Copyright © 2004 L.A.Bertolo 1 Juros Compostos – Pagamentos Simples Como vimos anteriormente, neste caso os juros são calculados sobre o montante do período.

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1 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 1 Juros Compostos – Pagamentos Simples Como vimos anteriormente, neste caso os juros são calculados sobre o montante do período anterior. Ou seja, o principal mais os juros até então. Por isso dizemos também que se trata de juros sobre juros.

2 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 2 Valor Futuro (VF): Compondo Fluxos de Caixa Comecemos o nosso estudo com o conceito de composição - o processo de ir do valor de hoje, ou valor presente (VP), para o valor futuro (VF). Determinar a quantia VF que seria obtida pela aplicação do principal VP, à taxa de juros i, durante n períodos. Ou seja, qual é o montante VF acumulado a partir do principal VP? PROBLEMA

3 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 3 Valor Futuro (VF): Fórmula T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 T n-1 VPVF n = ? A LINHA de TEMPO i Vamos agora calcular o valor futuro acima, num passo de cada vez.  Ao final do primeiro per í odo tem-se: VP + i VP = VP (1 +i)  Ao final do segundo per í odo tem-se: [VP (1 + i)] (1 + i) = VP (1 + i) 2  E, assim sucessivamente, teremos: VF = VP (1 + i) n 4.7 O termo (1 + i) n é chamado de fator de acumula ç ão de capital, FVF(n,i)

4 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 4 Valores Futuros - Exemplo Exemplo - VF Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente a uma taxa de 6% por cinco anos?

5 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 5 Valor Futuro e Composição 012345

6 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 6 Valores Futuros - Exemplo Exemplo - VF Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente a uma taxa de 6% por cinco anos?

7 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 7 Outro Exemplo 1. Aplico R$ 1.000,00, por 10 anos a juros de 5% a. a.Quanto terei no final? SOLUÇÃO VP = R$ 1.000,00 i = 5% = 5/100 = 0.05 n = 10 VF = VP (1 + i) n = 1000 (1 + 0,05) 10 = 1000 (1,05) 10 = 1000 (1,629) = 1.629 ou R$ 1.629,00

8 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 8 Por que Juro Composto? Valor Futuro (U.S. Dolares)

9 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 9 Valores Futuros com Composição Taxas de Juros

10 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 10 Comparação de JS e JC

11 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 11 Calculando Valores Futuros- HP 12C Para o c á lculo do valor futuro podemos nos concentrar em apenas quatro teclas. A tecla N refere-se ao n ú mero de per í odos, i coloca a taxa de juros, VP coloca o valor presente (ou valor inicial), e VF coloca o valor futuro ou valor final.

12 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 12 Na HP – 12C Para calcular o valor futuro do nosso investimento de $10.000 por 4 anos a partir de hoje, a uma taxa de juros de 8 porcento, faremos o seguinte NiVP VF CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C 48-10.000 $13.604,89

13 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 13 Na Planilha Excel

14 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 14 Panilha Excel – usando funções

15 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 15 Crescimento de VF

16 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 16 Exemplo 1. Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$ 1.000,00 a 2,5% ao mês, capitalizável mensalmente? SOLUÇÃO VP = R$ 1.000,00i = 2,5%n = 12 meses Pela FÓRMULA VF = VP (1 + i) n = 1.000,00 (1 + 0,025) 12 = 1.000,00 (1,025) 12 = 1.000,00 (1,345) = R$ 1.345,00 Pela CALCULADORA HP 12C f FIN f 2 1 000 CHS PV 12 n 2,5 i FV

17 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 17 Na Planilha Excel Pela PLANILHA EXCEL: - Abra uma planilha e coloque os seguintes valores nas c é lulas: A1 1000 B1 0,025 C1 12 ­ D1 1+B1 E1 POTÊNCIA(D1;C1) F1 A1*E1 Obs: As c é lulas A1 e F1 podem ser formatadas para moeda Em B1 observe a V Í RGULA e em E1 o acento circunflexo

18 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 18 Referências de Células no Excel

19 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 19 Exercícios Propostos 1. Uma pessoa toma R$ 30.000,00 emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Resp:- R$ 40.317,49 Resp:- R$ 40.317,49 2. Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. Resp:- 66.671,81Resp:- 66.671,81 3. Calcule o montante de R$ 50.000,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. Resp:- R$ 54.654,17Resp:- R$ 54.654,17 4. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. Resp:- R$ 9.237,24aplicaçãoResp:- R$ 9.237,24 5. Calcule o valor futuro de um capital de R$ 75.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 2 % ao mês, no fim de 6 meses. Resp:- R$ 88.257,63Resp:- R$ 88.257,63 6.Qual o VF produzido por R$ 12.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? Resp:- R$ 26.496,48Resp:- R$ 26.496,48

20 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 20 Casos Faremos agora o estudo de casos para fixação dos conceitos e aplicações

21 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 21 Poupando para a Velhice Você está com 20 anos e está considerando colocar $1.000 numa conta que está pagando 8% ao ano, por 45 anos. Quanto você terá na conta na idade de 65 anos?

22 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 22 Poupando para a Velhice T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 VP = ($1000)VF 45 = ? A LINHA DO TEMPO i =8% T 45 Usando qualquer dos métodos discutido previamente, encontramos: VF n = VP × (1+ i) n ou, VF 45 = $1000 × (1+.08) 45 = $ 31.920,45 Devido ao original principal ser $1.000, o total de juros ganhos é $30.920,45. Os juros simples são $3600 ($80 × 45 = $3600), enquanto os juros sobre os juros são $ 27.320,45.

23 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 23 Poupando para a Velhice NIVPVF CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C 458 $31.920,45 A uma taxa de juros de 9% ao ano, encontramos: VF 45 = $1000 × (1+.09) 45 = $48.327,29 Assim, um crescimento aparentemente pequeno de 1% na taxa de juros resulta num extra de $16.406,84 (= $48.327,45 - $31.920,45) na idade de 65 anos. Isto é mais do que um aumento de 50% (16.406,84/31.920,45 = 0,514). O ponto principal deste exemplo é que uma pequena diferença na taxa de juros pode fazer uma grande diferença nos valores futuros sobre longos períodos de tempo.

24 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 24 Reinvestindo a Taxas Diferentes Você se deparou com a seguinte decisão de investimento. Você tem $10.000 para investir por dois anos. Você tem de decidir se investe o seu dinheiro em certificado de depósito bancário (CDBs). Os CDBs de dois anos estão pagando 7% ao ano e os CDBs de um ano estão pagando 6%. O que você faria?

25 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 25 Reinvestindo a Taxas Diferentes Para tomar esta decisão você deve primeiro decidir o que você acha que a taxa de juros sobre CDBs de um ano será no próximo ano. Esta é chamada de taxa de re-investimento, isto é, a taxa de juros em que o dinheiro recebido antes do final do seu horizonte de planejamento possa ser reinvestido. Suponha que você tem certeza que ela será 8% ao ano. Agora podemos usar o conceito de valor futuro para tomar esta decisão de investimento. Você calcula o valor futuro sob cada investimento alternativo e escolhe aquele um dando mais dinheiro no final dos dois anos.

26 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 26 Reinvestindo a Taxas Diferentes T0T0 T1T1 T2T2 VP = ($10,000)VF 2 = ? A LINHA DO TEMPO i =7% E o VF2 é: VF2 = $10.000 × (1+,07) 2 = $11.449,00

27 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 27 Reinvestindo a Taxas Diferentes T0T0 T1T1 T2T2 VP = ($10,000)VF 2 = ? A LINHA DO TEMPO i =6%i =8% VF 1 = ? Com a seqüência de dois CDBs de um ano, no primeiro ano a 6% e no segundo ano a 8%o valor futuro pode ser calculado em duas partes: Primeiramente investimos os $10.000 a 6% por um ano. VF1 = $10.000 × (1+,06)1 = $10.600,00 Daí, re-investimos VF1 por mais um ano a 8% ao ano: VF2 = $10.600 × (1+,08)2 = $ 11.448,00

28 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 28 Reinvestindo a Taxas Diferentes Assim, você ficará um pouco melhor se investir em CDBs de dois anos onde você terminará com $11.449 em vez de $11.448. Você notou que podemos ter calculado o VF 2 dos dois CDB como segue: VF2 = $10.000 × (1+,06) × (1+,08) = $ 11.448,00 Para calcular VF 2 simplesmente multiplicamos o investimento de $10.000 por (1 + i 1 ) e novamente por (1 + i 2 ) onde i 1 e i 2 são as taxas de juros do primeiro e segundo ano, respectivamente. Infelizmente este cálculo não pode ser feito diretamente com as funções financeiras de uma calculadora financeira. Para cálculos incorporando muitas variações de taxas de juros uma planilha seria muito valiosa. O método 1 da Planilha discutido acima deveria ser usado para calcular facilmente problemas maiores.

29 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 29 Ressarcindo um Empréstimo Cinqüenta anos após a graduação, você recebeu uma carta de sua faculdade notificando que eles acabaram de descobrir que você não pagou sua última matricula das atividades estudantis de $100. Devido a isto ter sido um engano da sua faculdade, ela decidiu cobrar de você uma taxa de juros de somente 6% ao ano. Sua faculdade gostaria que você pagasse de volta durante a qüinquagésima reunião da sua turma de graduação. Como um bacharel fiel, você se sente obrigado a pagar. Quanto você deve a eles?

30 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 30 Ressarcindo um Empréstimo T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 VP = ($100)VF 50 = ? A LINHA DO TEMPO i =6% T 50 NIVPVF CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C 506-100 $1.842,02 Aqui estamos simplesmente procurando o valor futuro de $100 investidos por 50 anos. A taxa de juros é uma constante de 6% ao ano. Usando as fórmulas: VF50 = $100 × (1+,06) 50 = $1.842,02

31 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 31 Uma Aplicação Não Monetária das Fórmulas de VDT Por exemplo, em 13 de Outubro de 2002 a população dos USA foi estimada em 288.272.053 residentes legais e cidadãos. Qual será a população legal dos Estados Unidos daqui a 50 anos se o crescimento populacional é 1 % ao ano? Aqui a taxa de juros é simplesmente o crescimento da população ou 1 % ao ano.

32 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 32 Uma Aplicação Não Monetária das Fórmulas de VDT T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 VP = 288.272.053VF 50 = ? A LINHA DO TEMPO i =1% T 50 E usando fórmulas: VF 50 = 288.272.053 × (1+ 0,01) 50 = 474.101.392 A uma taxa de crescimento de 1 % ao ano a população dos U.S.A. crescerá para 474.101.392 em 2052.

33 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 33 Uma Aplicação Não Monetária das Fórmulas de VDT O poder da capitalização não se restringe, portanto, ao dinheiro. Silvicultores tentam prever a taxa de crescimento composto das árvores; demógrafos, a taxa de crescimento composto da população. Um comentarista social uma vez observou que o número de advogados nos Estados Unidos está aumentando a uma taxa composta mais alta do que a população como um todo (3,6% versus 0,9% nos anos de 1980) e calculou que em aproximadamente dois séculos haverá mais advogados do que pessoas. Em todos esses casos, o princípio é o mesmo.

34 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 34 A Venda da Ilha de Manhattan Peter Minuit comprou a Ilha de Manhattan por $24 em 1626, pagando com mercadorias e quinquilharias. Este foi um bom negócio? Para responder, determine o valor de $24 no ano de 2004, composto a 8%. OBS – Isto é muito dinheiro! Daria para comprar os Estados Unidos todo. Com o troco, daria ainda para comprar o resto do mundo!!!!.

35 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 35 A Venda da Ilha de Manhattan Embora divertida, na verdade essa análise é um tanto enganosa. Primeiro, a taxa de juros de 8% que usamos para comparar o VF é bastante alta com relação aos padrões históricos. A uma taxa de juros de 3,5%a.a., mais consistente com a experiência histórica, o VF dos $ 24 seria drasticamente mais baixo, apenas $ 24 x (1,035) 378 = 10.657.699,32, ou seja, 10 bilhões de dólares! Segundo, nós subestimamos os retornos para o Sr. Minuit e seus sucessores: ignoramos toda a renda proveniente de aluguel que as terras da ilha têm gerado nos últimos três ou quatro séculos. Considerando tudo, se estivéssemos vivos em 1626, teríamos pago os $ 24 pela ilha com muito prazer....

36 Copyright © 2004 L.A.Bertolo 36 Peter Minuit e a sua Ilha 1. Suponhamos que Peter Minuit não tivesse se tornado o primeiro magnata imobiliário de Nova Iorque, mas que em vez disso tivesse investido seus $ 24 a uma taxa de juros de 5% a.a. no Banco Econômico de Nova Amsterdã. Quanto ele teria de saldo em sua conta de pois de 5 anos? E de 50 anos? 2. A Novos Empreendimentos teve vendas no passado de apenas $0,5 milhão. No entanto, um analista da bolsa de valores está otimista sobre a empresa e prevê que as vendas dobrarão a cada ano por 4 anos. De quanto são as vendas projetadas até o final desse período?