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Aula 17: 24/05/2012 Movimento de Partículas em Fluidos - Balanço de forças em uma partícula - Velocidade terminal - Reynolds da Partícula - Coeficiente.

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1 Aula 17: 24/05/2012 Movimento de Partículas em Fluidos - Balanço de forças em uma partícula - Velocidade terminal - Reynolds da Partícula - Coeficiente de arraste (Cd) TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I - Lei de Stokes

2 MOVIMENTO DE PARTÍCULAS EM FLUIDOS Não é uma operação unitária, é um conceito físico que será utilizado em várias operações unitárias de transferência de quantidade de movimento, como: Fluidização Transporte de sólidos em leito de fluido Sedimentação simples Centrifugação etc.

3 As partículas ao cair no seio de um fluido, sob ação de uma força constante, por exemplo a força da gravidade, sofrem aceleração durante um período de tempo muito curto e depois disso se movem à uma velocidade constante. Velocidade Terminal: definição aceleração Velocidade constante (terminal) Essa máxima velocidade que as partículas podem alcançar é chamada de velocidade terminal, e depende da densidade, tamanho e forma da partícula, além das propriedades do fluido e do campo.

4 Que forças agem sobre uma partícula sólida em movimento em um fluido (líquido ou gás)? Força de campo gravitacional: Força de empuxo: Força de arraste (atrito): Força resultante As forças de campo, de empuxo e de arraste Fe Fc Fa Resistência Movimento da partícula

5 [1]

6 Abaixo, encontram-se possibilidades para a velocidade relativa de uma partícula em uma corrente de fluido sob ação de um campo gravitacional: v p = 0 v f = 0 Velocidade da partícula (+) Velocidade do fluido (+)

7 v p = velocidade partícula v f = velocidade do fluido + - v p = 0 v f = (a) (b)(c)(d)(e) (a) (b) (c) (d) (e)

8 Consideremos uma partícula isolada, sob ação de força gravitacional e em movimento uniforme (sem aceleração). Do balanço de forças [1], tem-se: Como não há aceleração da partícula, tem-se: Rearranjando tem-se: Como calcular Vp, Ac e Cd? [2] [1]

9 A área característica é a área projetada. Quando a partícula é esférica, tem-se: Calculo de Vp e Ac: Área projetada Partícula esférica Área projetada de uma esfera Volume de uma esfera Para partículas não esféricas, usar o diâmetro equivalente (d eq ) definido na “aula de sólidos particulados”. [3] [4] Fluxo de fluido

10 E o valor de Cd? Substituindo [3] e [4] em [2] tem-se: [5]

11 O coeficiente de arraste (Cd) é função do número de Reynolds da Partícula: Regime Laminar (Eq. de Stokes) Regime Intermediário Regime Turbulento (Eq. Newton), onde Regime Alta Turbulência [6]

12 Região camada quase laminar Região camada turbulenta Região alta turbulência Regime laminar Lei de Stokes Gráfico do Coeficiente de Atrito Reynolds da Partícula

13 Ao aumentar a velocidade relativa (v R ), as linhas de corrente começam a oscilar na parte de trás da esfera. A pressão na parte frontal aumenta e ocorre um atrito adicional devido as oscilações. Quando o Re atinge valores altos ocorre uma separação de camada de fluido, no início laminar depois turbulenta

14 Video sobre escoamento laminar: Vídeo sobre escoamento turbulento:

15 No regime laminar tem-se: Lei de Stokes Substituindo Re p [6] em Cd laminar e usando [5] [5] [6] Equação fundamental do movimento de partículas em fluidos. Se obtém:

16 De forma análoga para os outros regimes tem-se: Regime laminar Regime de transição Regime turbulento sem oscilações Mas como saber o regime se Re p depende de v r ?

17 Abordagens para o cálculo de v r : Método 1 Método 2

18 As equações [5] e [6] podem ser utilizadas para calcular v R por tentativa e erro. Processo de cálculo com laço de interação: Se propõe um valor de v R Gráfico O laço de interação continua até que o valor da velocidade calculada seja igual (próximo) ao valor da velocidade proposta. Método 1 vRvR Comparar valores. Propor novo valor ou aceitar o valor de v R calculado Início [6] [5]

19 Define-se o número adimensional de Arquimedes C d Re p 2 Método 2 Gráfico C d Re p 2 versus Re p Isola-se v r de [6] e substitui-se em [5]. vrvr

20 Esfericidade

21 Exemplo: (1) Para o sistema onde um fluido tem um fluxo ascendente e uma partícula sólida descende, utilize os dois métodos estudados para calcular a velocidade relativa. Trata-se de um grão de soja cujas características são: d p = 0,006m;  p = 0,98;  p = 1190 kg/m 3  f = 1,2 kg/m 3 μ f = 1, kg/m.s O fluido é ar a 20ºC: Método 1 vr (m/s)Cd (gráfico)dp=0,006 m Chute inicial2,00838,550,5012,40pf =1,2 kg/m3 12,405199,240,4013,86uf =1,70E-05 kg/m.s 13,865812,930,4013,86g =9,8 m/s2 pp=1190 kg/m3 Velocidade relativa de13,86m/s

22 Região camada quase laminar Região camada turbulenta Região alta turbulência Regime laminar Lei de Stokes Gráfico do Coeficiente de Atrito Reynolds da Partícula ReCd (gráfico) 838,550, ,240, ,930,40 0.5

23 1,35.10^7 6, Método 2 v r =14,3m/s

24 (2) Calcule a velocidade relativa de partículas de pó com 60  m e 10  m de diâmetro, em ar a 21 o C e 100 kPa de pressão. Se assume que as partículas são esféricas, com densidade de 1280kg/m 3, que o ar tem uma viscosidade de 1, N.s/m 2 e uma densidade de 1,2 kg/m 3. Assuma regime laminar para iniciar os cálculos. Para a partícula de 60  m: v R = ( ) 2 9,8 (1280 – 1,2) = 0,139 m s (1, ) Regime Laminar Regime Transição Verificando o Re para a partícula de 60  m: Re = ( ) 0,14 (1,2) / (1, ) = 0,556 (Transição) Recalculando para regime transição: v R = 0,303 m s -1 ; Re = 1,212 (confirmado regime de transição).

25 Para a partícula de 10  m: v R = ( ) 2 9,8 (1280 – 1,2) = 0,00387 m s (1, ) Verificando o Re para a partícula de 10  m: Re = ( ) 0,00387 (1,2) / (1, ) = 0,0026 (Laminar)


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