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Programas Inteiros -Seleção de Investimentos Problema: Uma empresa tem $14.000 de capital disponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 4 bons.

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1 Programas Inteiros -Seleção de Investimentos Problema: Uma empresa tem $ de capital disponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 4 bons investimentos cujos respectivos retornos esperados em termos de valor presente são $16.000, $22.000, $ e $8000. Cada investimento necessita um desembolso imediato de $5000, $7000, $4000 e $3000, respectivamente. Formule um modelo matemático que determine os investimentos que maximizam o retorno esperado. Variáveis de decisão: 1se o investimento j for escolhido x j = 0caso contrário(4 variáveis booleanas) 3-28

2 Programas Inteiros -Seleção de Investimentos Modelo matemático: max z = 16 x x x x 4 sujeito a 5 x x x 3 + 3x 4 <= 14 x j = 0 ou 1; j=1,2,3,4 Este problema também é conhecido como Problema da Mochila Ele tem 2 n soluções possíveis (n investimentos). 3-29

3 Programas Inteiros -Seleção de Investimentos Considere agora que as restrições adicionais: 1. Só é possível fazer no máximo 2 dos 4 investimentos. 2. Se se decidir pelo investimento 2, então tem-se que fazer também o 1 3. Se se decidir pelo investimento 2, então não se pode fazer o 4. Modele estas novas situações: 1.x 1 + x 2 + x 3 + x 4 <=2 2.x 2 <= x 1 3.x 2 + x 4 <=

4 Programas Inteiros - Siderúrgica CSM Problema: A siderúrgia CSM produz uma série de produtos a partir de lingotes que são moldados com o aço que sai dos alto-fornos. Os lingotes devem ser reaquecidos sempre que se necessita fazer um certo produto, sendo então processados em laminadores, etc. A fábrica produz 130 produtos diferentes e a forma e o tamanho dos lingotes disponíveis determina a perda de material que ocorre quando um certo produto é fabricado. Ou seja, há um tipo de lingote mais apropriado para fazer um certo produto. Além disso, certos lingotes não podem ser usados para fazer certos produtos. Há 600 diferentes formas possíveis para moldar os lingotes, mas por restrições do espaço disponível para estocagem, decidiu-se que se manteriam estoques apenas de 6 tipos de lingotes. Deseja-se selecionar os 6 tipos de lingotes que minimizam a perda de material. 3-31

5 Programas Inteiros - Siderúrgica CSM Definindo parâmetros do modelo: i := tipo de lingote (i= 1,..., m) j := tipo de produto (j=1,..., n) c ij = perda de material se o lingote i for usado para fazer o produto j I j = conjunto de índices i (lingotes) que podem ser usados para fazer o produto j I=(2,5,6,8) 3-32 i=2 i=5 i=6 i=8 produto j

6 Programas Inteiros - Siderúrgica CSM Definindo as variáveis de decisão: Para decidir quais tipos de lingotes escolher entre os 600 disponíveis deve-se usar variáveis booleanas. y i = 1 se o lingote tipo i for escolhido 0 caso contrário (600 variáveis booleanas) Como a função objetivo é a minimização da perda de material (c ij ), é preciso criar um novo tipo de variável a fim de poder escrever a função objetivo. x ij = 1 se o lingote tipo i for usado para o produto j 0 caso contrário (no max variáveis booleanas) 3-33

7 Programas Inteiros - Siderúrgica CSM Modelo Matemático: Função Objetivo: Min Restrições: 3-34

8 Programas Inteiros - Siderúrgica CSM Explicações: Restrições (1):Escolhe no máximo p (=6) lingotes entre os n (=600) disponíveis. Restrições (2):Garante que cada produto será feito por um único tipo de lingote. Além disso, proíbe a solução trivial y j =x ij =0, i=1,..., m; j=1,...,n. Restrições (3:Permite que um tipo de lingote seja alocado a um produto se o lingote for um dos p escolhidos. 3-35

9 Programas Inteiros - Roupas Gandhi A fábrica de roupas Gandhi fabrica 3 tipos de roupas: camisas, shorts e calças. O maquinário necessário para fazer cada tipo de roupa deve ser alugado a um custo semanal de $200, $150 e $100, respectivamente. A fabricação de uma unidade de cada tipo requer os insumos mão de obra e tecido nas quantidades mostradas na tabela 1 abaixo. Considere que a semana tem 150 horas de trabalho e que há disponível 160 m 2 de tecido. Os custos variáveis de fabricação por unidade e o lucro por unidade vendida estão na tabela 2. Escreva o modelo matemático que maximiza o lucro semanal. tabela 1tabela PAULO FRANÇA: alunos fazem em classe PAULO FRANÇA: alunos fazem em classe

10 Programas Inteiros - Roupas Gandhi Modelo: Variáveis de decisão: x 1 = camisas produzidas por semana x 2 = shorts produzidos por semana x 3 = calças produzidas por semana y 1 = 1 se camisas são fabricadas (maquinário é alugado) 0 caso contrário y 2 = 1 se shorts são fabricados 0 caso contrário y 3 = 1 se calças são fabricadas 0 caso contrário 3-37

11 Programas Inteiros - Roupas Gandhi Função objetivo: z =lucro = receitas-custos receitas= 12x 1 + 8x x 3 custos= 6x 1 + 4x 2 + 8x 3 ( custo variável) y y y 3 (custo fixo) max z = 6x 1 + 4x 2 + 7x 3 - (200 y y y 3 ) 3-38

12 Programas Inteiros - Roupas Gandhi Restrições: 3x 1 + 2x 2 + 6x 3 <= 150 (restrição de disponibilidade de mão de obra) 4x 1 + 3x 2 + 4x 3 <= 160 (restrição de disponibilidade de tecido) x 1 <= M 1 y 1 x 2 0 com y i =0) x 3 <= M 3 y 3 M i pode ser um número grande qualquer ou (preferivelmente) o maior número que cada variável pode assumir (M 1 = 40, M 2 = 53, M 3 = 25). 3-39


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