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1 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof. Rogério 3o. Encontro 03/06/06.

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1 1 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof. Rogério 3o. Encontro 03/06/06 Empréstimos e financiamentos bancários Sistemas de Amortização de Empréstimos

2 2 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira JUROS DE CHEQUE ESPECIAL Método Hamburguês Utilizado inicialmente pelos bancos para cálculo de juros sobre depósitos à vista; Posteriormente, cálculo de juros sobre contas garantidas (cheque especial) Para o cálculo dos juros pelo Método Hamburguês, leva-se em conta o saldo médio do correntista.

3 3 Método Hamburguês Fórmulas J = i. C k. n k Com k variando de 1 até n, onde os valores de C e de n são os números do método Hamburguês

4 4 Método Hamburguês Cálculo do Saldo Médio A fórmula para o cálculo do saldo médio é a fórmula da média ponderada. C 1.n 1 + C 2.n 2 + C 3.n 3 +…+C n.n n S m = n 1 + n 2 + n 3 + …+ n n

5 5 Método Hamburguês Exemplo (1): O extrato bancário de uma empresa apresentou ou seguintes saldos credores em determinado mês. SaldoDias $ ,005 $ ,004 $ ,0012 $ ,009 Cálculo do Saldo Médio ( *5) + ( *4) + ( *12) + ( *9) S m = S m = ,67

6 6 Método Hamburguês Exemplo (2): Calcular os juros pagos por um cliente à taxa de 15% ao mês, que apresentou o seguinte extrato de conta corrente no mês de maio/06 DataHistórico ValorSaldoD/CDiasDias x Saldo Devedor PostecAntecPostecipadoAntecipado - Inicial 2.000,00D , ,00 03 Cheque 6.000, ,00D ,00 10 Cheque 3.000, ,00D ,00 20 Depósito , ,00C Cheque 6.000, ,00D ,00 28 Cheque 3.000, ,00D , ,00 TOTAL , ,00 Observação: É possível realizar a contagem dos dias de 02 formas

7 7 Método Hamburguês Exemplo (2): (a)Postecipado: o prazo é contado a partir do dia seguinte (data 1) até a data da alteração do saldo; J = C.i.n C ,00 * (0,15/30) J = 985,00 (b)Antecipado: o prazo é contado a partir da alteração do saldo (data 0) até o dia anterior ao novo saldo. J = C.i.n C ,00 * (0,15/30) J = 1.000,00 Em ambos os casos, consideram-se o número total de dias do mês. … continuação

8 8 Método Hamburguês Exemplo (2): … continuação Outra forma de calcular os juros

9 9 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Único Consiste na devolução do principal, acrescido de juros, em um único pagamento ao final do período; Normalmente utilizada para cálculo de: Papeis de renda fixa, tais como: Letras de Câmbio e Certificados de Depósitos; Títulos descontados em bancos comerciais.

10 10 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Único Exemplo: Quanto pagarei ao final de 12 meses, por um empréstimo de $ ,00 a juros compostos de 3% a.m. capitalizados mensalmente. VF = VP*(1+i) n VF = *(1,03) 12 VF = ,31

11 11 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Periódico de Juros Neste sistema, o devedor paga periodicamente os juros e, o principal, é pago somente ao final do período. Sistema utilizado em Cálculos de; Penhor de Jóias (CEF). Dívida externa brasileira, Letras de câmbio de renda mensal; Planos de renda perpétua (Aposentadoria)

12 12 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Periódico de Juros Exemplo: Monte uma planilha demonstrando os juros e o saldo devedor correspondentes a um empréstimo de $ 1.000,00 durante 04 meses, a juros compostos de 8% ao mês.

13 13 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – SFA (PRICE) Consiste o Sistema Price em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, dentro do conceito de séries postecipadas. Cada prestação é composta de 02 partes distintas, uma de juros e outra de amortização. A Taxa de Juros sempre deverá corresponder ao período de amortização Modalidade de Pagamento utilizada em: financiamentos imobiliários (SFH); Créditos direto ao consumidor como por exemplo: financiamento de carro ou eletrodomésticos.

14 14 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira Sistema Francês de Amortização - Price 1) Um banco de desenvolvimento empresta $ , entregues no ato, sem prazo de carência para pagamento. Sabendo que o banco utiliza o Sistema Price à taxa de 12% a.a. e o principal deverá ser amortizado em 05 pagamentos iguais e anuais, determinar o valor das prestações e preencher a planilha a seguir: C = P * ( 1 + i) n – 1 i*(1 + i) n P = ( 1,12) 5 – 1 0,12*(1,12) P = 0, , P = ,10

15 15 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira Sistema Francês de Amortização - Price 1) Um banco de desenvolvimento empresta $ , entregues no ato, sem prazo de carência para pagamento. Sabendo que o banco utiliza o Sistema Price à taxa de 12% a.a. e o principal deverá ser amortizado em 05 pagamentos iguais e anuais, determinar o valor das prestações e preencher a planilha a seguir:

16 16 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS No Sistema Hamburguês as amortizações são todas iguais e constantes. Consiste no plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes, em progressão aritmética. Portanto, os valores das parcelas não iguais, uma vez que a amortização é constante, porém os juros são decrescentes.

17 17 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS Exemplo: Um Banco empresta $ ,00, sem carência de pagamento, a taxa de juros 12% ao ano. A restituição deverá ser feita em 05 parcelas pelo Sistema de Amortização Constante - SAC Amortização: a = V n a = a = J=i. sd Juros

18 18 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS Da mesma como o Sistema Price, também no Sistema de Amortização Constante-SAC podemos pagar os juros durante a carência ou capitalizá-los. Exemplo: Um Banco empresta $ ,00, será amortizado em 05 parcelas anuais, com a primeira amortização feita em 03 anos após o empréstimo a uma taxa de juros de 12% ao ano pelo Sistema de Amortização Constante – SAC. Os juros são capitalizados durante a carência e incorporados ao capital para o cálculo da amortização. Elaborar a planilha de cálculo

19 19 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS Exemplo: Um Banco empresta $ ,00, será amortizado em 05 parcelas anuais, com a primeira amortização feita em 03 anos após o empréstimo a uma taxa de juros de 12% ao ano pelo Sistema de Amortização Constante – SAC. Os juros são capitalizados durante a carência e incorporados ao capital para o cálculo da amortização. Elaborar a planilha de cálculo

20 20 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Criado pelo extinto BNH (Banco Nacional de Habitação) em maio de 1979; Constitui-se num misto entre o SFA (Price) e o SAC; O SAM é um plano de pagamentos compostos por pagamentos cujos valores são resultantes da média aritmética das prestações no SFA e na SAC. Os valores de amortização e juros resultam da mesma regra.

21 21 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) P SAM = P SAF + P SAC 2 A SAM = A SAF + A SAC 2 J SAM = J SAF + J SAC 2 FÓRMULAS Prestação Amortização Juros

22 22 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) P SAM = P SAF + P SAC 2 A SAM = A SAF + A SAC 2 J SAM = J SAF + J SA 2 FÓRMULAS Prestação Amortização Juros

23 23 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) RESUMINDO

24 24 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL Neste sistema, a devolução do principal é realizada em parcelas desiguais. As amortização são pré-fixadas e os juros calculados sobre o saldo devedor. Um banco emprestou $ que serão amortizados da seguinte forma: 1o amortização = $ ,00 2o amortização = $ ,00 3o amortização = $ ,00 4o amortização = $ ,00 5o amortização = $ ,00 Sabendo-se que a primeira amortização será em 03 anos após o empréstimo e que a taxa de juros é de 12% a.a. e que os juros são pagos durante a carência, elaborar a planilha de amortização.

25 25 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL Um banco emprestou $ que serão amortizados da seguinte forma: 1o amortização = $ ,00 2o amortização = $ ,00 3o amortização = $ ,00 4o amortização = $ ,00 5o amortização = $ ,00 Sabendo-se que a primeira amortização será em 03 anos após o empréstimo e que a taxa de juros é de 12% a.a. e que os juros são pagos durante a carência, elaborar a planilha de amortização.

26 26 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira Programação Linear - Solver Na qualidade de assessor de investimentos da FUNDABANC, uma fundação de empregados de determinado banco, estude a melhor forma de aplicar os recursos à disposição da fundação num montante de $ ,00. Para tanto, deve-se levar em consideração as restrições impostas pela legislação e normas vigentes. A necessidade de minimizar os riscos limitam as aplicações a ações preferenciais, ações de companhia de utilidade pública e títulos da dívida pública.

27 27 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira Programação Linear - Solver Na qualidade de assessor de investimentos da FUNDABANC, uma fundação de empregados de determinado banco, estude a melhor forma de aplicar os recursos à disposição da fundação num montante de $ ,00. Para tanto, deve-se levar em consideração as restrições impostas pela legislação e normas vigentes. A necessidade de minimizar os riscos limitam as aplicações a ações preferenciais, ações de companhia de utilidade pública e títulos da dívida pública. As restrições adicionais que se apresentam para as aplicações são as seguintes: 1. Títulos Públicos não podem representar menos que 25% dos investimentos; 2. Ações preferenciais estão limitadas a até 20% dos investimentos; 3. Ações das Cias de Utilidade Pública devem contabilizar pelo mesno 40% dos investimentos; 4. Nenhum dos 03 tipos de investimentos podem receber mais do que 50% do valor do capital. PEDE-SE: Encontre a combinação que MAXIMIZE o resultado da operação.


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