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CÁLCULO VARIACIONAL Necessidade de solução de alguns problemas da época. Relaciona-se com os funcionais (função de uma função). Seja a expressão Para cada.

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1 CÁLCULO VARIACIONAL Necessidade de solução de alguns problemas da época. Relaciona-se com os funcionais (função de uma função). Seja a expressão Para cada valor de y(x), I terá um valor característico e também não dependerá de x pois a integração é feita sobre esta variável.

2 Como exemplo, seja F(y(x),x) = xy sendo os limites de integração x 1 =1 e x 2 =2. a) Se y = x 2 então b) Se y = x 3 então I = 31/5. Portanto, I depende da função y(x). Diz-se que I é um funcional de y e representa-se por I=I[y]

3 EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE Questão: Para que função y(x) que passa pelos pontos P 1 e P 2 tem-se um I extremo(máximo ou mínimo)? P1P1 P2P2 x y

4 Para sabermos se uma função y(x) é um extremo(máximo ou mínimo) fazemos Onde y(x) extremo implica em dy = 0. Expandindo em série de Taylor o 1º termo da equação acima, encontramos Portanto, a condição de y(x) extremo é

5 Para os funcionais é diferente, pois I depende do tipo de curva y(x). Seguindo o mesmo caminho anterior, temos: a)Passamos para uma curva infinitamente próxima a y(x), isto é, y(x) + δy b)Procuramos a variação correspondente δI. c) A curva correspondente y(x) será um extremo se δI=0. P1P1 P2P2 xx+dx y dy δyδy

6 Perceba a diferença entre dy e δy. Determinar o extremo de I, significa fazer Expandindo o termo da 1ª integral, temos Aplicando a condição δI=0, obtemos

7 Seja a função. Neste caso, I=I [y,y’]. Assim, Expandindo o termo da 1ª integral e substituindo na equação acima chegamos ao resultado (1)

8 Onde o 2º termo da integral pode ser reescrito como Fazendo,, e e integrando por partes, obtemos O 1º termo é nulo as curvas y(x) e y(x+dx) passam pelos pontos, isto é, δy(x 2 ) = δy(x 1 ) = 0.

9 Assim, a equação (1) se torna Portanto, I será um extremo se δI = 0. Logo, Esta é a equação de Euler-Lagrange.


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