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Quadrados Mínimos. Situação  Em diversas ciências com uma dimensão experimental, é necessário modelizar os fenômenos a partir de tabelas de dados experimentais.

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1 Quadrados Mínimos

2 Situação  Em diversas ciências com uma dimensão experimental, é necessário modelizar os fenômenos a partir de tabelas de dados experimentais.  A modelização consista em inúmeros casos em procurar a função que expressa melhor a relação entre os dados.

3 Problema  O objetivo do método de mínimos quadrados é determinar uma função, a partir de combinação linear de funções simples, que aproxima um conjunto de pontos.  Existem métodos polinomiais (aproximação com polinômio), mas elas não sempre fornecem aproximações aceitáveis. O método de mínimos quadrados permite estender as aproximações com funções não polinomiais.

4 Exemplo 1 Esse conjunto de pontos aparece como uma parabola.

5 Exemplo 2

6 Caso discreto  A partir de uma tabela de valores (discretas), que representam vários pontos de uma função teórica (f(x)), tentamos determinar uma função  (x) combinação linear de funções g i (x) (  (x)=  1 g 1 (x)+...+  n g n (x)) de tal forma que o desvio de  - f seja mínimo para os valores da tabela.  O que significa mínimo nesse caso?

7 Caso contínuo  No caso contínuo, dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] e escolhidas as funções g 1 (x),.., g n (x), o objetivo é determinar constantes  1,...,  n de tal forma que  (x)=  1 g 1 (x)+...+  n g n (x) se aproxima ao maximo de f(x) no intervalo [a,b].  O que significa aproximar nesse caso?

8 Método dos quadrados mínimos  Caso discreto Considerando um conjunto de valores {(x 1,f(x 1 )),..., {(x m,f(x m ))} e n (com n  m) funções g n (x), o objetivo é encontrar um conjunto de coeficientes  1,..,  n de tal forma que a função  (x)=  1 g 1 (x)+..+  n g n (x) se aproxima ao máximo de f(x). O criterio para decidir da aproximação é minimizar a soma dos quadrados da diferencia entre as duas funções nos x i ou seja minimizar:

9 Método dos quadrados mínimos  Caso discreto Minimizar é minimizar a função: Para minimizar essa função F, devemos encontrar os pontos críticos da função, ou seja os valores (  1,...,  n ) tal que:

10 Método dos quadrados mínimos  Caso discreto Elemento de calculo: Para derivar, considerando os termos com  i :

11 Método dos quadrados mínimos  Caso discreto Elemento de calculo:

12 Método dos quadrados mínimos  Caso discreto Com a condição: obtemos assim o sistema a resolver:

13 Método dos quadrados mínimos  Caso discreto As equações desse sistema são chamadas equações normais. Ele pode ser escrito: Onde e A matriz desse sistema é simétrica.

14 Método dos quadrados mínimos  Caso discreto Considerando os vetores e e o produto escalar de dois vetores: Os coeficientes a ij podem ser escritos: e b i : Demontra-se que se as funções g 1 (x),...,g n (x) forem tais que os vetores: sejam linearmente independentes, o sistema admite uma solução única. Demonstra-se também que esta solução é o ponto em que a função F atinge seu valor mínimo.

15 Método dos quadrados mínimos  Caso discreto Se os vetores tiverem a propriedade suplementar seguinte:, nesse caso os vetores são ortogonais entre si e a matriz A do sistema é diagonal. Exemplo de funções ortogonais: seria de Fourier (aproximação de funções periódicas), polinômios de Legendre, Gram, Chebyshev.

16 Método dos quadrados mínimos  Caso contínuo Para aproximar uma função em um intervalo [a,b] com  uma combinação linear de funções (g 1,...,g n ) de coeficientes (  1,...,  n ), o método de quadrados mínimos propõe de minimizar a área entre as curvas das duas funções, ou seja minimizar:

17 Método dos quadrados mínimos  Caso contínuo Aplicando o mesmo princípio que no caso discreto, trata-se de minimizar a função: Obtemos um sistema de equações lineares: A  =b, onde A=(a ij ),  =(  1,...,  n ) e b=(b 1,...,b n ). a ij = e b i = com

18 Método dos quadrados mínimos  Caso não linear Existem casos que precisam ser aproximados por funções que não são resultados de combinação linear de funções simples. Por exemplo, podemos precisar de aproximar uma função com:

19 Método dos quadrados mínimos  Caso não linear Para resolver o caso não linear, é necessário linear a função escolhida para a aproximação. No caso de, se queremos aproximar f(x) com essa função, podemos tentar aproximar ln(f(x)) com, ou seja, que é um caso linear. É importante notar que os parâmetros obtidos não são ótimos em relação com o critério de quadrados mínimos.

20 Método dos quadrados mínimos  Teste de alinhamento Uma vez a função não linear em  1,..,  n escolhida, para testar se ela é um bom escolhe podemos: Linearizar essa função, Fazer o diagramo de dispersão dos novos dados E observar se os pontos do diagramo estiverem alinhados.

21 Exercício A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma amostra de nove homens entre as idades de 25 e 29 anos, extraída ao acaso entre funcionários de uma grande indústria: a)Faça o diagrama de dispersão dosdados e observer que parece existir uma relação linear entre a altura e o peso. b)Ajuste a reta que descreva o comportamento do peso em função da altura, isto é peso=f(altura), e ajuste a reta que descreva o comportamento da altura em função do peso, isto é altura=f(peso). c)Estime o peso de um funcionário com 175 cm de altura; e estima a altura de um funcionário com 80kg com cada uma das duas equações. Altura cm Peso kg

22 Solução b) x e c) Com o primeiro ajuste: 1.75-> e 80kg->1.897 Com o segundo ajuste: 1.75->72.14 e 80kg->1.871

23 Exercício  Ajuste os dados: a)Usando a aproximação y  1/(a 0 +a 1 x). Faça o gráfico para 1/y e verifique que esta aproximação é viável; b)Idem para y  ab x ; c)Compare os resultados x y

24 Solução  y=1/( x)  y=5.5199(0.8597) x


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