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Distância entre Dois Pontos Na Recta No Plano No Espaço © Paulo Correia 2001.

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Apresentação em tema: "Distância entre Dois Pontos Na Recta No Plano No Espaço © Paulo Correia 2001."— Transcrição da apresentação:

1 Distância entre Dois Pontos Na Recta No Plano No Espaço © Paulo Correia 2001

2 0 A distância de um ponto de coordenada positiva à origem é o valor da própria coordenada. 5 x P(5) d PO =5 5 Distância entre dois pontos na Recta Início © Paulo Correia 2001

3 0 A distância de um ponto de coordenada negativa à origem é o valor simétrico da própria coordenada. -5 x Q(-5) d QO =5 5 Distância entre dois pontos na Recta Início © Paulo Correia 2001

4 De uma forma geral, a distância de um ponto à origem é o valor absoluto da própria coordenada. a x P(a) d PO =|a| 0 |a| Distância entre dois pontos na Recta Início © Paulo Correia 2001

5 0 A distância entre dois pontos será dada pela subtracção das coordenadas. 5 x P(3) Q(5) d PQ =5-3 =2 3 2 Distância entre dois pontos na Recta Início © Paulo Correia 2001

6 a Se não soubermos qual é o maior valor (a ou b), calculamos o valor absoluto da subtracção das coordenadas, assim vamos obter sempre um valor positivo para a distância. b x P(a) Q(b) d PQ =|a-b| |a-b| Distância entre dois pontos na Recta Início © Paulo Correia 2001

7 03 x P(5) Q(3) d PQ =|a-b| Exemplo: 5 d PQ = |3-5| = |-2| = 2 d PQ = |5-3| = |2| = 2 Início © Paulo Correia 2001

8 03 x P(-1) Q(3) Exemplo: d PQ = |-1-3| = |-4| = 4 d PQ = |3-(-1)| = |3+1| = |4| = 4 Início © Paulo Correia 2001 d PQ =|a-b|

9 0-6 x P(-2) Q(-6) Exemplo: -2 d PQ = |-6-(-2)| = |-6+2| = |-4| = 4 d PQ = |-2-(-6)| = |-2+6| = |4| = 4 Início © Paulo Correia 2001 d PQ =|a-b|

10 -2 4 x P(-2,4) Q(-2,9) R(4,4) 5 Distância entre dois pontos no Plano y 0 P9Q 4 R 6 No plano, para pontos com a mesma abcissa, a distância é o módulo da diferença das ordenadas: d PR = |-2-4| = = 6 No plano, para pontos com a mesma ordenada, a distância é o módulo da diferença das abcissas: d PQ = |4-9| = = 5 Início

11 x Distância entre dois pontos no Plano y 0 P(a 1,b 1 ) Q(a 2,b 2 ) Quando nenhuma das coordenadas coincide, como determinar a distância entre os pontos? a1a1 b1b1 a2a2 b2b2 P Q ? Início © Paulo Correia 2001

12 x Distância entre dois pontos no Plano y 0 P(a 1,b 1 ) Q(a 2,b 2 ) Começamos por considerar um terceiro ponto cuja abcissa seja igual à de um dos pontos e a ordenada igual à do outro ponto. a1a1 b1b1 a2a2 b2b2 P Q ? R(a 2,b 1 ) R Início © Paulo Correia 2001

13 x Distância entre dois pontos no Plano y 0 P(a 1,b 1 ) Q(a 2,b 2 ) Determinamos a distância do ponto novo a cada um dos pontos dados. a1a1 b1b1 a2a2 b2b2 P Q ? R(a 2,b 1 ) R d PR = | a 1 -a 2 | d QR = | b 1 -b 2 | Início © Paulo Correia 2001

14 x Distância entre dois pontos no Plano y 0 P(a 1,b 1 ) Q(a 2,b 2 ) Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos determinar a distância entre os dois ponto iniciais. a1a1 b1b1 a2a2 b2b2 P Q R(a 2,b 1 ) R d PR = | a 1 -a 2 | d QR = | b 1 -b 2 | (d PQ ) 2 = (d PR ) 2 + (d QR ) 2 Início © Paulo Correia 2001

15 x Distância entre dois pontos no Plano y 0 P(a 1,b 1 ) Q(a 2,b 2 ) Podemos expressar a distância entre dois pontos através das suas coordenadas. a1a1 b1b1 a2a2 b2b2 P Q R(a 2,b 1 ) R d PR = | a 1 -a 2 | d QR = | b 1 -b 2 | (d PQ ) 2 = (d PR ) 2 + (d QR ) 2 (d PQ ) 2 = ( a 1 -a 2 ) 2 + ( b 1 -b 2 ) 2 Início © Paulo Correia 2001

16 Exemplo: x y 0 P(7,-2)7 -2 P A distância de um ponto à Origem é dada por: Início © Paulo Correia 2001

17 Exemplo: x y 0 P(7,-2) Q(-3,4) 7 -2 P -3 4 Início © Paulo Correia 2001

18 x Distância entre dois pontos no Espaço y z P(a 1,b 1,c 1 ) Q(a 2,b 2,c 2 ) P Q a1a1 b1b1 c1c1 a2a2 b2b2 c2c2 ? Início © Paulo Correia 2001

19 x Distância entre dois pontos no Espaço y z P(a 1,b 1,c 1 ) Q(a 2,b 2,c 2 ) R(a 2, b 2,c 1 ) P Q a1a1 b1b1 c1c1 a2a2 b2b2 c2c2 Começamos por considerar um ponto com duas coordenadas iguais a um dos pontos e a outra igual ao outro ponto. R Início © Paulo Correia 2001

20 x Distância entre dois pontos no Espaço y z P(a 1,b 1,c 1 ) Q(a 2,b 2,c 2 ) R(a 2, b 2,c 1 ) P Q a1a1 b1b1 c1c1 a2a2 b2b2 c2c2 Determinamos a distância desse ponto a cada um dos outros pontos. R (d PR ) 2 = (a 1 -a 2 ) 2 + (b 1 -b 2 ) 2 d QR = | c 1 -c 2 | Início © Paulo Correia 2001

21 x Distância entre dois pontos no Espaço y z P(a 1,b 1,c 1 ) Q(a 2,b 2,c 2 ) P Q a1a1 b1b1 c1c1 a2a2 b2b2 c2c2 Através do Teorema de Pitágoras podemos agora determinar a distância entre os ponto P e Q. R (d PR ) 2 = (a 1 -a 2 ) 2 + (b 1 -b 2 ) 2 d QR = | c 1 -c 2 | (d PQ ) 2 = (d PR ) 2 + (d QR ) 2 (d PQ ) 2 = (a 1 -a 2 ) 2 + (b 1 -b 2 ) 2 + ( c 1 -c 2 ) 2 Início © Paulo Correia 2001

22 x Distância entre dois pontos no Espaço y z P(a 1,b 1,c 1 ) Q(a 2,b 2,c 2 ) P Q a1a1 b1b1 c1c1 a2a2 b2b2 c2c2 Podemos expressar a distância entre dois pontos através das suas coordenadas. R (d PR ) 2 = (a 1 -a 2 ) 2 + (b 1 -b 2 ) 2 d QR = | c 1 -c 2 | (d PQ ) 2 = (d PR ) 2 + (d QR ) 2 (d PQ ) 2 = (a 1 -a 2 ) 2 + (b 1 -b 2 ) 2 + ( c 1 -c 2 ) 2 Início © Paulo Correia 2001

23 A distância de um ponto à Origem é dada por: Exemplo: x y z P(-2,5,4) P Início © Paulo Correia 2001

24 Exemplo: x y z P(2,-2,-4) Q(-4,6,3) P Q Início © Paulo Correia 2001

25 Distância entre Dois Pontos Na Recta No Plano No Espaço P(a) Q(b) d PQ =|a-b| P(a 1,b 1 ) Q(a 2,b 2 ) P(a 1,b 1,c 1 ) Q(a 2,b 2,c 2 ) Início © Paulo Correia 2001

26 PONTO MÉDIO

27 Resumindo: Basta somar as coordenadas do x e do y e dividir por 2.


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