo de Branch-And-Bound

14 Capítulo 6 Comparativamente ao LP correspondente, o IP levará muito mais tempo para obter um valor ótimo. Isso está ligado ao fato que diversos problemas de LP são resolvidos sucessivamente para se obter a solução de um IP. Se o problema for interrompido no meio do processo uma solução aproximada do problema inteiro pode ser gerada. Programação Inteira Algoritmo de Branch-And-Bound

15 Capítulo 6 A solução obtida num problema IPL ou MIPL Sem análise de sensibilidade. Deve ser efetuada alterando-se o problema e obtendo-se nova solução. Não provê informação similar ao preço de sombra. Muitos softwares que realizam programação inteira são parte integrante de pacotes de programação linear e produzem análise de sensibilidade, independente desta não ter valor no âmbito de programação inteira. Programação Inteira Algoritmo de Branch-And-Bound

16 Capítulo 6 Usando Solver do Excel Definindo Variáveis Inteiras e Binárias

17 Capítulo 6 Lindo Variáveis Inteiras e Binárias Os comandos adicionais abaixo são colocados após o comando END ao final das restrições: FREE - Remove os limites de não negatividade imposta a todas as variáveis por default. GIN - Faz a uma variável inteira geral. INT - Faz a uma variável inteira binária.

18 Capítulo 6 Problema de Orçamento de Capital Caso LCL Tecnologia S/A Capital Requerido em mil R$ Proj. NPV(8%) (mil R$) Ano 1 Ano 2Ano 3Ano 4Ano 5 1$ $ $ $ Capital Disponível20070 A LCL Tecnologia S/A tem que planejar seus gastos em P&D. A empresa pré-selecionou 4 projetos e deve escolher dentre esses quais deve priorizar em função de restrições orçamentárias. Os dados relevantes encontram-se na tabela abaixo.

19 Capítulo 6 Caso LCL Tecnologia S/A Variáveis de Decisão Função Objetivo = Maximizar o somatório NPV

20 Capítulo 6 Restrições Orçamentárias Caso LCL Tecnologia S/A

21 Capítulo 6 Caso LCL Tecnologia S/A O Modelo

22 Capítulo 6 Caso LCL Tecnologia S/A Solver do Excel

23 Capítulo 6 Caso LCL Tecnologia S/A Solver do Excel

24 Capítulo 6 Caso LCL Tecnologia S/A Solver do Excel

25 Capítulo 6 Variáveis Binárias e Condições Lógicas As variáveis binárias também se prestam a selecionar alternativas que sejam condicionais. No exemplo anterior imagine que não mais de um dos projetos 1, 3 e 4 pudesse ser selecionado. Deveríamos então adicionar: Se apenas um dos projetos e apenas um dos projetos 1, 2 e 4 tivesse que ser escolhido obrigatoriamente, deveríamos incluir:

26 Capítulo 6 Imagine agora que o projeto 1 dependa de uma tecnologia que deve ser desenvolvida pelo projeto 2, isto é, o projeto 1 só pode ser aprovado se e somente se o projeto 2 for aceito. Deveríamos então incluir: Variáveis Binárias e Condições Lógicas

27 Capítulo 6 Tipo 1Tipo 2Tipo 3Total Disponível Montagem2h/unid3h/unid2,5h/unid600h Pintura3h/unid2h/unid2,5h/unid500h Lucro UnitárioR$50R$60R$65 PreparaçãoR$5.000R$4.000R$3.000 A LCL Equipamentos S.A. produz três tipos de furadeiras que necessitam de tempos diferentes na linha de montagem. Para que cada tipo de furadeira seja fabricada, um custo de preparação da fabrica é incorrido. Suponha que todas as furadeiras do mesmo tipo serão produzidas de uma só vez (apenas uma preparação por tipo). Abaixo os dados relevantes à análise do problema. Caso LCL Equipamentos S.A.

28 Capítulo 6 Variáveis de Decisão Função Objetivo YYYXXXMax Caso LCL Equipamentos S.A. Variáveis Binárias

29 Capítulo 6 Restrições de Produção Restrições de ligação de Variáveis Caso LCL Equipamentos S.A. Variáveis Binárias

30 Capítulo 6 Caso LCL Equipamentos S.A. Variáveis Binárias =B7*B10

31 Capítulo 6 Caso LCL Equipamentos S.A. Variáveis Binárias

32 Capítulo 6 Caso LCL Equipamentos S.A. Variáveis Binárias


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