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INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA. O QUE É A ANÁLISE COMBINATÓRIA? A análise combinatória corresponde ao ramo da matemática que procura elaborar métodos.

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1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA

2 O QUE É A ANÁLISE COMBINATÓRIA? A análise combinatória corresponde ao ramo da matemática que procura elaborar métodos que nos permitam encontrar o número de possibilidades que um evento pode ocorrer, sem a obrigatoriedade de descrevermos todos os eventos possíveis. A análise combinatória corresponde ao ramo da matemática que procura elaborar métodos que nos permitam encontrar o número de possibilidades que um evento pode ocorrer, sem a obrigatoriedade de descrevermos todos os eventos possíveis.

3 Trata-se de uma parte da matemática extremamente prática, onde a teoria é apenas uma pequena fração do conhecimento exigido. Trata-se de uma parte da matemática extremamente prática, onde a teoria é apenas uma pequena fração do conhecimento exigido. Isso significa que, mais que fórmulas e conceitos, devemos ter muita criatividade e uma boa dose de interpretação na hora de resolver os problema. Isso significa que, mais que fórmulas e conceitos, devemos ter muita criatividade e uma boa dose de interpretação na hora de resolver os problema.

4 POR QUE É IMPORTANTE CONHECER UM PROCESO DE CONTAGEM? É importante conhecermos tais métodos, pois nem sempre temos condições de descrever todas as formas sob as quais uma situação pode ocorrer, principalmente em situações onde a resposta é um número muito elevado. É importante conhecermos tais métodos, pois nem sempre temos condições de descrever todas as formas sob as quais uma situação pode ocorrer, principalmente em situações onde a resposta é um número muito elevado.

5 O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Corresponde ao mais importante princípio da análise combinatória. Uma boa parte dos exercícios de contagem podem ser resolvidos usando-se esse princípio simples. Corresponde ao mais importante princípio da análise combinatória. Uma boa parte dos exercícios de contagem podem ser resolvidos usando-se esse princípio simples. Tal princípio procura estabelecer qual o número de maneira que um determinado evento pode ocorrer, quando a ordem de seus elementos é importante e quando este evento é segmentado em diversas etapas. Tal princípio procura estabelecer qual o número de maneira que um determinado evento pode ocorrer, quando a ordem de seus elementos é importante e quando este evento é segmentado em diversas etapas.

6 PODEMOS ENUNCIAR O PFC DA SEGUINTE MANEIRA: Se um evento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que: Se um evento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que: P1 é o número de possibilidades da etapa 1; P2 é o número de possibilidades da etapa 2; Pn é o número de possibilidades da etapa n. O número de maneiras que o evento pode ocorrer é dado por: p1.p2.p3...pn.

7 EXEMPLO 1 Uma fábrica produz automóveis, cujos modelos podem ser escolhidos de acordo com alguns opcionais. Os clientes podem decidir entre as seguintes opções: Modelo: conversível ou não conversível Modelo: conversível ou não conversível Combustível: gasolina, bicombustível ou gás. Combustível: gasolina, bicombustível ou gás. De quantas formas se pode escolher um carro com essas opções?

8 RESOLUÇÃO Sabemos que existem duas opções quanto ao modelo (conversível ou não conversível) e três opções para o combustível (gasolina, bicombustível ou gás). Sabemos que existem duas opções quanto ao modelo (conversível ou não conversível) e três opções para o combustível (gasolina, bicombustível ou gás). De acordo com o princípio fundamental da contagem, o número de possibilidades que temos ao todo é dado pelo produto das possibilidades de cada evento individual. Dessa forma, o número de possibilidades é igual a 2.3 = 6 possibilidades.

9 Observe que esse resultado condiz com a realidade. Observe o diagrama abaixo. Observe que esse resultado condiz com a realidade. Observe o diagrama abaixo. De acordo com o diagrama as opções são: {conversível e gasolina; conversível e gás; conversível e bicombustível; não conversível e gasolina; não conversível e gás; não conversível e bicombustível}

10 EXEMPLO 2 Uma secretária devia enviar cinco cartas a cada um dos clientes de uma empresa. Apesar de saber os endereços dos clientes, ela não sabia qual deveria ser o destino de cada carta. Se os conteúdos das cartas são distintos e cada cliente receberá uma cata diferente, de quantas maneiras ela poderá enviar as cinco cartas?

11 RESOLUÇÃO Vamos chamar os clientes de A, B, C, D e E. Dessa forma, o cliente A poderá receber qualquer uma das cinco cartas. Escolhida a carta de A, o cliente B poderá receber qualquer uma das quatro cartas que sobraram. Seguindo esse raciocínio temos que o cliente C pode receber 3 cartas, o D duas e o E apenas uma. Pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades é: = 120 possibilidades

12 EXEMPLO 3 Um determinado site utiliza uma senha de acesso composta por cinco caracteres, sendo os dois primeiros alfabéticos (26 letras) e os três últimos numéricos (10 algarismos). Para tornar ainda mais seguro ao acesso ao site, a direção resolveu instituir uma nova senha composta por seis caracteres, sendo os três primeiros alfabéticos e os três últimos numéricos. Com essa nova decisão, quantas senhas adicionais e distintas poderão ser cadastradas?

13 RESOLUÇÃO A quantidade de senhas que o site oferecia antes do aumento era dada por: = Após o aumento, o número de senhas passou a ser: = O aumento no número de senhas é dado pela diferença entre esses dois valores. n= – = novas senhas

14 O PRINCÍPIO ADITIVO Tal princípio trabalha com eventos independentes. Em outras palavras quanto temos a opção de escolher uma coisa ou outra. De maneira geral temos que: Se existem x maneiras de se tomar uma decisão A e y maneiras de se tomar uma decisão B, o número de opções de se tomar a decisão A ou a B será dada por x + y.

15 Observe que quanto usamos o termo “ou” em Análise Combinatória, devemos somar as possibilidades dos eventos e quando usamos o termo “e”, devemos multiplicar o número de possibilidades.

16 EXEMPLO: José quer instalar a internet em sua casa. Após uma análise de possíveis provedores, verificou que existem 10 opções de acesso à internet do tipo banda-larga e duas opções de acesso do tipo discada. Se ele escolher uma delas, quantas opções de escolha são possíveis? José quer instalar a internet em sua casa. Após uma análise de possíveis provedores, verificou que existem 10 opções de acesso à internet do tipo banda-larga e duas opções de acesso do tipo discada. Se ele escolher uma delas, quantas opções de escolha são possíveis?

17 RESOLUÇÃO José escolherá apenas uma das opções de internet, ou seja, uma das opções de banda larga ou uma das opções de internet discada. José escolherá apenas uma das opções de internet, ou seja, uma das opções de banda larga ou uma das opções de internet discada. Seu assim, o número de opções de José será = 12 opções de escolha.

18 EXEMPLO 2 Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. Qual o número máximo de palavras, com três letras ou menos, que podem ser formadas com esse código? Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. Qual o número máximo de palavras, com três letras ou menos, que podem ser formadas com esse código?

19 RESOLUÇÃO As palavras formadas podem possuir uma, duas ou até três letras. Logo para achar o total de possibilidades devemos considerar as palavras que possuem uma ou duas ou três letras. As palavras formadas podem possuir uma, duas ou até três letras. Logo para achar o total de possibilidades devemos considerar as palavras que possuem uma ou duas ou três letras. Palavras com uma letra: 2 possibilidades Palavras com uma letra: 2 possibilidades Palavras com duas letras: são duas possibilidades para a primeira letra e duas para segunda, ao todo são 2.2 = 4 possibilidades. Palavras com duas letras: são duas possibilidades para a primeira letra e duas para segunda, ao todo são 2.2 = 4 possibilidades. Palavras com três letras: temos duas possibilidades para a primeira letra, duas para a segunda e duas para a terceira, totalizando = 8 possibilidades. Palavras com três letras: temos duas possibilidades para a primeira letra, duas para a segunda e duas para a terceira, totalizando = 8 possibilidades. Ao todo temos = 14 possibilidades

20 OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Muitos problemas de análise combinatória apresentam algum tipo de restrição, ou seja, uma condição prévia que deve ser satisfeita para a resolução do problema. Nos problemas em que tais restrições aparecem, devemos iniciar a resolução do problema por tal restrição e depois resolvemos o resto do problema. Muitos problemas de análise combinatória apresentam algum tipo de restrição, ou seja, uma condição prévia que deve ser satisfeita para a resolução do problema. Nos problemas em que tais restrições aparecem, devemos iniciar a resolução do problema por tal restrição e depois resolvemos o resto do problema.

21 EXEMPLO (Unicamp-SP) Sabendo que os números de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantos diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos. (Unicamp-SP) Sabendo que os números de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantos diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos.

22 RESOLUÇÃO Se o número de telefone não pode ter o primeiro algarismo igual a zero ou um, sobram 8 algarismos que podem ocupar essa primeira posição. As demais posições podem ser ocupadas por quaisquer algarismos. Isso quer dizer que para o segundo algarismo temos 10 possibilidades, para o terceiro 10, para o quarto 10, para o quinto 10, para o sexto 10 e para o sétimo 10. Se o número de telefone não pode ter o primeiro algarismo igual a zero ou um, sobram 8 algarismos que podem ocupar essa primeira posição. As demais posições podem ser ocupadas por quaisquer algarismos. Isso quer dizer que para o segundo algarismo temos 10 possibilidades, para o terceiro 10, para o quarto 10, para o quinto 10, para o sexto 10 e para o sétimo 10. Logo, o total de possibilidades será: = de possibilidades


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