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PublicouRaíssa Barroso Alterado mais de 9 anos atrás
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Incomensurabilidade entre o lado e a diagonal do pentágono.
Introdução: O que é um pentagrama?
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O Pentagrama: O pentagrama é uma figura geométrica que está intimamente relacionada aos pitagóricos; O pentagrama é a figura formada pela união das diagonais de um pentágono regular; A construção deste pentágono utilizando somente régua e compasso está detalhada no ambiente Cabri.
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Figura 1: Pentagrama.
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A matemática envolvida:
O pentagrama é uma de difícil construção, porém ele é repleto de “boas propriedades”, que serão detalhadas posteriormente; Paralelamente, construímos um pentagrama no ambiente Geometer´s Sketchpad semelhante ao da Figura2.
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Figura2: O pentagrama e a incomensurabilidade.
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Propriedades do pentagrama:
O pentagrama é baseado em triângulos isósceles cujos ângulos da base são o dobro do ângulo remanesnescente; Todos os ângulos na Figura2 são múltiplos do ângulos fundamental: BÂC =36 graus. Por semelhança de triângulos, temos que: AF = BE.
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Incomensurabilidade:
Aplicando o algoritmo de antifairese entre o lado AB e a diagonal AD temos: AB = AE + EB = AD + EG; onde EG é a diagonal do pentágono menor e é menor do que AD; AD = AF + FE; onde FE é o lado do pentágono menor e é menor do que AF.
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Conclusão: Aplicando o algoritmo de antifairese, entre a diagonal e o lado do pentágono teremos, após dois passos, que repetir o processo para o pentagrama menor, e este processo continua indefinidamente. Usando isso como critério de incomensurabilidade temos que o lado e a diagonal do pentágono são incomensuráveis. Voltar
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