A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Aula 8: Determinantes (continuação). Mais propriedades dos determinantes D9: Sejam A e B matrizes nxn e k um escalar qualquer temos que: Exemplo: D10:

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Aula 8: Determinantes (continuação). Mais propriedades dos determinantes D9: Sejam A e B matrizes nxn e k um escalar qualquer temos que: Exemplo: D10:"— Transcrição da apresentação:

1 Aula 8: Determinantes (continuação)

2 Mais propriedades dos determinantes D9: Sejam A e B matrizes nxn e k um escalar qualquer temos que: Exemplo: D10: Sejam A, B, C matrizes nxn que diferem em uma única linha (r- ésima), suponha que nesta linha para todo j=1,...,n então: Exemplo: (Quadro)

3 Mais propriedades dos determinantes D11: Se B é uma matriz nxn e E é uma matriz elementar nxn então: Consequência: D12: Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, det(A)≠0. D13: Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho então: D14: Se A é invertível então: D15: Se A é ortogonal (A -1 =A T ) então det(A -1 )=1 ou -1.

4 Determinantes, sistemas e invertibilidade Teorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes: a)A é invertível. b)Ax=0 só tem a solução trivial. c)A forma escalonada reduzida por linhas de A é I n. d)A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. e)Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1. f)Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1. g)det(A)≠0.

5 Expansão em cofatores Definição: (menor de a ij ) Se A é uma matriz quadrada então o determinante menor da entrada a ij, ou simplesmente o menor de a ij é denotado por M ij e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimido a i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Exemplo: Definição: (cofator) O número (-1) i+j M ij e denotado por C ij é chamado de o cofator de a ij.

6 Expansão em cofatores Observe a fórmula para o determinante de ordem 3: (expansão em cofatores ao longo da primeira linha)

7 Expansão em cofatores Teorema: O determinante de uma matriz A (nxn) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores. Estas somas são denominadas expansões em cofatores de det(A). Exemplo: (Quadro) (expansão em cofatores ao longo da linha i) (expansão em cofatores ao longo da coluna j)

8 Expansão em cofatores Definição: (matriz de cofatores e adjunta de A) Se A é uma matriz quadrada de ordem n e C ij é o cofator de a ij então a matriz é chamada matriz de cofatores de A. A transposta desta matriz é chamada adjunta de A e denotada por adj(A). Exemplo: (Quadro)

9 Idéia da prova: Mostra –se que: Como A é invertível, det(A)≠0. Portanto a equação pode ser reescrita como: Multiplicando-se ambos os lados à esquerda por A-1 obtemos: Fórmula para inversa de uma matriz Teorema: Se A é uma matriz nxn, invertível então Exemplo: (Quadro)

10 Regra de Cramer Teorema: (Regra de Cramer) Se Ax=b é um sistema de n equações lineares com n incógnitas tal que det(A)≠0, então o sistema tem uma única solução. Esta solução é: onde A j é a matriz obtida subtraindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas do vetor coluna b. Observação: Quando det(A)≠0 onde A é a matriz dos coeficientes de um sistema linear, o sistema é chamado sistema de Cramer Idéia da prova + Exemplo: Quadro

11 Através da Regra de Cramer podemos classificar um sistema linear quanto as suas soluções: Se det(A)=0 e pelo menos um dos det(A i )≠0 o sistema é imcompatível. Se det(A)=0 e det(A i )=0 para todo i o sistema é compatível e indeterminado. Se det(A) ≠0 o sistema é compatível e determinado. Regra de Cramer

12 Sistemas lineares da forma Ax=λx Muitas aplicações da Álgebra linear envolvem sistemas de n equações lineares e n incógnitas que aparecem no formato: Ax=λx onde λ é um escalar. Tais sistemas são realmente sistemas homogêneos disfarçados pois podem ser reescritos como λx-Ax=0 ou ainda λ I x-Ax=0 (λ I -A)x=0. Uma pergunta fundamental em relação ao sistema (1) é determinar para quais valores de λ o sistema tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado autovalor de A. Se λ é um autovalor de A então cada solução não trivial de (2) é chamada autovetor de A associado ao autovalor λ. (1) (2)

13 Sistemas lineares da forma Ax=λx Vimos que A é invertível ↔ Ax=0 tem somente solução trivial logo (λ I -A)x=0 tem solução não trivial ↔ (λ I -A) não é invertível, ou seja, det(λ I -A)x=0 Exemplo: Expresse o sistema linear abaixo no formato (λ I -A)x=0 encontre: (i) A equação característica; (ii) os autovalores; (iii) os autovetores associados a cada autovalor Equação característica de A


Carregar ppt "Aula 8: Determinantes (continuação). Mais propriedades dos determinantes D9: Sejam A e B matrizes nxn e k um escalar qualquer temos que: Exemplo: D10:"

Apresentações semelhantes


Anúncios Google