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O Modelo de Interação do Multiplicador e Acelerador de Samuelson (1939) Prof. Giácomo Balbinotto Neto UFRGS.

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1 O Modelo de Interação do Multiplicador e Acelerador de Samuelson (1939) Prof. Giácomo Balbinotto Neto UFRGS

2 2 Bibliografia Chiang (1982, cap. 14) Burda & Wyplosz (2005, cap ) Samuelson, P. (1939). Interactions Between the Multiplier Analysis and the Principles of Acceleration. Review of Economics Statistics:

3 3 O Modelo de Interação do Multiplicador e Acelerador de Samuelson (1939) O modelo de Samuelson (1939)[Samuelson Oscilator] nos mostra, de modo simples, como a interação entre o multiplicador e o acelerador é capaz de gerar flutuações cíclicas endogenamente. Paul Samuelson credits Alvin Hansen rather than Harrod for the inspiration behind his seminal 1939 contribution. The original Samuelson multiplier-accelerator model (or, as he belatedly baptised it, the "Hansen-Samuelson" model) relies on a multiplier mechanism which is based on a simple Keynesian consumption function with a Robertsonian [http://cepa.newschool.edu/het/essays/multacc/samacc.htm]SamuelsonHansenHarrodKeynesian Robertsonian

4 4 A Estrutura do Modelo - A renda nacional Yt é composta por três fluxos de gastos: C t – consumo; I t – investimento; G t – gastos do governo.

5 5 A Estrutura do Modelo O consumo corrente [C t ] é assumido ser uma função da renda do período anterior [Y t-1 ]. Aqui assumimos que C t seja estritamente proporcional a Y t-1. O investimento é assumido ser do tipo induzido, sendo uma função da tendência vigente dos gastos de consumo. É através deste investimento induzido que o princípio da aceleração entra no modelo de Samuelson (1939). Os gastos do governo [G t ] são assumidos serem exógenos. Aqui, por simplificação, supomos que sejam constantes e iguais a Go.

6 6 A Estrutura do Modelo: As Equações Yt = C t + I t + G o Ct = Y t-1, 0 < < 1 - propensão marginal a consumir It = (C t – C t-1 ), > 0 - é o acelerador

7 7 A Estrutura do Modelo: As Equações Dada a equação do consumo, pode-se expressar a equação do investimento como: It = ( Y t-1 – Y t-2 ) = (Y t-1 – Y t-2 )

8 8 A Estrutura do Modelo: As Equações Substituindo a equação do investimento e a equação do consumo na equação da renda, obtemos: Y t - (1 + ) Y t-1 + Y t-2 = G o ou Y t+2 - (1 + ) Y t+1 + Y t = G o

9 9 A Estrutura do Modelo: As Equações Y t+2 - (1 + ) Y t+1 + Y t = G o esta é uma equação em diferenças de segunda ordem com termo e coeficientes constantes, que pode ser resolvida encontrado-se a integral particular e a função complementar. [cf. Chiang (1982, cap. 17)] A solução deste modelo consiste em achar a integral particular e a função complementar.

10 10 A Solução do Modelo: #1 – A Integral Particular A integral particular, que em termos do modelo de Samuelson (1939) equivale ao nível de equilíbrio da renda no longo prazo é resolvido estabelecendo-se que: Y t = Y t+1 = Y t+2 = Yp

11 11 A Solução do Modelo: #1 – A Integral Particular A integral particular é dada por: Y p = G o / [1- (1 + ) + ] = G o /(1- ) [1/ /(1- )] é simplesmente o multiplicador keynesiano simples que prevaleceria na ausência do investimento induzido. Assim, [G o /(1- )] – o gasto exógeno vezes o multiplicador da renda, nos dá a renda de equilíbrio do modelo, no sentido de que este nível de renda satisfaz a condição de equilíbrio [renda = demanda agregada].

12 12 A Solução do Modelo: #2 – A Função Complementar e a Estabilidade do Equilíbrio A equação [Y t+2 - (1 + ) Y t+1 + Y t = G o ] possui a seguinte equação característica: 2 b - (1 + )b + = 0 a qual pode ser resolvida ara duas raízes b 1 e b 2. Contudo, visto que a convergência ou divergência dependem dos valores de b1 e b2, que por sua vez dependem dos valores dos parâmetros e, as condições para convergência ou divergência devem ser expressas em termos dos valores de e.

13 13 A Solução do Modelo: #2 – A Função Complementar e a Estabilidade do Equilíbrio As duas raízes b 1 e b 2 são sempre relacionadas entre si pelas seguintes equações: b 1 + b 2 = (1 + ) b 1. b 2 =

14 14 A Solução do Modelo: #2 – A Função Complementar e a Estabilidade do Equilíbrio Caso #1 – Raízes Reais e Distintas Dado que e são ambos positivos, isto implica que b 1 e b 2 são também positivos. Como (1+ ) > 0, temos que b 1 e b 2 precisam ser positivos. Isto implica que, no caso #1, a trajetória temporal de Y t não admite oscilações.

15 15 Caso #1 – Raízes Reais e Distintas combinações possíveis dos valores de b 1 e b 2 (i) 0 < b 2 < b 1 < 1 <1 ; < 1; (ii) 0 < b 2 < b 1 = 1 = 1 (iii) 0 1 ; (iv) 1 = b 2 < b 1 <1 ; < 1; (v) 1 1

16 16 Caso #1 – Raízes Reais e Distintas As combinações possíveis dos valores de b 1 e b 2 e suas implicações Para a situação (i), onde b 1 e b 2 têm, ambos, valores fracionários e positivos, o produto (1-b 1 )(1-b 2 ) é positivo. Isto pode ser escrito como: 1-b 1 -b 2 + b 1 b 2 = 1 - (1+ ) + = 1 - Isto por sua vez implica que < 1, que é consistente com a especificação do modelo.

17 17 Caso #1 – Raízes Reais e Distintas As combinações possíveis dos valores de b 1 e b 2 e suas implicações Contudo, as possibilidades (ii), (iii) e (iv) violam, todas, a especificação do modelo, pois implicam num valor de 1. Assim, elas devem ser eliminadas pois não satisfazem, do ponto de vista teórico, as exigências estabelecidas no modelo. [cf. Chiang (1982,p.516)]

18 18 Caso #1 – Raízes Reais e Distintas As combinações possíveis dos valores de b 1 e b 2 e suas implicações Já a possibilidade (v) é admissível do ponto de vista teórico. Neste caso temos que b 1 e b 2 são ambos maiores do que 1; portanto, o produto (1-b 1 )(1-b 2 ) = 1-, sendo o produto de dois termos negativos, é novamente positivo, implicando que < 1. Assim, para o caso #1, temos duas possibilidades teóricas plausíveis.

19 19 Caso #1 – Raízes Reais e Distintas As combinações possíveis dos valores de b 1 e b 2 e suas implicações Na possibilidade (i) – que envolve raízes fracionárias, temos que a trajetória temporal gerada será convergente em relação a Y. Já na possibilidade (v), onde as raízes são maiores que 1, obtemos uma trajetória temporal divergente. No que se refere aos valores de e, a questão da convergência ou divergência depende de se 1, pois = b 1 b 2 é menor (maior) do que a unidade quando b 1 e b 2 são ambos frações positivas (maiores do que 1).

20 20 Caso #2 – Raízes Repetidas As combinações possíveis dos valores de b 1 e b 2 e suas implicações As raízes são iguais a b = [ (1+ )/2] com sinal positivo porque e são positivos. Portanto, temos que, novamente, não são geradas oscilações neste caso. O valor de b gera três possibilidades teóricas: (vi) 0 < b < 1 <1 ; < 1; (vii) b = 1 = 1 (viii) b > 1 > 1 ; > 1

21 21 Caso #2 – Raízes Repetidas As combinações possíveis dos valores de b 1 e b 2 e suas implicações Na possibilidade (vi), b é uma fração positiva, o que implica que: 2 2 (1-b) = 1 – 2b+ b = 1 - [ (1+ )] + = 1 - > 0 <1 2 Na possibilidade (viii) temos que (1-b), temos que > 0. Por fim, quando b=1, na possibilidade (vii), temos que: 2 (1-b) = 0, de modo que =1, o que viola a especificação do modelo, indicado que ela não é teoricamente plausível e deve ser eliminada.

22 22 Caso #2 – Raízes Repetidas As combinações possíveis dos valores de b 1 e b 2 e suas implicações O caso # 2 (de raízes repetidas) gera dois casos teoricamente admissíveis – as possibilidades (vi) e (viii). Na possibilidade (vi) é gerada uma trajetória temporal convergente, ao passo que na possibilidade (viii) – gera-se uma trajetória divergente.

23 23 Caso #3 – Raízes complexas As combinações possíveis dos valores de b1 e b2 e suas implicações No caso de raízes complexas, temos uma flutuação escalonada (visto que estamos lidando com um modelo com equações a diferenças) que apresenta ciclos econômicos endógenos. Neste caso temos que buscar o valor absoluto de: 1/2 R = (a) para verificar se a trajetória é convergente ou divergente.

24 24 Caso #3 – Raízes complexas As combinações possíveis dos valores de b 1 e b 2 e suas implicações O modelo gera três possibilidades teóricas para este caso, onde: ½ R = ( ) (ix) R < 1 <1 (x) R = 1 = 1 (xi) R > 1 > 1

25 25 Resumo dos Casos CasoSubcaso Valor de Trajetória temporal de Yt #1 – raízes reais e distintas 2 > [4 /(1+ ) ] 1C: 0 1 Não oscilatória e sem flutuações # 2 – raízes reais e repetidas 2 = [4 /(1+ ) ] 2C: 0 < b < 1 2D: b > 1 <1 > 1 Não oscilatória se sem flutuações # 3 - raízes complexas 2 > [4 /(1+ ) ] 3C: R <1 3D: R 1 < 1 1 Com flutuação escalonada

26 26 Resumo dos Casos A trajetória temporal é convergente se e somente se < 1.

27 27 Resumo Gráfico dos Resultados 2 = [4 /(1+ ) ] = 1

28 28 Sites Recomendados

29 FIM Prof. Giácomo Balbinotto Neto UFRGS


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