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Boulos, Loreto, Winterle Objetivo: Conhecer as convenções e notações próprias da Álgebra. Realizar operações vetoriais • Simbologia • Segmento Orientado.

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1 Boulos, Loreto, Winterle Objetivo: Conhecer as convenções e notações próprias da Álgebra. Realizar operações vetoriais • Simbologia • Segmento Orientado • Definição • Equivalência ou Equipolência • Vetor (representação analítica e Geométrica • Módulo, Direção e Sentido • Soma: Representação geométrica e analítica • Multiplicação de Vetor por um Escalar

2 • Simbologia Ponto no espaço: A, B, C... Retas: r, s, t... Planos: ,... Segmento:,,..... Segmento orientado: (A,B); (C,D); (E,F)..... B A r s t (A,B) Seguimento orientado

3 B A r s t (B,A) Seguimento orientado

4 B A r s t Seguimento

5 • Segmento Orientado • Definição B (B,A) (A,B) A B A Origem Extremidade Origem Extremidade (A,B)=-(B,A) - O sinal negativo, neste caso, indica que o segmentos orientados possuem sentidos opostos • (A,B) e (C,D) tem o mesmo comprimento se os segmentos e tem o mesmo comprimento B A C D 4 cm

6 • Sendo (A,B) e (C,D) não nulos dizemos que (A,B) e (C,D) tem a mesma direção se // B (C,D) (A,B) A C D (E,F) F E • Supondo-se (A,B) e (C,D) na mesma direção: a)Se os segmentos e são distintos dizemos que (A,B) e (C,D) tem o mesmo sentido se e Tenham intersecção vazia. ø De outra forma, se ≠ ø dizemos que (A,B) e (C,D,) tem sentidos contrários B A D C B A D C

7 b) Se os segmentos e coincidem, tome (A’,B’) tal que A’ não pertença ao segmento e tenha a mesma direção e o mesmo sentido de (A,B). Então dizemos que (A,B) e (C,D) tem o mesmo sentido se (A’,B’) e (C,D) tem o mesmo sentido. Senão dizemos que (A,B) e (C,D) tem sentidos opostos B A D C A’ B’ B A D C A’ B’ • Equivalência ou Equipolência Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolêntes [(A,B) ~ (C,D)] se ocorrer um dos casos: a)Ambos são nulos; b)Nenhum é nulo e tem o mesmo módulo, direção e sentido.

8 A B C D E F G H I J K L • Proposições: Propriedades da Equipolência a)(A,B) ~ (A,B) Reflexiva b)(A,B) ~ (C,D)→(C,D) ~ (A,B) Simétrica c)(A,B) ~ (C,D) e (C,D) ~ (E,F) → (A,B) ~ (E,F) Transitiva Exercício: Demonstrar as proposições acima

9 A B C D E F G H I J K L Definição: Definição: Dado o segmento orientado (A,B), a classe de equipolência (A,B) é o conjunto de todos os segmentos orientados equipôlentes a (A,B). O segmento orientado (A,B) é representante da classe. Vetor: Vetor: É uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se (A,B) é o segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representante será indicado por. Quando não for necessário destaques, representa-se o vetor pelas letras latinas. O conjunto de todos os vetores será indicado por V 3.

10 • Módulo, Direção e Sentido • Norma, módulo ou comprimento de um vetor x é representado por:. Exemplo: vetor • Vetor nulo: vetor de modulo zero • Vetor unitário: vetor de modulo um: a=1 • se os seus representantes forem paralelos. • Vetores opostos: v é oposto a u se v=-u Em função dos representantes:

11 • Soma: Representação geométrica e analítica Soma de vetor com um ponto: Dados o ponto A e o vetor v, existe um único ponto B tal que: Possui infinitos representantes, mas apenas um possui origem em A e Extremidade em B. BA Notação de Grassman: Propriedades: a)A+0=A, isto é (A-A)=0 b)A-v=A+(-v) c)A+v=B+v A L B d)A+u=A+v u=v e)A+(B-A)=B f)(B-A)=-(A-B) g)(B-A)=(D-C) (C-A)=(D-B)

12 Há dois métodos para realização de soma vetorial (geometricamente falando): • Soma de Vetores  Deslocamento paralelo: Pega-se o segundo vetor e desloca-se paralelamente de tal forma que a sua origem coincida com a extremidade do primeiro vetor. O vetor resultante, ou soma, é o vetor cujo sua origem coincide com a origem do primeiro vetor e sua extremidade com a extremidade do segundo vetor.  Método do paralelogramo: Traça-se uma linha paralela a um dos vetores a partir da extremidade do outro vetor e vice versa até que as linhas se coincidam em um ponto. O vetor resultante é o vetor cujo sua origem coincide com a origem de ambos os vetores e a sua extremidade com o ponto de encontro das duas linhas

13 Exemplos de soma Observe que quando os vetores estão na mesma direção, o vetor resultante está na mesma direção dos vetores originais. Quando a direção dos vetores originais são diferentes, a direção do vetor resultante não é em nenhuma das direções dos vetores originais Soma de quatro vetores.

14 • Propriedades da soma 1.Associativa 2.Comutativa 3.Elemento neutro 4.Elemento oposto

15 • Multiplicação de Vetor por um Escalar Dados: é o vetor  vezes o vetor Definição: a)Se  =0 ou v=0 então  v=0 b)Se  K 0 e v K0 então  v é definido como: comprimento: |  v|=|  ||v| direção:  v é paralelo  v. sentido:se  >0 o sentido é o mesmo de v.  <0 o sentido é oposto ao de v. Exemplo:

16 • Propriedades Para quaisquer vetores u e v E quaisquer escalar  e  reais São válidas as seguintes propriedades. M1. M2. M3. M4 (elemento neutro da operação) • Versor de um vetor Se v≠0 o seu versor é um vetor unitário (modulo 1)e possui a mesma direção e mesmo sentido. Representação: versor de v:

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