AULA VII Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:  Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace utilizando a técnica de expansão em multipolos.

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1 AULA VII Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:  Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace utilizando a técnica de expansão em multipolos. ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 1

2 2 Expansão em multipolos Motivação: para pontos longe da distribuição de cargas, esta aparece aproximadamente como uma carga pontual. Consideremos um dipolo físico, composto por duas cargas de sinais opostos separadas por uma distância d. Queremos calcular o campo na posição P, distante das duas cargas. d P r r+r+ r-r- q-q- q+q+ 

3 EXPANSÃO EM MULTIPOLOS II Usando que: Estamos interessados em pontos distantes das duas cargas, de modo que r >> d e o terceiro termo pode ser desprezado:

4 EXPANSÃO EM MULTIPOLOS III Usando esse resultado, o potencial pode ser escrito como: O potencial do dipolo cai com 1/r 2 Termos tipo polo:

5 EXPANSÃO EM MULTIPOLOS IV Vamos agora desenvolver uma expansão em multipolos para uma distribuição arbitrária de cargas. Nesse caso o potencial é dado por: Como antes, vamos fazer uma expansão do denominador, usando a lei dos co-senos:

6 ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 6 Reagrupando os termos, podemos reescrever a equação acima como: Polinômios de Legendre Logo: Expansão em multipolos EXPANSÃO EM MULTIPOLOS V

7 EXPANSÃO EM MULTIPOLOS VI n = 0 : termo de monopolo (termo dominante para grande r): Potencial exato para uma carga pontual na origem.

8 EXPANSÃO EM MULTIPOLOS VII n =1 : termo de dipolo (termo dominante se a carga total é nula) A integral que aparece é o momento de dipolo p da distribuição de cargas. O momento de dipolo depende de fatores geométricos.

9 ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 9 Para uma distribuição de cargas pontuais, o momento de dipolo se escreve: Dipolo físico Dipolo puro: q   ao mesmo tempo que d  0: valor exato. Quando calculamos o potencial a partir de uma expansão em multipolos, a origem do sistema de referências é fundamental: Termo de monopolo: não muda com a mudança da origem, pois depende da carga total; Termo de dipolo: muda com a mudança da origem. Porém, se a carga total for nula é invariante. EXPANSÃO EM MULTIPOLOS VIII

10 ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 10 Vamos supor um dipolo com momento de dipolo na origem e apontando na direção do eixo z. Nesse caso: Dipolo puroDipolo físico EXPANSÃO EM MULTIPOLOS IX

11 FIM DA AULA VII ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 11