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PublicouHeloísa Raposa Alterado mais de 9 anos atrás
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Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo
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b * a a 90º R é raio da base h é altura g é geratriz eixo R g h g
A Fig. mostra um Cilindro Oblíquo. a a 90º
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* * Cilindro Circular Reto ou Cilindro de Revolução A O’ B g h g R R C
1) o eixo é perpendicular aos planos das bases. g h g 2) g = h R R C D O *
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C A B D C
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Cilindro de Revolução:
A B D C Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C
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é um quadrado cilindro eqüilátero
Seção Meridiana Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro. Seção Meridiana A O’ * B h Se ABCD é um quadrado cilindro eqüilátero C O * 2R D Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = 2R
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Planificação : R x h
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Planificação : R x h
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Planificação : R x h
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Planificação : R x h
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x
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Planificação : R h x R 2pR R
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Áreas e Volumes At = AL+ 2 Ab V = p R2. h Ab = p R2 Área Base ( Ab )
AL = 2p Rh Área Lateral ( AL ) Área Total ( At ) At = AL+ 2 Ab Volume ( V ) V = p R2. h
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OS PRISMAS E SEUS ELEMENTOS
Região espacial dada pela união de dois polígonos paralelos (BASES) e congruentes através de segmentos de reta. aresta lateral c Face lateral Obs: a, b e c são as dimensões do prisma. b a aresta da base Base
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Nos prismas retos as faces laterais são retângulos.
Tipos de prismas retos Prisma triangular Prisma Quadrangular Prisma Pentagonal Prisma Hexagonal Nos prismas retos as faces laterais são retângulos. Não importa como sejam os prismas, as faces sempre são paralelogramos, todo retângulo é um paralelogramo.
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Polígonos Regulares Quando o prisma é reto e suas bases são polígonos regulares, o prisma é denominado regular.
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Fórmulas dos Prismas Área Lateral Área Total Volume
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Caso Especial: Paralelepípedo
Quando a base é uma região em forma de paralelogramo, temos um prisma particular chamado paralelepípedo. Área Total At = 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c a b c d D c Volume V = Ab.h V= a.b.c Diagonal da base d2 = a2 + b2 PITÁGORAS Note que em um paralelepípedo podemos tomar qualquer uma das faces com base. Diagonal do Paralelepípedo D2 = c2 + d2 D2 = a2 + b2 + c2 PITÁGORAS
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Cubo é um prisma em que todas as bases são quadrados.
Caso Especial : Cubo Cubo é um prisma em que todas as bases são quadrados. a Área da Base (AB) Área Lateral (AL) d D AB = a² AL = 4a² Área Total (AT) Volume (V) AT = 6a² V = a2 . a V = a³ V = AB . H Diagonal da Base (d) Todo cubo é um paralelepípedo, mas nem todo paralelepípedo é cubo. (Somente quando a = b = c). Diagonal do Cubo (D) Todo quadrado é um retângulo. Todo retângulo é um paralelogramo. Então, todo quadrado é um paralelogramo.
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UFMG- Observe a figura: Essa figura representa uma piscina cujo fundo é inclinado. As faces ABCD e EFGH são trapézios retângulos e as demais são retângulos. Determine o volume total da piscina;
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(UFV) Um recipiente, contendo água, tem a forma de um paralelepípedo retangular, e mede 1,20m de comprimento, 0,50m de largura e 2,00m de altura. Uma pedra de forma irregular é colocada no recipiente, ficando totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água sobe 1m. Assim é CORRETO concluir que o volume da pedra, em m³, é?
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* a a 90º V é vértice R é raio da base h é altura g é geratriz V eixo
A Fig. mostra um Cone Oblíquo. a R O * a 90º
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Cone Circular Reto ou Cone de Revolução V g h O* B A
1) O eixo é perpendicular ao plano da base. g 2) No DVOA : h g2 = h2 + R2 O* R B A
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados. A B C
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Se o triângulo VBA é eqüilátero, o cone é um Cone Eqüilátero.
Seção Meridiana O DVBA é a seção meridiana do cone. V Seção Meridiana g Se o triângulo VBA é eqüilátero, o cone é um Cone Eqüilátero. g=2R B O * A 2R
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Planificação do Cone Reto
x h g
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Planificação do Cone Reto
x h g
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Planificação do Cone Reto
x h g
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Planificação do Cone Reto
x h g
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Planificação do Cone Reto
x h g
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Planificação do Cone Reto
x h g
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Planificação do Cone Reto
x h g
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Planificação do Cone Reto
x h g R
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Planificação do Cone Reto
x h g R
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Planificação do Cone Reto
g h R x
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Planificação do Cone Reto
g h R x
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Planificação do Cone Reto
g h R x
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Planificação do Cone Reto
g h R x
95
Planificação do Cone Reto
g h R x
96
Planificação do Cone Reto
g h R x
97
Planificação do Cone Reto :
x h g R
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Planificação do Cone Reto
g h R x
99
Planificação do Cone Reto
g h R x
100
Planificação do Cone Reto
g h R x
101
Planificação do Cone Reto
g h R x
102
Planificação do Cone Reto
g Angulo q q = 2pR g q 2pR g R h R x
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At = AL+ 2 Ab V = p R2 h Áreas e Volume Ab = p R2 Área Base ( Ab )
AL = p R g Área Lateral ( AL ) At = AL+ 2 Ab Área Total ( At ) Volume ( V ) V = p R2 h 1 3
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