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Regras para esboço do Lugar das Raízes
O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema; O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real; O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de malha aberta faz parte do lugar das raízes;
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Regras para esboço do Lugar das Raízes
O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos de malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos de malha aberta; Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas fornecidas pelas equações:
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Exemplo: Esboce o Lugar das raízes
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Lugar das raízes e assíntotas para o sistema:
Plano s Assíntota Assíntota Assíntota
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Refinando o Lugar das Raízes
Pontos de saída e pontos de chegada no eixo real: Cruzamento com o eixo imaginário é feito através do critério de Routh obtendo o valor do ganho que esta na transição de estabilidade; Ângulo de partida e chegada em pólos ou zeros complexos conjugados
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Pontos de Interseção com o Eixo Imaginário
Utilização do critério de Routh; Caso especial de linha que só possuem zeros implicam na existência de polinômios estritamente pares ou ímpares como fator do polinômio original; Os polinômios pares possuem somente raízes simétricas nas seguintes situações:
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Localização das raízes para a geração de polinômios pares: A, B, C ou qualquer das combinações
Plano s A: Reais e simétricas em relação à origem B: Imaginárias e simétricas em relação à origem C:Quadrantais e simétricas em relação à origem
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Pontos de Interseção com o Eixo Imaginário
Portanto só teremos raízes no eixo imaginário se tivermos uma linha contendo todos os termos iguais a zero na tabela de Routh; Estas raízes são as raízes do “polinômio par” que é o polinômio da linha acima da linha de zeros; Tudo o que acontece na tabela de Routh abaixo da linha do “polinômio par” se refere a ele.
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Tabela de Routh para: Raízes de Linha Toda de Zeros 0 + 2.0000i
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Linha Toda de Zeros i i i i
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i i i i i i i i
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Para o Exemplo Anterior temos:
Ponto de Partida: Ponto de Partida, pois é a única raíz que esta entre “0” e “-1”
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Para o Exemplo Anterior temos:
Cruzamento com Eixo Imaginário Linha de Zeros
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Para o Exemplo Anterior temos:
Valor a ser Escolhido Cruzamento com o Eixo Imaginário
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