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Círculo de estudos MatB 10 Soure Jan-Mai 2002 Júlia Portugal OS CINCO SÓLIDOS PLATÓNICOS.

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2 Círculo de estudos MatB 10 Soure Jan-Mai 2002 Júlia Portugal OS CINCO SÓLIDOS PLATÓNICOS

3 Planificação do tema: sólidos platónicos 1-Introdução ao tema 2-Revisões sobre: sólidos geométricos, classificação dos polígonos quanto ao número de lados, sólidos convexos e côncavos, determinação da amplitude dos ângulos internos de um polígono convexo regular. 1

4 3-Breve resenha histórica sobre os sólidos platónicos. 4-Constituição dos grupos de trabalho e eleição do líder. 5-Entrega e explicação do roteiro de trabalho. 6-Início da realização da actividade. 7-Continuação do trabalho fora da sala de aula (T.P.C.) 8-Apresentação dos trabalhos. Alusões finais. 2

5 1.Introdução ao tema cinco poliedros regulares convexos O tema que vamos discutir nas próximas aulas tem origem na descoberta da existência de apenas cinco poliedros regulares convexos. Pretendemos que durante as próximas aulas com os conhecimentos adquiridos sobre geometria no 3º ciclo, vão mais longe na descoberta do teorema " só existem 5 poliedros regulares convexos". Desta forma pretendemos pôr ênfase num ramo da matemática tão importante ao longo da história mas por vezes tão negligenciado. Como complemento, fica no ar também a proposta da actividade "Será que todos os poliedros regulares são convexos"?(ver anexo 3) 3

6 Objectivos curriculares: Investigar a razão pela qual não existe uma infinidade de poliedros regulares convexos. Determinar, construindo, quantos sólidos platónicos existem. Indo mais longe.... "Será que todos os poliedros regulares são convexos"? 4

7 Objectivos curriculares: Materiais de apoio: Material Polydron (triângulos equiláteros, quadrados, pentágonos regulares, hexágonos regulares), e uma tabela para que o aluno registe algumas informações que vai adquirindo. Pré-requisitos: Conhecimentos sobre Polígonos e polígonos regulares. Poliedros, poliedros regulares e convexos. Ângulos internos de um polígono convexo, regular ou não. 5

8 Objectivos curriculares: Avaliação: Elaboração de um relatório onde devem fazer uma breve resenha histórica sobre os sólidos platónicos, explicação sucinta e complementada através de uma tabela acerca da existência de apenas cinco sólidos regulares convexos. Construção dos poliedros, onde também será valorizado o embelezamento dos sólidos (por exemplo com figuras de Escher). Descrição das principais dificuldades encontradas na realização do trabalho e uma conclusão final. 6

9 Tempos lectivos destinados ao tema Ponto 1- 20,5 Ponto ,5 Ponto

10 2. Revisões Sólidos geométricos: Poliedros, não poliedros Definição de polígono: Figura plana fechada limitada por segmentos de recta. Polígono regular: polígono em que as amplitudes dos ângulos internos do polígono são todas iguais, bem como o comprimento dos seus lados. Classificação dos polígonos quanto ao número de lados. Completa a tabela 1 (ver anexo 1). 8

11 2. Revisões sólidos convexos e côncavos: » Convexos: quaisquer dois pontos do sólido definem um segmento de recta contido no sólido. »Côncavos: existem pelo menos dois pontos do sólido cujo segmento de recta que os une não fica contido no sólido. 9

12 2. Revisões Determinação da amplitude dos ângulos internos de um polígono regular convexo completa a tabela 2 (ver anexo 1). 10

13 BREVE INTRODUÇÃO HISTÓRICA AOS SÓLIDOS PLATÓNICOS - 1 A Humanidade, na sua história, estudou a Matemática em ordem inversa à que foi seguida nas suas escolas, ou quase. De facto a numeração decimal é a primeira coisa que se aprende, mal se vai à escola, e foi, pelo contrário, uma tardia conquista de uma humanidade já doutíssima em geometria. Poder-se-ia dizer que a geometria é em vários milhares de anos mais velha do que a Aritmética. Os gregos tinham um verdadeiro culto pela geometria, que elevaram a um alto grau de perfeição. Consideravam-na uma ciência que habitua a raciocinar, que refina a inteligência; diziam pelo contrário que não era preciso estudá-la com fins práticos, mas para "a honra da mente Humana.

14 BREVE INTRODUÇÃO HISTÓRICA AOS SÓLIDOS PLATÓNICOS - 2 Platão (sec II a.C.9, o grande filósofo aluno de Sócrates, foi o primeiro matemático a demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares: o cubo, tetraedro, octaedro dodecaedro e o icosaedro. Para Platão o universo era formado por um corpo e uma alma ou inteligência. Na matéria havia porções limitadas por triângulos, formando-se elementos que diferem entre si pela natureza da forma das suas superfícies periféricas. Se forem quadrados temos o cubo- o elemento da terra. Se forem triângulos, formando um tetraedro, teremos o fogo, cuja natureza penetrante está simbolizada na agudeza dos seus vértices.

15 BREVE INTRODUÇÃO HISTÓRICA AOS SÓLIDOS PLATÓNICOS - 3 O ar é formado por octaedros e a água de isocaedros. Platão admitia ainda que por intervenção inteligente, uns se transformavam nos outros à excepção da terra, que se transforma em si própria. O dodecaedro cheio de harmonia simbolizava o próprio universo. No entanto ainda existem dúvidas se o teorema" só há cinco sólidos platónicos" se deve a Platão ou a Pitágoras. Mas provar- se-ia mais tarde que este teorema era falso e Cauchy provou que há nove poliedros regulares e que não existem mais. o erro do teorema de Platão ou de Pitágoras reside no facto de os poliedros regulares por eles considerados não serem obrigatoriamente convexos.

16 BREVE INTRODUÇÃO HISTÓRICA AOS SÓLIDOS PLATÓNICOS - 4 Séculos mais tarde Kepler descobriu o primeiro poliedro regular côncavo que é o dodecaedro estrelado de faces regulares que resulta do prolongamento das faces do dodecaedro. Dois séculos mais tarde,Louis Poinsot descobriu três novos poliedros regulares não convexos. Na actualidade numerosos matemáticos, artistas plásticos, designers e arquitectos entusiasmam-se com as propriedades e aplicações dos poliedros propondo várias formas de os construir e também de os representar em ecrãs de computador.

17 5. Entrega e explicação do roteiro do trabalho Roteiro da Actividade Sabendo que: Num poliedro a soma das amplitudes dos ângulos internos em cada vértice é sempre inferior a 360º; Nos poliedros regulares as suas faces são polígonos regulares; Soma dos ângulos internos de um polígono convexo regular ou não é (n-2)*180º. Determina nestas condições quantos poliedros regulares convexos consegues formar. 12

18 5. Entrega e explicação do roteiro do trabalho Sugestão: Para facilitar a tua investigação podes utilizar completar a tabela 3 (ver anexo 1). Elabora um pequeno relatório com a explicação e cálculos das conclusões a que chegaste Constrói agora os poliedros regulares convexos que descobriste nos pontos anteriores. Não te esqueças de completar a resenha histórica que te foi dada no início da actividade. Caso não tenhas conseguido encontrar os cinco sólidos platónicos consulta o material de apoio fornecido pelo teu professor (ver anexo3). 13


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