Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Apresentação em tema: "Matemática e suas Tecnologias - Matemática"— Transcrição da apresentação:

1 Matemática e suas Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 1º Ano Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica

2 Objetivos Entender a definição de função exponencial;
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Objetivos Entender a definição de função exponencial; Compreender a definição de progressão geométrica (PG); Identificar a relação existente entre a função exponencial e a progressão geométrica, e Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para construção de argumentação.

3 Definição de uma função exponencial
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Definição de uma função exponencial As bactérias são seres vivos que possuem a capacidade de se duplicar. Nas colônias de bactérias, quando o número de componentes dobra, a nova colônia mantém as mesmas características da anterior, duplicando em número no mesmo período de tempo que o anterior. Sabendo que determinada colônia, iniciada por uma única bactéria, dobra seu número a cada 10 minutos, quantas bactérias existirão após 1 hora e 20 minutos?

4 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Após um período de 10 minutos, teremos 2 (2¹) bactérias. Após dois períodos de 10 minutos, ou seja, 20 minutos, teremos 4 (2²) bactérias. Após 1 hora e 20 minutos, ou seja, 8 períodos de 10 minutos, teremos 256 (28) bactérias. Da mesma forma, após x períodos de 10 minutos, o número n de bactérias será dado por n = 2x. Esse é um exemplo de função com variável no expoente.

5 g é decrescente h é decrescente i é crescente
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Uma função f:ℝ→ℝ*+ chama-se função exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = ax, para todo x ∈ ℝ. Quando a > 1, f é crescente. Quando 0 < a < 1, f é decrescente. Exemplos: g é decrescente h é decrescente i é crescente

6 Definição de uma progressão geométrica
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Definição de uma progressão geométrica Segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a população brasileira no ano de 2004 era de, aproximadamente, 180 milhões de pessoas. Considerando um crescimento populacional de 2% ao ano, qual foi a estimativa da população, feita naquele ano, para 2008? Para calcular esse valor, partimos do número de brasileiros em 2004.

7 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Observe que, com exceção de 2004, a estimativa do número de brasileiros de um ano, foi obtida multiplicando-se o número de brasileiros no ano anterior pela constante 1,02. Em 2004, estimava-se que o país teria brasileiros em 2008 A sequência ( ; ; ; ; ) é um exemplo de progressão geométrica. Ano Número de habitantes 2004 2005 ∙ 1,02 = 2006 ∙ 1,02 = 2007 ∙ 1,02 = 2008 ∙ 1,02 =

8 Uma PG é estacionária quando a1 ≠ 0 e q = 0
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Uma PG é constante quando q = 1 ou quando a1 = 0 e q é um valor constante Uma PG é estacionária quando a1 ≠ 0 e q = 0 Uma PG é oscilante quando a1 ≠ 0 e q < 0 Uma PG é crescente quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1 Uma PG é decrescente quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1 Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG.

9 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Dada uma PG (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) de razão q, podemos escrever qualquer termo em função do primeiro. Para isso, basta considerar a definição de PG: a2 = a1 ∙ q a3 = a1 ∙ q² a4 = a1 ∙ q³ Dessa maneira, encontramos o termo geral, que ocupa a enésima posição na PG: Observe que essa fórmula é a lei de formação de uma função, e que n é o número de termos da PG até o termo an. Observação: quando em uma PG, o primeiro termo é representado por a0 , o termo geral é dado por an = a0 ∙ qn, com n ∈ ℕ. an = a1 ∙ qn - 1, com n ∈ ℕ*

10 Comparando as definições
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Comparando as definições Uma função f:ℝ→ℝ*+ chama-se função exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = ax, para todo x ∈ ℝ. Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG. Conforme termo geral: an = a0 ∙ qn, com n ∈ ℕ. (com o primeiro termo sendo a0)

11 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica As funções exponenciais do tipo f(x) = b ∙ ax assemelham-se a uma progressão geométrica. Note que: f(x) = b ∙ ax e an = a0 ∙ qn , onde f(x) = an b = a0 a = q x = n

12 Na função exponencial, o termo geral vale para todo x ∈ ℝ
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Entretanto, deve-se atentar para o domínio das relações com que trabalhamos. Na função exponencial, o termo geral vale para todo x ∈ ℝ Na progressão geométrica, o termo geral vale para todo n ∈ ℕ, uma vez que estamos considerando uma PG cujo primeiro termo é a0. Ou seja, quando o problema apresentado envolver o domínio ℕ, pode-se utilizar qualquer uma das relações. Quando a situação envolver o domínio ℝ , não se pode utilizar a progressão geométrica.

13 Comparando os gráficos
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Comparando os gráficos O valor de um automóvel daqui a t anos é dados pela lei V = ∙ (0,9)t (em dólares). Calcule o valor desse automóvel daqui a 4 anos. Resolução: Aplicando-se o valor dado t = 4 na fórmula, obtemos: V = ∙ (0,9)4 V = ∙ 0,6561 V =

14 Montando-se o gráfico dessa função:
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Montando-se o gráfico dessa função: y 20.000 18.000 16.200 14.580 13.122 x 1 2 3 4

15 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Agora, digamos que o valor inicial do automóvel fosse dólares. Entretanto, vamos analisar a situação usando um método diferente, a progressão geométrica. O valor do automóvel, em função do tempo em anos após sua compra, forma uma PG decrescente (30.000, , , 21870, ...), em que a0 = e q = 0,9. Tempo (anos) 1 2 3 Valor (US$) 30.000 27.000 24300 21870

16 Dessa maneira, podemos construir o gráfico de uma PG.
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Como o termo geral de uma PG é an = a0 ∙ qn, com n ∈ ℕ, na PG temos: a4 = ∙ (0,9)4 → a4 = Considerando a fórmula an = a0 ∙ qn de uma PG cujo primeiro termo é a0 e cuja razão é q, percebemos que uma PG se assemelha a uma função exponencial f(x) = a0 ∙ qx, com q ≠ 1, só que com uma restrição do domínio ao conjunto dos números naturais. Dessa maneira, podemos construir o gráfico de uma PG.

17 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica y 30.000 27.000 24.300 21.870 19.683 x 1 2 3 4

18 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Comparando os gráficos feitos, fica evidente que ambos podem ser obtidos tanto pela função exponencial quanto pela progressão aritmética. y 20.000 18.000 16.200 14.580 13.122 x 1 2 3 4 y 30.000 27.000 24.300 21.870 19.683 x 1 2 3 4

19 Sugestão de atividade MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Sugestão de atividade ATIVIDADE: apresentação de uma situação-problema para ser resolvida tanto por PG como por função exponencial. OBJETIVO: validar o que foi apresentado ao longo da aula. MATERIAL NECESSÁRIO: malha quadriculada, régua, lápis grafite e borracha. PROCEDIMENTOS: através de uma situação-problema (propomos uma no slide seguinte), os alunos da turma serão divididos em dois grupos. Um grupo apresentará a solução do problema por PG e o outro grupo utilizará a função exponencial. No final, serão comparados e analisados os resultados encontrados. Atenção: explorar os resultados dos alunos e ficar atento para as divergências no tocante à escala utilizada na construção do gráficos.

20 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Analise a situação Uma obra de arte foi comprada por um investidor, por R$ 8.000,00. O investidor espera uma valorização de 10% ao ano. Determine a lei de formação da função (ou o termo geral da PG). Seis anos após a compra, qual será o valor da obra? Em quanto tempo a obra dobrará de valor? (arredonde para o inteiro mais próximo). Construa os gráficos com os valores obtidos.

21 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Resolução: Como há duas maneiras de se resolver a situação-problema, respondemos todos os itens de pergunta comparando os dois métodos de resolução, como o quadro abaixo demonstra: a) Função Exponencial PG V(t) = 8000 ∙ (1,1)t an = a0 ∙ (1,1)n

22 O tempo t, em anos, é de 6 anos. Portanto, t = 6.
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica b) Função Exponencial PG Vamos tirar os dados da questão: O tempo t, em anos, é de 6 anos. Portanto, t = 6. Vamos tirar os dados da questão: O valor inicial da obra é R$ 8000,00. Então a0 = 8000 O tempo n, em anos, é 6 anos. Portanto n = 6.

23 Função Exponencial PG Calculando: V(t) = 8000 ∙ (1,1)t
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Função Exponencial PG Calculando: V(t) = 8000 ∙ (1,1)t V(6) = 8000 ∙ (1,1)6 V(6) ≈ 8000 ∙ 1,771 V(6) ≈ Pode-se utilizar o logaritmo para responder a questão. Mas, também, é possível encontrar a resposta por meio de aproximações. an = a0 ∙ (1,1)n a6 = 8000 ∙ (1,1)6 a6 ≈ 8000 ∙ 1,771 a6 ≈

24 Se o valor deve dobrar então V(t) = 16000. Calculando:
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica c) Função Exponencial PG Vamos tirar os dados da questão: Se o valor deve dobrar então V(t) = Calculando: V(t) = 8000 ∙ (1,1)t 16000 = 8000 ∙ (1,1)t (1,1)t = : 8000 (1,1)t = 2 t ≈ 7 Vamos tirar os dados da questão: Se o valor deve dobrar então an = an = a0 ∙ (1,1)n

25 Função Exponencial d) MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica d) Função Exponencial 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 1 2 3 4 5 6 7 8

26 PG MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica PG 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 1 2 3 4 5 6 7 8

27 Referências Bibliográficas
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Referências Bibliográficas BARROSO, Juliane Matsubara. Matemática : construção e significados . Vol ed. São Paulo Moderna: 2008 RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 1 ensino médio. 1. ed. São Paulo Scipione: 2010 GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 2. ed. renov. FTD: 2005