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Estatística Amostragem 1 -amostra: parâmetros e estatísticas -medidas de tendência central: média, mediana e moda -medidas de dispersão: variância -distribuição.

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1 Estatística Amostragem 1 -amostra: parâmetros e estatísticas -medidas de tendência central: média, mediana e moda -medidas de dispersão: variância -distribuição empírica e histograma -escolha de amostras aleatórias -amostragem de distribuição normal, teorema de limite central -distribuições t e  2 -amostragem de distribuição binomial Pontos mais importantes:

2 Estatística Amostragem Num estudo confronta-se com uma grande colecção (quantidade) de elementos de interesse ou população. Geralmente as conclusões sobre a população está baseada de analise de um número (pouco) de observações ou amostra. 2 amostra populaçãoconclusões amostragem analise Definição: Um conjunto de v.a-s independentes X 1, X 2,...,X n com a mesma distribuição F x constitui uma amostra da distribuição F x.

3 Estatística Amostragem Amostra aleatória: qualquer membro de população têm a mesma probabilidade de ser escolhido como uma mostra Para tirar conclusões válidas (correctas) sobre qualquer população, a amostra tem de ser representativa Amostra Como tirar uma amostra representativa? Tamanho? Amostra mais representativa é uma amostra aleatória 3

4 Estatística Amostragem 4 Parâmetros Estatísticas •Uma medida directamente associada a população: - valor de esperança (  ) - variância - etc. •Quantidades calculadas (completamente determinadas pela) de uma amostra: -média amostral -variância amostral -etc. As estatísticas são estimativas dos parâmetros da população. Cada amostra duma população resulta noutra estimativa estatísticas são v.a.-s.

5 Estatística Amostragem 5 Medidas de tendência central: Valor média (pesada) de v.a. X: E[X]=  Definição de média amostral:

6 Estatística Amostragem 6 é uma v.a., por isso: No caso que  não ser conhecido, a média amostral representa uma estimativa natural.

7 Estatística Amostragem 7 A mediana (m), é o valor central de distribuição (F x (m)) no sentido em que é igualmente provável obter x superior ou inferior a m. P(X  m)=P(X  m)= 1/2 ouF(m)=1/2 Suponha que nos queremos escolher c numa forma que o erro absoluto |X-c| (ou E[|X-c|]) de previsão de X seja mínimo:

8 Estatística Amostragem 8 Exemplo: calcule a mediana de distribuição Weibull, x>0 Definição da mediana amostral (x k ): seja X 1  X 2 ...  X n uma amostra ordenada, a mediana amostral é: x k =0.5(x (0.5n) +x 0.5n+1 )se n é par x k = x (0.5(n+1)) se n é ímpar A mediana amostral representa uma estimativa natural de m Nota: De igual modo, podemos definir outros Percentis  )  e.g 25%, 50% (m), 75%

9 Estatística Amostragem Exemplo: n=7, concentração de CO 2 (g/m 3 ): 0.3, 0.32, 0.35, 0.35, 0.4, 0.41 e > mediana (i=4): 0.35 n=8, concentração de CO 2 (g/m 3 ): 0.3, 0.32, 0.35, 0.35, 0.4, 0.41, e > mediana ((x 4 +x 5 )/2):

10 Estatística Amostragem 10 O valor mais frequente numa população chama-se moda (a): A moda de uma amostra aleatória é o valor que ocorre com a maior frequência. Exemplo: n=8, concentração de CO 2 (g/m 3 ): 0.3, 0.32, 0.35, 0.35, 0.4, 0.41, e > moda : 0.35

11 Estatística Amostragem 11 Medidas de dispersão: Variância da v.a. X: Var[X]=  2 = E[(X-  ) 2 ] A estatística, variância e desvio padrão amostral, é definida pela: ou e

12 Estatística Amostragem Grau de liberdade: a expressão anterior também se escreve, 12 onde  é o grau de liberdade. Porque  =n-1? Isto implica que qualquer n-1 y determine o n-issimo elemento. Só n-1 elementos são independentes.

13 Estatística Amostragem 13 O que podemos dizer sobre o valor de esperança de S 2 ? Agora sabendo: ; ; Temos: A variância amostral representa uma estimativa natural de   e

14 Estatística Amostragem 14 Distribuições empíricas: A função de distribuição empírica F n (x), onde - 

15 Estatística Amostragem Exemplo:Amostra: Amostra ordenada: p(x i )6/304/308/305/304/303/30 F(x i )6/3010/3018/3023/3027/3030/30 Distribuição empírica:

16 Estatística Amostragem 16 V.a. continua, a função de distr. de frequência (f n ): O gráfico de distribuição de frequência chama-se histograma: frequency F-value, min

17 Estatística Amostragem 17 Selecção de amostras aleatórias: Descrição mais representativa das propriedades da população é fornecida por uma amostra aleatória, onde qualquer membro da população têm a mesma probabilidade de ser escolhido. Como? Distribuição uniforme(U  ))  f(x)    E[X]=  /2 Var(X)=    /12 U(0,1) chama-se número aleatório

18 Estatística Amostragem 18 Seja k uma amostra aleatória de n elementos. Para j=1,2,...,n vamos definir: Para o primeiro elemento I 1 : P(I 1 =1)=k/n Para o segundo elemento I 2 :P(I 2 =1| I 1 =1)=(k-1)/(n-1) e, P(I 2 =1| I 1 =0)=(k)/(n-1) ou P(I 2 =1| I 1 )=(k-I 1 )/(n-1) Em geral:

19 Estatística Amostragem 19 Seja U um número aleatório (U(0,1)), assim P(U

20 Estatística Amostragem Escolha aleatoriamente k=2 de n=5 20

21 Estatística Amostragem U 1 ( )>0.4 U 2 ( )<0.5  (2,X) U 3 ( )>1/3 U 4 ( )>0.5  (2,5) 21

22 Estatística Amostragem Amostragem de distribuição normal: Distribuição normal (N   ))  A distribuição normal tem importância elevada entre as distribuições especiais, porque muitos fenómenos seguem, pelo menos aproximadamente, distribuição normal: -altura de pessoas -movimento “Braun” das moléculas -o erro na medição de uma quantidade física 22

23 Estatística Amostragem E[X]=  Var[X]=  2  - inflexão   23

24 Estatística Amostragem Seja X N   ), a Y=aX+B é uma v.a. N  a  +b  a 2   ). Por isso a variável Z=(x-  )/  tem uma N(0,1): Z chama-se distr. normal padrão, e permite-nos facilmente calcular as probabilidades de X em termos de probabilidade de Z. 24

25 Estatística Amostragem P(X>  X<  P(X>  X<  -tabelas de P(z

26 Estatística Amostragem 26  (z)

27 Estatística Amostragem Teorema de limite central:  A soma de um grande número de variáveis aleatórias independentes tem uma distribuição normal. Fenómenos físicos (e não só) estão afectados por um grande número de factores, consequentemente seguem uma distr. normal. Seja X 1, X 2,..., X n v.a.s independentes com a mesma distribuição (mas não necessariamente normal) com  e  2. Então para n grande: -exemplo: distr. da média do lançamento de n dados 27 Muitas técnicas de estatística estão baseadas de pre-suposição de normalidade

28 Estatística Amostragem 28

29 Estatística Amostragem 29 Recordar: e Assim: Variância da população é estimada pela s 2. O que podemos dizer sobre a distribuição de t=(x-  )/s ou  t tem uma distribuição conhecida que chama-se distribuição Student “t” com  grau de liberdade.

30 Estatística Amostragem 30 Distribuição Student t n : Seja Z [N(0,1)] e X (  2  ) duas v.a. independentes. Distribuição t está definida pela,    E[t]=0 Var[t]=  /(  -2) para n grande t~Z 0 -   t   f(t)- complicado (tabelas)

31 Estatística Amostragem 31

32 Estatística Amostragem 32 Outra característica importante da amostra de uma distribuição normal, é que X e s 2 são independentes, e a v.a. (n-1)s 2 /  2 tem uma distribuição    com n-1 grau de liberdade Distribuição “Chi-quadrado”,  2 (  ): Se foram Z,1, Z 2,... Z n v.a. normais padrão. A v.a. X: X= Z Z 2 2,...+ Z 2 n tem uma distribuição chi-quadrado com  graus de liberdade. E[X]=  Var[X]=2  X>0    f(x)- complicado (tabelas)

33 Estatística Amostragem 33

34 Estatística Amostragem 34 Porquê é importante saber a distribuição de e X=(n- 1)s 2 /  2 ? Porque podemos dar respostas sobre questões como: -qual é a probabilidade da média da população ser  se a média de amostra é x -qual é a probabilidade da variância da população ser    se a variância de amostra é s 2

35 Estatística Amostragem 35 Amostragem de distribuição binomial: Distribuição Bernoulli e binomial (Bi  n,p))  Seja X é uma v.a. Bernoulli tal que, X=1 quando um acontecimento ocorre (sucesso) e X=0 no caso que não ocorre (falha). E.g. resposta “sim” num inquérito tipo sim/não P(X=0)= 1-p P(X=1)= p E[X]=  P(X=1) + 0  P(X=0)= p Var(X)=E[X 2 ]- E 2 [X]=p-p 2 =p(1-p)

36 Estatística Amostragem 36 Suponha que faça-se n experiências independentes de uma variável aleatória Bernoulli com probabilidade P de sucesso. Neste caso o número de sucesso X, chama-se uma variável binomial (Bi(n,p)) com a função distr. de probabilidade: O valor de esperança matemática e a variância é dada por:

37 Estatística Amostragem 37

38 Estatística Amostragem 38 Aplicando o teorema de limite central, temos que a v.a. X= X 1 + X 2,..., +X n tem uma distribuição aproximadamente normal. Se for np suficientemente grande, Assim,


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